Terminale · Fiche méthode 11 sur 12 · Géométrie dans l'espace
Comment déterminer une équation cartésienne de plan ?
Un plan de vecteur normal $\vec{n}\,(a\,;b\,;c)$ a une équation de la forme $ax+by+cz+d = 0$. On trouve $d$ en remplaçant par les coordonnées d'un point du plan.
La méthode en 5 étapes
1Trouver un vecteur normal
Il est donné, ou bien il s'obtient à partir de trois points : on cherche $\vec{n}$ orthogonal à deux vecteurs du plan, en résolvant $\vec{n}\cdot\vec{AB} = 0$ et $\vec{n}\cdot\vec{AC} = 0$.
2Écrire l'équation à une constante près
Les coordonnées du vecteur normal sont directement les coefficients : $ax+by+cz+d = 0$.
3Calculer d
On remplace $x$, $y$, $z$ par les coordonnées d'un point connu du plan, et on résout en $d$.
4Vérifier
On teste l'équation avec un autre point du plan : elle doit être satisfaite.
5Utiliser l'équation
Un point appartient au plan si ses coordonnées vérifient l'équation. Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Un exemple entièrement résolu
Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ passant par $A(1\,;2\,;3)$ et de vecteur normal $\vec{n}\,(2\,;-1\,;4)$. Le point $B(0\,;4\,;3)$ appartient-il à $P$ ?
Le vecteur normal donne les coefficients : $2x-y+4z+d = 0$.
$A$ appartient au plan : $2\times 1-2+4\times 3+d = 0$, soit $2-2+12+d = 0$ et $d = -12$.
$2x-y+4z-12 = 0$.
$2\times 0-4+4\times 3-12 = -4+12-12 = -4\neq 0$.
Conclusion. Le plan a pour équation $2x-y+4z-12 = 0$, et le point $B$ ne lui appartient pas.
Les erreurs à ne pas faire
- Confondre vecteur normal (perpendiculaire au plan) et vecteur directeur (contenu dans le plan).
- Oublier de calculer $d$ et laisser l'équation incomplète.
- Se tromper de signe dans le calcul de $d$.
- Croire qu'une équation de plan décrit une droite : dans l'espace, une seule équation cartésienne définit un plan, une droite demande un système.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Déterminer une équation du plan passant par $C(0\,;0\,;5)$ et de vecteur normal $\vec{n}\,(1\,;1\,;1)$.
Voir le corrigé
$x+y+z+d = 0$, et $C$ donne $5+d = 0$, soit $d = -5$.
Équation : $x+y+z-5 = 0$.
- Exercice 2
Les plans d'équations $2x-y+3z-1 = 0$ et $-4x+2y-6z+7 = 0$ sont-ils parallèles ?
Voir le corrigé
Vecteurs normaux : $\vec{n}_1\,(2\,;-1\,;3)$ et $\vec{n}_2\,(-4\,;2\,;-6) = -2\vec{n}_1$.
Ils sont colinéaires : les plans sont parallèles. Ils ne sont pas confondus, car $-2\times(-1)\neq 7$.
- Exercice 3
La droite de vecteur directeur $\vec{u}\,(1\,;2\,;-1)$ est-elle parallèle au plan d'équation $x+y+3z-4 = 0$ ?
Voir le corrigé
Vecteur normal du plan : $\vec{n}\,(1\,;1\,;3)$. On calcule $\vec{u}\cdot\vec{n} = 1+2-3 = 0$.
Le vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal : la droite est parallèle au plan (ou contenue dedans).
Questions fréquentes
Comment trouver un vecteur normal à partir de trois points ?
On forme deux vecteurs du plan, $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, puis on cherche $\vec{n}\,(a\,;b\,;c)$ vérifiant $\vec{n}\cdot\vec{AB} = 0$ et $\vec{n}\cdot\vec{AC} = 0$. Le système a deux équations et trois inconnues : on fixe l'une d'elles, par exemple $c = 1$, et on résout.
Comment calculer la distance d'un point à un plan ?
Par la formule $d(M\,;P) = \dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. On peut aussi passer par le projeté orthogonal : on écrit la droite passant par $M$ de vecteur directeur $\vec{n}$, on cherche son intersection avec le plan, puis on calcule la distance entre les deux points.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Géométrie dans l'espace en Terminale, voici le reste des ressources du site :