Coefficient binomial : définition, propriété et exemple

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Au programme de Terminale

Définition

Le coefficient binomial \(\binom\,{n}{k}\) est le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(n\), sans tenir compte de l’ordre.

Notation : \(\binom\,{n}{k}\), qui se lit « \(k\) parmi \(n\) ».

En clair

C’est « combien de combinaisons possibles » : combien de mains de 5 cartes dans un jeu de 32.

\(\binom\,{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
\(\binom\,{n}{0} = \binom\,{n}{n} = 1\) et \(\binom\,{n}{1} = n\).
Symétrie : \(\binom\,{n}{k} = \binom\,{n}{n-k}\).
Relation de Pascal : \(\binom\,{n}{k} + \binom\,{n}{k+1} = \binom\,{n+1}{k+1}\), à la base du triangle de Pascal.
Dans un arbre binaire à \(n\) niveaux, \(\binom\,{n}{k}\) compte les chemins comportant \(k\) succès.

\(\binom\,{5}{2} = \dfrac{5!}{2!\,3!} = 10\) : il y a 10 façons de choisir 2 éléments parmi 5.

Avec la formule \(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\), ou directement à la calculatrice.

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