Terminale · Fiche méthode 9 sur 12 · Loi binomiale
Comment calculer avec la loi binomiale ?
Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, avec $E(X) = np$ et $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$. Encore faut-il vérifier que l'expérience est bien un schéma de Bernoulli.
La méthode en 5 étapes
1Vérifier les trois conditions
Une même expérience répétée $n$ fois, de façon indépendante, avec seulement deux issues (succès de probabilité $p$, échec). Un tirage sans remise ne convient pas.
2Identifier n, p et la variable X
On écrit une phrase : « $X$ compte le nombre de succès, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0{,}3$. »
3Traduire la question en événement
« Exactement $k$ » : $P(X = k)$. « Au plus $k$ » : $P(X\le k)$. « Au moins $k$ » : $1-P(X\le k-1)$.
4Calculer
À la calculatrice, avec les fonctions de probabilité binomiale (densité pour $P(X = k)$, cumulée pour $P(X\le k)$), ou avec la formule.
5Calculer espérance et écart type
$E(X) = np$ est le nombre moyen de succès sur un grand nombre de répétitions ; $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ mesure la dispersion.
Un exemple entièrement résolu
On lance $10$ fois un dé équilibré. Soit $X$ le nombre de $6$ obtenus. Calculer $P(X = 2)$, $P(X\ge 1)$ et $E(X)$.
Les lancers sont indépendants, chacun donne « $6$ » avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$ : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = \dfrac{1}{6}$.
$P(X = 2) = \binom{10}{2}\left(\dfrac{1}{6}\right)^2\left(\dfrac{5}{6}\right)^8 = 45\times\dfrac{1}{36}\times\left(\dfrac{5}{6}\right)^8\approx 0{,}291$.
On passe par l'événement contraire : $P(X\ge 1) = 1-P(X = 0) = 1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^{10}\approx 1-0{,}1615 = 0{,}838$.
$E(X) = np = 10\times\dfrac{1}{6}\approx 1{,}67$.
Conclusion. $P(X = 2)\approx 0{,}291$, $P(X\ge 1)\approx 0{,}838$, et on obtient en moyenne $1{,}67$ six sur dix lancers.
Les erreurs à ne pas faire
- Appliquer la loi binomiale à un tirage sans remise : les épreuves ne sont alors plus indépendantes.
- Calculer $P(X\ge 1)$ comme $P(X = 1)$ : « au moins un » se calcule avec l'événement contraire.
- Confondre $P(X\le k)$ et $P(X
- Oublier l'exposant $n-k$ sur la probabilité d'échec.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0{,}4$. Calculer $P(X = 3)$.
Voir le corrigé
$P(X = 3) = \binom{5}{3}\times 0{,}4^3\times 0{,}6^2 = 10\times 0{,}064\times 0{,}36 = 0{,}2304$.
- Exercice 2
Une machine produit $5\,\%$ de pièces défectueuses. On prélève $20$ pièces au hasard dans une grande production. Quelle est la probabilité d'avoir au moins une pièce défectueuse ?
Voir le corrigé
La production étant grande, le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $20$ et $0{,}05$.
$P(X\ge 1) = 1-P(X = 0) = 1-0{,}95^{20}\approx 1-0{,}358 = 0{,}642$.
- Exercice 3
Un QCM comporte $20$ questions à $4$ réponses dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard. Quel est son nombre moyen de bonnes réponses, et l'écart type ?
Voir le corrigé
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}25$.
$E(X) = 20\times 0{,}25 = 5$ et $\sigma(X) = \sqrt{20\times 0{,}25\times 0{,}75}=\sqrt{3{,}75}\approx 1{,}94$.
Questions fréquentes
Que représente le coefficient binomial ?
$\binom{n}{k}$ compte le nombre de chemins de l'arbre qui réalisent exactement $k$ succès sur $n$ épreuves, autrement dit le nombre de façons de choisir $k$ positions parmi $n$. C'est lui qui explique pourquoi $P(X = k)$ n'est pas simplement $p^k(1-p)^{n-k}$.
Quand peut-on assimiler un tirage sans remise à une loi binomiale ?
Quand la population est très grande devant l'échantillon, en pratique lorsque l'échantillon représente moins de $10\,\%$ de la population. Prélever $20$ pièces dans une production de plusieurs milliers ne modifie pas sensiblement les proportions : l'approximation est alors légitime, et les énoncés le précisent.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Loi binomiale en Terminale, voici le reste des ressources du site :