∑Synthèses de cours de maths
Chapitres de Terminale
  1. Suites : récurrence et limites
  2. Limites de fonctions et asymptotes
  3. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
  4. Dérivation : composées et convexité
  5. Fonction logarithme népérien
  6. Primitives et équations différentielles
  7. Calcul intégral
  8. Vecteurs, droites et plans de l'espace
  9. Produit scalaire dans l'espace et équations de plans
  10. Dénombrement
  11. Épreuves de Bernoulli et loi binomiale
  12. Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres

Terminale — chapitre 10 sur 12

Dénombrement

Compter des listes (ordre, répétitions) ou des parties (sans ordre) : $n^k$, $n!$, $\binom nk$.

Principes de base

Additif : si $A\cap B = \varnothing$, $\text{card}(A\cup B) = \text{card}A+\text{card}B$. Multiplicatif : $\text{card}(A\times B) = \text{card}A\times\text{card}B$. Nombre de $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments : $n^k$ (ordre, répétitions autorisées).

Définition — permutations, arrangements

Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $n! = n\times(n-1)\times\cdots\times1$ ($0! = 1$). Nombre de $k$-uplets d'éléments distincts (arrangements) : $\dfrac{n!}{(n-k)!}$.

Définition — combinaisons

Nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments (sans ordre, sans répétition) : $$\binom nk = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}.$$ $\binom n0 = \binom nn = 1$, $\binom n1 = n$, $\binom n2 = \dfrac{n(n-1)}2$.

Propriétés

Symétrie $\binom nk = \binom n{n-k}$ ; triangle de Pascal $\binom nk+\binom n{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ ; $\sum_{k=0}^n\binom nk = 2^n$ (nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments).

Exemple

Nombre de mains de $5$ cartes dans un jeu de $32$ : $\binom{32}5 = 201\,376$. Nombre de podiums (ordre) parmi $10$ coureurs : $10\times9\times8 = 720$. Nombre de codes à $4$ chiffres : $10^4$.

Méthode — choisir le bon outil

Ordre compte et répétition possible : $n^k$. Ordre compte sans répétition : $\dfrac{n!}{(n-k)!}$. Ordre ne compte pas : $\binom nk$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle est la différence entre combinaison et arrangement ?

Un arrangement tient compte de l'ordre ($\dfrac{n!}{(n-k)!}$ façons), une combinaison non ($\binom nk$ façons).

Comment calculer $\binom{n}{k}$ ?

$\binom nk = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$, ou avec le triangle de Pascal : $\binom nk+\binom n{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$.

Combien y a-t-il de façons de ranger n objets ?

$n! = n\times(n-1)\times\cdots\times1$ permutations. Par exemple $5! = 120$.

Combien de parties possède un ensemble à n éléments ?

$2^n$, car chaque élément est ou non dans la partie. C'est aussi $\sum_k\binom nk$.
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