∑Synthèses de cours de maths
Chapitres de Terminale
  1. Suites : récurrence et limites
  2. Limites de fonctions et asymptotes
  3. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
  4. Dérivation : composées et convexité
  5. Fonction logarithme népérien
  6. Primitives et équations différentielles
  7. Calcul intégral
  8. Vecteurs, droites et plans de l'espace
  9. Produit scalaire dans l'espace et équations de plans
  10. Dénombrement
  11. Épreuves de Bernoulli et loi binomiale
  12. Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres

Terminale — chapitre 11 sur 12

Épreuves de Bernoulli et loi binomiale

Répéter $n$ fois une épreuve de Bernoulli de façon indépendante donne une loi binomiale $\mathcal B(n\,;p)$.

Définition — épreuve et schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité $p$) et échec ($1-p$). Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves identiques et indépendantes.

Théorème — loi binomiale

Le nombre de succès $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n\,;p)$ : pour $k\in\{0,\ldots,n\}$, $$P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}.$$ $$E(X) = np\qquad V(X) = np(1-p)\qquad\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.$$

Exemple

$X\sim\mathcal B(10\,;0{,}3)$ : $P(X = 2) = \binom{10}2\,0{,}3^2\,0{,}7^8\approx0{,}233$ ; $P(X\ge1) = 1-0{,}7^{10}\approx0{,}972$ ; $E(X) = 3$.

Méthode — à la calculatrice

$P(X = k)$ : binompdf(n,p,k) ; $P(X\le k)$ : binomcdf(n,p,k). $P(X\ge k) = 1-P(X\le k-1)$ ; $P(a\le X\le b) = P(X\le b)-P(X\le a-1)$.

Méthode — déterminer un seuil

Plus petit $n$ tel que $P(X\ge1)\ge0{,}95$ : $1-(1-p)^n\ge0{,}95\iff n\ge\dfrac{\ln0{,}05}{\ln(1-p)}$.

Définition — intervalle de fluctuation

Intervalle $[a\,;b]$ tel que $P(a\le X\le b)\ge0{,}95$, choisi avec $P(Xb)\le0{,}025$ : il sert à juger si une fréquence observée est « normale ».

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quand utiliser la loi binomiale ?

Quand on répète $n$ fois, de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli de probabilité de succès $p$, et qu'on compte le nombre de succès.

Comment calculer P(X = k) pour une loi binomiale ?

$P(X = k) = \binom nkp^k(1-p)^{n-k}$.

Quelle est l'espérance de la loi binomiale ?

$E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$, $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$.

Comment calculer P(X ≥ 1) ?

Avec l'événement contraire : $P(X\ge1) = 1-P(X = 0) = 1-(1-p)^n$.
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