حوليات البكالوريا في الرياضيات 2023 نهائيًا للمراجعة عبر الإنترنت.

تم تصنيف العديد من التدريبات النموذجية لبكالوريا الرياضيات لعام 2023 حسب الفصول.

تسمح لك هذه التمارين النموذجية بمراجعة البكالوريا الثانوية من أجل إعدادك في أفضل الظروف.

بالإضافة إلى جميع مواد البكالوريا في الرياضيات من الدورات السابقة ، يوفر لك Mathovore مقتطفات من الموضوعات التي تستهدف كل فصل من برنامج السنة النهائية.

الدوال العددية

نحن نعتبر الخريطة و $\,\mathbb{R}$ في $\,\mathbb{R}$ المعرفة من قبل:

سواء $\,x\in\,%5B0;2%5B\,,\,\,f(x)=x^2(2-x)$ ؛

ولكل شيء $\,x$ ل $\,\mathbb{R}\,,\,f(x+2)=f(x)$ .

1. دراسة القيد $\,f_0$ من و إلى الفاصل الزمني[0;2] وبناء ممثل منحنى $\,f_0$ .

كيف يمكننا استنتاج ممثل المنحنى لقصر f على الفترة[2n;2n+2] حيث n عنصر من $\,\mathbb{Z}$ .

2. إثبات أن:

سواء $\,x\in\,%5B2n;2n+2%5D\,,\,\,f(x)=(x-2n)^2(2n+2-x).$

3. هل f مستمر في $\,\mathbb{R}$ ؟

4. هل f قابل للتفاضل في $\,\mathbb{R}$ ؟

المتتاليات العددية

يكون $\,(U_n)$ و $\,(V_n)$ التسلسلات المحددة لأي عدد طبيعي n بواسطة:

$\,U_0=9\,,\,U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n-3\,,\,V_n=U_n+6$

1.أ. تبين أن $\,(V_n)$ عبارة عن سلسلة هندسية ذات حدود موجبة.

ب. احسب المجموع $\,S_n=\sum_{k=0}^{n}V_k$ كدالة لـ n واستنتاج المجموع $\,S'_n=\sum_{k=0}^{n}U_k$ كدالة ل n.

ضد. يحدد $\,lim_{n\,\to\,+\infty}\,S_n$ و $\,lim_{n\,\to\,+\infty}\,S'_n$ .

2. نحدد التسلسل $\,(W_n)$ بواسطة $\,W_n=ln\,V_n$ لأي عدد صحيح ن.

تبين أن التسلسل $\,(W_n)$ هو تسلسل حسابي.

احسب $\,S''_n=\sum_{k=0}^{n}W_k$ كدالة لل n وتحديد $\,lim_{n\,\to\,+\infty}\,S''_n$

3. احسب المنتج $\,P_n=V_0\times \,V_1\,\times \,....\times \,V_n$ اعتمادا على ن.

للاستنتاج $\,lim_{n\,\to\,+\infty}\,P_n$ .

الاحتمالات:

يبدأ اللاعب لعبة ويلعب خلالها عدة ألعاب متتالية.

احتمال خسارة اللاعب للمباراة الأولى هو 0.2.

ثم تستمر اللعبة على النحو التالي:

إذا ربح لعبة ، فإنه يخسر اللعبة التالية مع احتمال 0.05 ؛

إذا خسر لعبة ، فإنه يخسر اللعبة التالية باحتمال 0.1.

1) ندعو:

هـ ₁ – حدث “خسر اللاعب المباراة الأولى” ؛

هـ ₂ – حدث “خسر اللاعب المباراة الثانية”.

هـ ₃ – حدث “خسر اللاعب المباراة الثالثة”.

نسمي X المتغير العشوائي الذي يعطي عدد المرات التي يخسر فيها اللاعب خلال أول ثلاث مباريات.

يمكننا استخدام شجرة مرجحة.
أ) ما هي القيم التي يأخذها X ؟
ب) أظهر أن احتمالية الحدث ( X = 2) تساوي 0.031 وأن احتمال الحدث ( X = 3) يساوي 0.002.
ج) تحديد التوزيع الاحتمالي لـ X.
د) احسب توقع X.
2) بالنسبة لأي عدد طبيعي غير صفري n ، نلاحظ E _n الحدث: “اللاعب يخسر اللعبة رقم n” ، $\overline{E_n}$ الحدث المعاكس ، ونلاحظ p _n احتمال الحدث E _n .
أ) عبر عن أي عدد طبيعي غير صفري n ، احتمالات الأحداث
$E_n\cap\,E_n$ و $\overline{E_n}\cap\,E_n$ كدالة لـ p _n .
ب) استنتج أن p _n ₊₁ = 0.05 p _n + 0.05 لأي عدد طبيعي غير صفري n .
3) نحن نعتبر التسلسل ( u _n ) المحدد لأي عدد طبيعي غير صفري n بواسطة $U_n=P_n-\frac{1}{19}$ .
أ) بيّن أن ( u _n ) تسلسل هندسي نحدد له النسبة المشتركة والمصطلح الأول.
ب) استنتج ، لأي عدد طبيعي غير صفري n ، u _n ثم p _n كدالة لـ n .
ج) احسب نهاية p _n عندما تميل n إلى $+\infty$ .

ارقام مركبة

بحث عن الأزواج $\,(z_1,z_2)$ من الأعداد المركبة التي تفي بالشروط:

$\,\{{z_1z_2=\frac{1}{2}\atop\,z_1+2z_2=\sqrt{3}}$ .

أعط الشكل المثلثي لكل من الأرقام التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة.

الأعداد المركبة وعلم المثلثات

دع الأعداد المركبة $\,z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}$ و $\,z_2=1-i$ .

1. ضع في الشكل المثلثي $\,z_1\,,\,z_2\,,\,Z=\frac{z_1}{z_2}$ .

استنتج أن:

$\,cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ و $\,sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ .

3. ضع في اعتبارك المعادلة الحقيقية المجهولة س:

$\,(\sqrt{6}+\sqrt{2})cos\,x+(\sqrt{6}-\sqrt{2})sin\,x=2$

الى. حل هذه المعادلة في $\,\mathbb{R}$ .

ب. ضع نقاط صورة الحلول على الدائرة المثلثية.

المعادلات التفاضلية

نحن نعتبر المعادلة التفاضلية $\,y'-2y=e^{2x}\,(E)$ .

1. إثبات أن الدالة u تم تعريفها عليها $\mathbb{R}$ بواسطة $u(x)=xe^{2x}$ هو حل (E).

2. حل المعادلة التفاضلية $\,y'-2y=0\,\,\,(E_0)$ .

3. إثبات أن دالة v مُعرَّفة على $\,\mathbb{R}$ هو حل (E) فقط إذا كان vu هو حل $\,(E_0)$ .

4. استنتج جميع حلول المعادلة (هـ).

5. حدد دالة الحل (E) التي تأخذ القيمة 1 عند 0.

6. الطائرة لها مرجع متعامد $\,(O,\vec{i},\vec{j}).$

دع الوظيفة f يتم تعريفها على $\,\mathbb{R}$ بواسطة $\,f(x)=(x+1)e^{2x}$ .

نلاحظ C منحنى ممثل f في المرجع $\,(O,\vec{i},\vec{j}).$

الى. ادرس الاختلافات في f ثم ضع جدول التباين الخاص بها.

ب. تتبع C.

مركز الثقل للنقاط الموزونة

نعتبر المثلث ABC للمستوى.

1.أ. تحديد وبناء النقطة G ، مركز الثقل لنظام النقاط الموزونة:

$\,\{(A;1)\,;\,(B;-1)\,;\,(C;1)\}$ .

ب. تحديد وبناء النقطة G ‘، مركز الثقل لنظام النقاط الموزونة:

$\,\{(A;1)\,;\,(B;5)\,;\,(C;-2)\}$ .

2-أ. لنفترض أن J تكون نقطة المنتصف لـ[AB] .

يعبر $\vec{GG'}$ و $\vec{JG'}$ من ناحية $\vec{AB}$ و $\vec{AC}$ واستنتاج تقاطع الخطين (GG ‘) و (AB).

ب. أظهر أن مركز الثقل الأول لنظام النقاط الموزونة:

$\,\{(B;2)\,;\,(C;-1)}$ ينتمي إلى (GG ‘).

3. لنفترض أن D هي أي نقطة من المستوى و O هي نقطة المنتصف[CD] و K نقطة المنتصف من[OA] .

الى. حدد ثلاثة أرقام حقيقية أ ، ب ، ج بحيث يكون K هو مركز الثقل لنظام النقاط الموزونة:

$\,\{(A;a)\,;\,(B;b)\,;\,(C;c)\}$ .

ب. لنفترض أن X تكون نقطة التقاطع بين (DK) و (AC).

حدد الأعداد الحقيقية “أ” و “ج” بحيث يكون X هو مركز الثقل لنظام النقاط الموزونة:

$\,\{(A;a')\,;\,(C;c')\}$ .

الهندسة في الفضاء

نقترح دراسة نموذج برج مراقبة الحركة الجوية ، المسؤول عن مراقبة طريقين جويين يمثلهما خطان مستقيمان في الفضاء.

يشار إلى الفضاء إطار متعامد $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ الوحدة 1 كم.

الخطة $(O;\vec{i},\vec{j})$ يمثل الأرض.

يتم تمثيل المسارين الجويين اللذين سيتم التحكم فيهما بخطين مستقيمين $\,(D_1)$ و $\,(D_2)$ التي نعرف تمثيلاتها البارامترية:

$\,(D_1)\,\,\,\\,{x=3+a\,\\\,y=9+3a\,\\\,z=2\,$

$\,(D_2)\,\,\,\\,{x=0,5+2b\,\\\,y=4+b\,\\\,z=4-b\,$

1.أ. حدد إحداثيات المتجه $\,\vec{u_1}$ مدير الحق $\,(D_1)$ وناقل $\,\vec{u_2}$ مدير الحق .

ب. إثبات أن الخطوط $\,(D_1)$ و $\,(D_2)$ ليست متحد المستوى.

2. نرغب في التثبيت في الجزء العلوي S من برج المراقبة ، بإحداثيات S (3 ؛ 4 ؛ 0،1) ، n جهاز مراقبة ينبعث منه شعاع يمثله خط مستقيم يُشار إليه (R).

أيضاً $\,(P_1)$ الطائرة التي تحتوي على S و $\,(D_1)$ وإما $\,(P_2)$ الطائرة التي تحتوي على S و $\,(D_2)$ .

الى. بين أن $\,(D_2)$ قاطع ل $\,(P_1)$ .

ب. بين أن $\,(D_1)$ قاطع ل $\,(P_2)$ .

ضد. يدعي أحد الفنيين أنه من الممكن اختيار اتجاه (R) بحيث يتقاطع هذا الخط مع كل من الخطوط $\,(D_1)$ و $\,(D_2)$ .

هل هذا البيان صحيح؟ (برر الجواب)

مشكلة في المعادلات التفاضلية

الجزء أ

نعطي عددًا طبيعيًا موجبًا تمامًا n ، وننظر في المعادلة التفاضلية:

$(E_n)\,\,y'+y=\frac{x^n}{n!}e^{-x}$

1. نفترض أن وظيفتين g و h محددتين وقابلة للتفاضل على $\mathbb{R}$ ، تحقق ، لجميع أنواع x الحقيقية:

$g(x)=h(x)e^{-x}$

الى. بيّن أن g هو حل لـ إذا وفقط إذا ، بالنسبة لجميع x الحقيقي:

$\,\,h'(x)=\frac{x^n}{n!}$ .

ب. استنتج الدالة h المرتبطة بحل g من ، مع العلم أن f (0) = 0.

ما هي إذن الوظيفة g؟

2. إما $\phi$ وظيفة قابلة للتفاضل في $\mathbb{R}$ .

الى. تبين أن $\phi$ هو حل إذا وفقط إذا $\phi\,-\,g$ هو حل المعادلة:

(F) y ‘+ y = 0

ب. حل (F).

ضد. تحديد الحل العام $\phi$ من المعادلة .

د. حدد الحل f للمعادلة التحقق من f (0) = 0.

الجزء ب

الغرض من هذا القسم هو توضيح ما يلي:
$\fbox{\lim_{n\,\to\,+\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}$
1. وضعنا ، لجميع أنواع x الحقيقية ،

$f_0(x)=e^{-x}\,,\,f_1(x)=xe^{-x}$ .

الى. تحقق من ذلك هو حل المعادلة التفاضلية: y ‘+ y = .

ب. لأي عدد صحيح موجب بدقة n ، نحدد الوظيفة كحل المعادلة التفاضلية y ‘+ y = $f_{n-1}$ تدقيق .

باستخدام الجزء أ ، أظهر بالاستقراء ذلك ، بالنسبة لجميع x الحقيقي وجميع الأعداد الصحيحة $n\ge\,1$ :

$f_n(x)=\frac{x^n}{n!}e^{-x}$ .

2. لأي عدد طبيعي n ، حددنا:

$I_n=\int_{0}^{1}\,f_n(x)dx$

الى. اعرض ، لأي عدد طبيعي n ولأي عنصر x في الفترة الزمنية[0;1] ، الاطار:

$0\le\,f_n(x)\le\,\frac{x^n}{n!}$ .

استنتج ذلك $0\le\,I_n\le\,\frac{1}{(n+1)!}$ ، ثم حدد حد التسلسل $(\,I_n)$ .

ب. أظهر ، لأي عدد طبيعي غير صفري ك ، المساواة:

$\fbox{I_k-I_{k-1}=-\frac{1}{k!}e^{-1}}$ .

ضد. احسب ويستنتج مما سبق أن:

$I_n=1-\sum_{k=0}^{n}\frac{e^{-1}}{k!}$ .

د. استنتج أخيرًا:
$\fbox{\lim_{n\,\to\,+\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}$
تشابه الطائرة وتخصص التدريس

يشار إلى المستوى المعقد P إلى إطار متعامد $\,(O;\vec{u},\vec{v})$ .

نشير بواسطة s الخريطة التي تربط أي نقطة M من P بالإحداثيات (x ، y) النقطة M ‘بالإحداثيات (x’ ، y ‘) بحيث:

$\,\{{x'=-x-y+2\atop\,y'=x-y-1}$

1. حدد اللاحقة z ‘لـ M’ كدالة في اللاحقة z لـ M.

2. إثبات أن s هو تشابه مباشر في المستوى.

حدد زاويتها ونسبتها ومركزها أنا.

3. لنفترض أن g هي الخريطة التي تربط M of P ، إلى أي نقطة ، مركز isobarycenter G للنقاط M و M ‘= s (M) و M’ = s (M ‘).

الى. احسب ، كدالة لللاحقة z لـ M ، ألقاب النقطتين M ” و G.

ب. يثبت أن g هو تشابه مباشر في المستوى.

ما هو مركزها؟

ضد. حدد عنوان النقطة Mo بحيث تكون g (Mo) هي النقطة O.

تقرير عن شكل النقاط المقابلة Mo ، M’o ، M’o ، وكذلك النقطة I ، مركز التشابه s.

مقتطفات من البكالوريا S في الحساب

لنفترض أن n عددًا طبيعيًا.

1. أوجد وفقًا لقيم n ، ما تبقى من قسمة $\,5^n$ بحلول 13.

2. استنتج ذلك $\,1981^{1981}-5$ يقبل القسمة على 13.

3. إثبات أن أي عدد طبيعي n أكبر من أو يساوي 1 ، هو الرقم $\,N=31^{4n+1}+18^{4n-1}$ يقبل القسمة على 13.

أوجه التشابه في التخصص

في المستوى الموجه ، نعتبر مربعًا مباشرًا ABCD مع مركز O.

دع P يكون نقطة من المقطع[BC] متميزة عن ب.

نشير بواسطة Q إلى تقاطع (AP) مع (CD).

العمودي $\,\Delta$ عند (AP) يمر عبر تقاطع A (BC) في R و (CD) في S.

1. اصنع خدعة.

2. لنفترض أن r هو الدوران مع المركز A والزاوية $\,\frac{\pi}{2}$ .

الى. حدد ، مبررًا إجابتك ، صورة الخط (BC) بالتناوب r.

ب. حدد صور R و P بواسطة r.

ضد. ما هي طبيعة كل من المثلثات ARQ و APS؟

3. نشير بواسطة N في منتصف المقطع[PS] و M ذلك الجزء[QR] .

لنكن تشابه المركز أ ، الزاوية $\,\frac{\pi}{4}$ والتقرير $\,\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

الى. تحديد الصور الخاصة بكل من R و P by s.

ب. ما هو موضع النقطة N عندما تصف P المقطع[BC] محروم من ب؟

ضد. إثبات أن النقاط M و B و N و D محاذاة.

أسي في Bac S في أمريكا الشمالية
الغرض من هذا السؤال هو إظهار ذلك $\lim_{x\,\mapsto \,+\infty\,}\frac{e^x}{x}=+\infty$ .

نفترض أن النتائج التالية معروفة:
· الدالة الأسية قابلة للاشتقاق على R وتساوي دالة مشتقتها ؛
· ؛
لأي x حقيقي ، لدينا ؛
تكون وظيفتين $\Psi$ و $\varphi$ المحددة في الفاصل الزمني $%5BA;+\infty%5B$ حيث A حقيقي إيجابي.
إذا كان لكل x من $%5BA;+\infty%5B$ و $\Psi\,(x)<\varphi\,(x)$ وإذا $\lim_{x\,\mapsto \,+\infty\,}\Psi\,(x)=+\infty$ ثم $\lim_{x\,\mapsto \,+\infty\,}\varphi\,(x)=+\infty$ .
أ) نعتبر الوظيفة g المحددة على $%5B0;+\infty%5B$ بواسطة $g(x)=e^x-\frac{x^2}{2}$ .
أظهر ذلك لكل x من $%5B0;+\infty%5B$ و $g(x)\geq\,\,0$ .
ب) استنتج ذلك $\lim_{x\,\mapsto \,+\infty\,}\frac{e^x}{x}=+\infty$ .
أوجه التشابه مع البكالوريا S في بونديشيري في التخصص

يرتبط المستوى المعقد بمعلم متعامد مباشر $(O,\vec{u},\vec{v})$ .

نحن نعتبر التطبيق التي عند النقطة M من اللاحقة z تجعلها تتوافق مع النقطة M ‘من اللاحق حيث :
$z'=\frac{3+4i}{5}\overline{z}+\frac{1-2i}{5}$ .

نشير إلى x و x ‘ و y و y’ الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية لـ z و z ‘ .

إثبات ذلك $x'=\frac{3x+4y+1}{5}$ و $y'=\frac{4x-3y-2}{5}$
2-أ. أوجد مجموعة النقاط الثابتة بواسطة f.
ب. ما هي طبيعة الخريطة و؟
3. حدد المجموعة D من النقاط M مع اللاحقة z بحيث تكون z ‘ حقيقية.

4. نريد تحديد نقاط D التي إحداثياتها أعداد صحيحة.

أعط حلاً خاصًا ( x 0 ، y 0) ينتمي إلى Z ² للمعادلة 4 x – 3 y = 2.

أوجد مجموعة الحلول التي تنتمي إلى Z ² للمعادلة 4 x – 3 y = 2.

5. ضع في اعتبارك النقطتين M اللاحقتين z = x + iy بحيث تكون x = 1 و $y\,\in\,Z$ . النقطة M ‘= f (M) لها لصق z’ .

حدد الأعداد الصحيحة y بحيث يكون Re ( z ‘ ) و lm ( z’ ^‘ ) عددًا صحيحًا (يمكننا استخدام مقياس التطابق 5).

الهندسة في الفضاء في البكالوريا S في فرنسا:

يكون رقم حقيقي موجب تمامًا و OABC رباعي السطوح مثل:

– OAB و OAC و OBC هي مثلثات قائمة في O ،

– OA = OB = OC = .

نسمي I قدم الارتفاع الناتج عن C للمثلث ABC ، و H سفح الارتفاع الناتج عن O للمثلث OIC ، و D نقطة الفضاء المحددة بواسطة:

1. ما هي طبيعة المثلث ABC؟
2. أثبت أن الخطين (OH) و (AB) متعامدين ، ثم أن H هو المركز العمودي للمثلث ABC.
3. حساب OH
الى. احسب الحجم V من رباعي الوجوه OABC ثم المساحة S للمثلث ABC.
ب. عبر عن OH كدالة لـ V و S ، استنتج ذلك $OH=a\frac{\sqrt{3}}{3}$ .
4. دراسة رباعي السطوح ABCD.

يشار إلى الفضاء إلى المعالم المتعامدة $(O,\frac{1}{a}\vec{OA},\frac{1}{a}\vec{OB},\frac{1}{a}\vec{OC})$ .
(أ) إثبات أن النقطة H لها إحداثيات: $(\frac{a}{3},\frac{a}{3},\frac{a}{3})$ .
(ب) إثبات أن رباعي الوجوه ABCD منتظم (أي أن جميع حوافه لها نفس الطول).
(ج) إما $\Omega$ مركز الكرة محصور على رباعي السطوح ABCD.
إثبات ذلك $\Omega$ هي نقطة على الخط (OH) ثم احسب إحداثياتها.
المعادلات التفاضلية والبكتيريا

أيضاً عدد البكتيريا التي تم إدخالها إلى وسط مستنبت في الوقت الحالي ( كونها حقيقة إيجابية تمامًا ، يتم التعبير عنها بملايين الأفراد).

تهدف هذه المشكلة إلى دراسة نموذجين لتطور هذه المجموعة من البكتيريا:

– نموذج أول للحظات التي تلي البذر ( الجزء أ ) ،

– نموذج ثان يمكن تطبيقه على مدى فترة طويلة ( الجزء ب ).

الجزء أ

في اللحظات التالية لتلقيح وسط الثقافة ،

يعتبر أن معدل نمو البكتيريا يتناسب مع عدد البكتيريا الموجودة.

في هذا النموذج الأول ، نلاحظ عدد البكتيريا في الوقت الحالي (معبراً عنها بملايين الأفراد).

الوظيفة لذلك هو حل المعادلة التفاضلية: . (أو هي حقيقة إيجابية تمامًا اعتمادًا على الظروف التجريبية).
1. حل هذه المعادلة التفاضلية مع العلم بذلك .
2. ملاحظة وقت مضاعفة عدد البكتيريا.
إثبات ذلك ، لأي ر حقيقي إيجابي: $f(t)=N_o2^{\frac{t}{T}}$ .

الجزء ب

نظرًا لأن الوسط محدود (من حيث الحجم ، في العناصر الغذائية ، وما إلى ذلك) ، لا يمكن أن ينمو عدد البكتيريا بشكل كبير إلى ما لا نهاية. لذلك لا يمكن تطبيق النموذج السابق على مدى فترة طويلة.

لأخذ هذه الملاحظات في الاعتبار ، يتم تمثيل تطور البكتيريا على النحو التالي:

أيضاً هو عدد البكتيريا في الوقت t (معبرًا عنه بملايين الأفراد) ؛

الوظيفة هي دالة موجبة تمامًا وقابلة للتفاضل في $%5B0;+\infty%5B$ من يتحقق من كل شيء ل $%5B0;+\infty%5B$ العلاقة:

$(E)\,\,g(t)=ag(t)%5B1-\frac{g(t)}{M}%5D$

حيث M ثابت موجب تمامًا اعتمادًا على الظروف التجريبية و الحقيقي المحدد في الجزء أ . 1. (أ) برهن على ذلك إذا هي وظيفة إيجابية بشكل صارم ترضي العلاقة (E) ،
ثم الوظيفة $\frac{1}{g}$ هو حل المعادلة التفاضلية
$(E')\,\,y'+ay=\frac{a}{M}$

(ب) حل (E ‘).
(ج) إثبات ذلك إذا هو حل إيجابي تمامًا لـ (E ‘) ، إذن $\frac{1}{h}$ تحقق (E).
2. نفترض الآن أن ، لأي حقيقة إيجابية $t,\,g(t)=\frac{M}{1+Ce^{at}}$
أو هو ثابت أكبر بشكل صارم من 1 اعتمادًا على الظروف التجريبية.
(أ) تحديد حد في $+\infty$ والتظاهر ، لأي شيء حقيقي موجب أو صفر ، عدم المساواة المزدوجة: .
(ب) دراسة اتجاه الاختلاف (يمكننا استخدام العلاقة (E)).
إثبات أن هناك حقيقة فريدة من نوعها إيجابية مثل $g(t_0)=\frac{M}{2}$ .
(ج) أظهر ذلك $g''=a(1-\frac{2g}{M})g'$ .
ادرس علامة .
استنتج أن معدل الزيادة في عدد البكتيريا آخذ في التناقص منذ اللحظة المعرفة أعلاه.
يعبر من ناحية و .
(د) مع العلم أن عدد البكتيريا في الوقت الحالي شرق ، احسب متوسط عدد البكتيريا بين مرات 0 و ، كدالة لـ M و .
احتمالات Bac S في كاليدونيا الجديدة:

تتكون اللعبة من سحب ثلاث كرات في وقت واحد من جرة تحتوي على ست كرات بيضاء وأربع كرات حمراء.

نحن نفترض أن جميع السحوبات محتملة بالتساوي.

إذا كانت الكرات الثلاث المسحوبة حمراء ، يربح اللاعب 100 يورو ؛

إذا كانت الكرتان المسحوبتان باللون الأحمر ، فسيحصل على 15 يورو

وإذا كان أحمر واحد فقط يربح 4 يورو.

في جميع الحالات الأخرى ، لا يربح شيئًا.

لنفترض أن X هو المتغير العشوائي الذي يأخذ قيمة أرباح اللاعب باليورو أثناء اللعبة.

1 °) حدد قانون الاحتمالات للمتغير العشوائي X.

2 °) الرهان على لعبة واحدة هو 10 يورو. هل اللعبة مواتية للاعب ، أي هل التوقع الرياضي أكبر من 10 بدقة؟

3 °) بالنسبة للمنظم ، لم تثبت اللعبة أنها مربحة بما فيه الكفاية ، يتصور الأخير حلين:

_ إما أن تزيد الرهان بمقدار 1 يورو ، لذا اذهب إلى 11 يورو ،

_ أو قلل كل فوز بمقدار 1 يورو ، أي اربح 99 يورو فقط ، 14 أو 3 يورو.
ما هو الحل الأكثر ربحية للمنظم؟

الحساب في التخصص

نعتبر عددين طبيعيين غير صفريين ، x و y عدد أولي نسبيًا.

دع S = x + y و P = xy.

1 °) أ) إثبات أن x و S هما جريمة مشتركة ، وكذلك y و S.

ب) استنتج أن S = x + y و P = xy هي جريمة مشتركة.

ج) إثبات أن الرقمين S و P لهما تعادلات مختلفة (أحدهما زوجي والآخر فردي).
2 °) حدد المقسومات الموجبة للعدد 84 ورتبهم ترتيبًا تصاعديًا.

3 °) أوجد الأعداد الأولية بينهما x و y بحيث: SP = 84.

4 °) تحديد العددين الطبيعيين أ و ب مستوفين الشروط التالية:
$\,\{\,a+b=84\\ab=d^3\,.$ مع d = gcd (a ؛ b)
(يمكننا تعيين a = dx و b = dy مع x و y عددًا أوليًا نسبيًا).

ارقام مركبة

1 °) نحن نعتبر كثير الحدود P للمتغير المعقد z ، المحدد بواسطة:
$P(z)=z^3+(14-i\sqrt{2})z^2+(74-14i\sqrt{2})z-74i\sqrt{2}$ .
أ) حدد العدد الحقيقي y بحيث يكون i y حلًا للمعادلة P ( z ) = 0.
ب) أوجد عددين حقيقيين أ وب مثل أي عدد مركب ض ،
نحن $P(z)=(z-i\sqrt{2})(z^2+az+b)$
ج) حل ككل $\mathbb{C}$ الأعداد المركبة ، المعادلة P ( z ) = 0.
2 °) يرتبط المستوى المعقد بمرجع متعامد مباشر $(O,\vec{u},\vec{v})$ .

سنأخذ 1 سم لوحدة الرسم.
أ) ضع النقاط A و B و I مع الألقاب الخاصة بها z _A = -7 + 5 i ؛ ض _ب = -7-5 ط و $z_I=i\sqrt{2}$ .
ب) تحديد ملحق صورة النقطة I بتناوب المركز O والزاوية $-\frac{\pi}{4}$ .
ج) ضع النقطة C مع اللاحق z _C = 1 + i. أوجد رابط النقطة N بحيث يكون ABCN متوازي أضلاع.
د) ضع النقطة D مع اللاحق z _A = 1 + 11 i.
احسب $Z=\frac{Z_A-Z_C}{Z_D-Z_B}$ في الشكل الجبري ثم في الشكل المثلثي.
برر أن الخطين (AC) و (BD) متعامدين واستنتج طبيعة الشكل الرباعي ABCD.

الاحتمالات

تم تجهيز غرفة الكمبيوتر في المدرسة بـ 25 جهاز كمبيوتر ، 3 منها معيبة.

جميع أجهزة الكمبيوتر لها نفس احتمالية الاختيار.

يتم اختيار جهازي كمبيوتر بشكل عشوائي من هذه الغرفة.

ما هو احتمال وجود عطل في جهازي الكمبيوتر؟

عمر الكمبيوتر (أي وقت التشغيل قبل الفشل الأول) ، هو متغير عشوائي X يتبع قانونًا أسيًا مع المعلمة λ مع λ> 0.

وبالتالي ، بالنسبة لأي t حقيقي موجب ، فإن احتمال أن يكون للكمبيوتر عمر أقل من t سنوات ، والمشار إليه بـ p ( X ≤ t ) ، يتم إعطاؤه بواسطة:

$p(X\leq\,\,t)=\int_{0}^{t}\lambda\,e^{-\lambda\,x}dx$ .
1. حدد λ مع العلم أن p ( X> 5) = 0.4.
2. في هذا السؤال ، سنأخذ λ = 0.18.
مع العلم أن جهاز الكمبيوتر لم يتعرض للعطل خلال السنوات الثلاث الأولى ، ما هو احتمال أن يكون عمره أكثر من 5 سنوات في غضون 10 ³ ؟
3. في هذا السؤال ، نفترض أن عمر الكمبيوتر مستقل عن عمر الآخرين وأن p ( X> 5) = 0.4.

الى. ضع في اعتبارك مجموعة من 10 أجهزة كمبيوتر.
ما هو احتمال أن يكون عمر أحد أجهزة الكمبيوتر على الأقل أكثر من 5 سنوات في هذه المجموعة؟

سنقدم قيمة مقربة لألف من هذا الاحتمال.

ب. ما هو الحد الأدنى لعدد أجهزة الكمبيوتر التي يجب اختيارها بحيث يكون احتمال وقوع حدث “يزيد عمر أحدها على الأقل عن 5 سنوات” أكبر من 0.999؟

الهندسة في الفضاء

نعتبر المكعب ABCDEFGH بحافة الطول 1 ممثلة أدناه. لا يلزم تقديم الرسم مع النسخة.

يشار إلى الفضاء إلى المعالم المتعامدة $(A,\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})$
1. إثبات أن المتجه $\vec{v}$ من الإحداثيات (1 ؛ 0 ؛ 1) متجه عادي على المستوى (قبل الميلاد).
2. تحديد معادلة المستوى (قبل الميلاد).
3. نلاحظ (Δ) الخط العمودي في E على المستوى (BCE).
حدد تمثيلًا حدوديًا للخط (Δ).
4. إثبات أن الخط (Δ) قاطع للمستوى (ABC) عند النقطة R ، متماثل مع B بالنسبة إلى A.
5. أ. إثبات أن النقطة D هي مركز الثقل للنقاط R و B و C المتأثرة بالمعاملات ذات الصلة 1 و 1 و 2.
ب. تحديد طبيعة والعناصر المميزة للمجموعة ( S ) من النقاط م
مساحة مثل $\,\%7C\,\vec{MR}\,-\vec{MB}+2\vec{MC}\,\%7C=2\sqrt{2}$
ضد. إثبات أن النقاط B و E و G تنتمي إلى المجموعة ( S ).
د. إثبات أن تقاطع المستوى (BCE) والمجموعة ( S ) عبارة عن دائرة سيتم تحديد نصف قطرها.

الحساب (تخصص)

أثبت نظرية غاوس باستخدام نظرية بيزوت.

نتذكر الخاصية المعروفة باسم نظرية فيرما الصغيرة:

“إذا كان p عددًا أوليًا و q عددًا طبيعيًا مع p ، إذن $q^{p-1}\equiv\,1%5Bp%5D$ “.

نحن نعتبر ما يلي محدد لأي عدد طبيعي غير صفري n بواسطة:
u _n = 2 ⁿ +3 ⁿ +6 ⁿ −1.
1. احسب أول ستة حدود من المتسلسلة.
2. أظهر أنه ، لأي عدد طبيعي غير صفري n ، u _n يساوي عددًا زوجيًا.
3. أظهر أنه لأي عدد زوجي طبيعي غير صفري n ، u _n يقبل القسمة على 4.

نلاحظ (E) مجموعة الأعداد الأولية التي تقسم حدًا واحدًا على الأقل من المتتالية ( u _n ).
4. هل الأعداد الصحيحة 2 و 3 و 5 و 7 تنتمي إلى المجموعة (هـ)؟
5. لنفترض أن p عددًا أوليًا أكبر من 3.
الى. أظهر أن: 6 × 2 ص ⁻² ≡ 3 (نموذج ص ) و 6 × 3 ص ⁻² ≡ 2 (نموذج ص ).
ب. استنتج أن 6 ش _ص ₋₂ ≡ 0 (نموذج ص ).
ضد. هل الرقم p ينتمي إلى المجموعة (E)؟

مشكلة أسية

الجزء أ

نحن نعتبر الوظيفة ضبط ل $%5B0;+\infty%5B$ بواسطة
$g(x)\,=\,e^x-x-1$ .

1. دراسة اختلافات الوظيفة ز .
2. حدد علامة g ( x ) إذا كانت قيم x .
3. استنتج ذلك لكل x من [0؛ + ∞ [، e ^x – x > 0.
الجزء ب

نحن نعتبر الوظيفة f المعرفة في [0؛ 1] بقلم
$f(x)=\frac{e^x-1}{e^x-x}$ .
المنحنى ( C ) ممثل الوظيفة في الطائرة المجهزة بمرجع متعامد يرد في الملحق.

سيتم استكمال هذا الملحق وإعادته مع النسخة في نهاية الحدث.

نعترف بأن f تتزايد بشكل صارم على [0 ؛ 1].

1. أظهر ذلك لكل x من [0 ؛ 1] ، f ( x ) Î [0 ؛ 1].

2. لنفترض أن (D) هو الخط الذي يحتوي على المعادلة y = x .
أظهر ذلك لكل x من [0؛ 1] ، $f(x)-x=\frac{(1-x)g(x)}{e^x-x}$ .
ادرس الموضع النسبي للخط (D) والمنحنى ( C ) على [0 ؛ 1].

3.a. تحديد المشتق العكسي لـ f على [0 ؛ 1].

ب. احسب مساحة ، بوحدات المساحة ، لمجال المستوى الذي يحده المنحنى ( C ) والخط (D) والخطوط ذات المعادلتين x = 0 و x = 1.

الجزء ج

نحن نعتبر التسلسل ( u _n ) المحدد بواسطة:
$U_0=\frac{1}{2}$
$U_{n+1}=f(U_n)$ ، لأي عدد طبيعي n .
1. أنشئ المصطلحات الأربعة الأولى من التسلسل على محور الإحداثي ، تاركًا خطوط البناء مرئية.

2. أظهر ذلك لأي عدد طبيعي n ، $\frac{1}{2}$ u _n ≤ u _n ₊₁ ≤ 1.

3. استنتج أن التسلسل ( u _n ) متقارب وحدد حدوده.

الاحتمالات

لإجراء مسح ، يستجوب الموظف الأشخاص الذين يتم أخذهم عشوائيًا في أحد مراكز التسوق.

إنه يتساءل إذا كان ثلاثة أشخاص على الأقل سيوافقون على الإجابة.
1. يفترض هذا السؤال أن احتمال موافقة شخص تم اختياره عشوائيًا على الإجابة هو 0.1.
يقوم الموظف بإجراء مقابلات مع 50 شخصًا بشكل مستقل.
نحن نعتبر الأحداث:

إلى: “شخص واحد على الأقل يوافق على الإجابة”

ب: “أقل من ثلاثة أشخاص يوافقون على الإجابة”

ج: “ثلاثة أو أكثر يوافقون على الإجابة”.

احسب احتمالات الأحداث A و B و C لأقرب جزء من ألف.

2. لنفترض أن n عدد طبيعي أكبر من أو يساوي 3. في هذا السؤال ، يُفترض أن المتغير العشوائي X الذي ، لأي مجموعة من الأشخاص الذين تم سؤالهم بشكل مستقل ، يربط عدد الأشخاص الذين وافقوا على الإجابة ، يتبع قانون الاحتمالات المحدد بواسطة:
$\,\{\,Pour\,tout\,entier\,k\,tel\,que\,0\leq\,\,k\leq\,\,n-1,\,P(X=k)=e^{-a}\frac{a^k}{k!}\,\\P(X=n)=\sum_{k=1}^{n-1}e^{-a}\frac{a^k}{k!}\\Formules\,pour\,lesquelles\,a=\frac{n}{10}.$
الى. أظهر أن احتمال إجابة ثلاثة أشخاص على الأقل يتم الحصول عليه من خلال:
$f(a)=1-e^{-a}(1+a+\frac{a^2}{2})$
ب. احسب.

تقريب إلى الألف.

هل تعطي هذه النمذجة نتيجة مماثلة لتلك التي تم الحصول عليها في السؤال 1؟

3. نحتفظ بنموذج السؤال 2.

نريد تحديد الحد الأدنى لعدد الأشخاص الذين ستتم مقابلتهم بحيث يكون احتمال استجابة ثلاثة منهم على الأقل أكبر من أو يساوي 0.95.

الى. ادرس الاختلافات في الوظيفة f المحددة في R ⁺ by $f(x)\,=1-e^{-x}(1+x+\frac{x^2}{2})$

فضلا عن الحد في $+\infty$ .

ارسم جدول الاختلافات.

ب. بيّن أن المعادلة f (x) = 0.95 تقبل حلاً فريدًا على R ⁺ ، وأن هذا الحل يقع بين 6.29 و 6.3.

ضد. استنتج أقل عدد ممكن من الأشخاص للمقابلة.

الهندسة ومركز الثقل

يشار إلى الفضاء إلى المعالم المتعامدة $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .
نعتبر المستوى P بالمعادلة 2 x + y – 2 z + 4 = 0 والنقاط A ذات الإحداثيات (3 ؛ 2 ؛ 6) ،
الإحداثيات B (1 ؛ 2 ؛ 4) و C للإحداثيات (4 ؛ -2 ؛ 5).

1.أ. تحقق من أن النقاط A و B و C تحدد مستوى.

ب. تأكد من أن هذا المستوى هو المستوى P.

2-أ. بيّن أن المثلث ABC قائم الزاوية.
ب. اكتب نظام المعادلات البارامترية للخط المار عبر O والعمودي على المستوى P.
ضد. لنفترض أن K هو الإسقاط المتعامد لـ O على P. حساب المسافة موافق.
د. احسب حجم رباعي السطوح OABC.
3. نعتبر ، في هذا السؤال ، نظام النقاط الموزونة S = {(O، 3)، (A، 1)، (B، 1)، (C، 1)}
الى. تحقق من أن هذا النظام يسمح بمركز barycenter ، والذي سنشير إليه بواسطة G.
ب. دعني أكون مركز ثقل المثلث ABC. أظهر أن G ينتمي إلى (OI).
ضد. أوجد المسافة من G إلى المستوى P.
4. اسمحوا Γ أن تكون مجموعة النقاط M في الفضاء مرضية:
$\,\%7C\,3\vec{MO}+\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\,\,\%7C=5$ .
حدد Γ.

ما هي طبيعة مجموعة النقاط المشتركة بين P و؟

تكاملات

1. تحديد ثلاثة أعداد حقيقية أ ، ب ، ج بحيث ، للجميع $\,x\in\,%5D0;+\infty%5B$ :

$\,\frac{1}{x(1+x)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{1+x}+\frac{c}{(1+x)^2}$ .

2. إما $\,X\ge\,1$ .

الى. احسب $\,\int_{1}^{X}\,\frac{dx}{x(1+x)^2}$ .

ب. دع f تكون الوظيفة المحددة في $\,x\in\,%5B1;+\infty%5B$ بواسطة $\,f(X)=\int_{1}^{X}\,\frac{ln\,x}{(1+x)^3}dx$

بالتكامل حسب الأجزاء ، احسب f (X) كدالة في X.

ضد. تبين أن $\,\lim_{X\,\to\,+\infty}\,f(X)=\frac{1}{2}(ln2-\frac{1}{2})$

Cette publication est également disponible en : Français (الفرنسية) English (الإنجليزية) Español (الأسبانية)

قم بتنزيل تطبيقاتنا المجانية مع جميع الدروس والتمارين المصححة.

أشكال أخرى مشابهة لـ حوليات بكالوريا الرياضيات 2023 مع مقتطفات من البكالوريا..

Bac S 2019 في المراكز الأجنبية: مفتاح الموضوع والإجابة للتنزيل بتنسيق PDF
72
جلسة 2019 رياضيات سلسلة S. مدة الاختبار: 4 ساعات التعليم الإجباري ـ المُعامل: 7 التمرين 1 (4 نقاط) مشترك لجميع المرشحين هذا التمرين عبارة عن استبيان متعدد الخيارات (MCQ) يأخذ في الاعتبار أربع حالات المتعلقة بمنتجع التزلج. الأسئلة الأربعة مستقلة. لكل سؤال ، تكون واحدة فقط من الإجابات الأربعة صحيحة.…
Bac s 2019 France: مفتاح الموضوع والجواب للتنزيل بتنسيق PDF
71
BACCALAUREATE العام جلسة 2019 الجمعة 21 يونيو 2019 السباق الرياضيات - السلسلة S - مدة الاختبار: 4 ساعات يُسمح باستخدام أي نموذج للآلة الحاسبة ، مع وضع الاختبار أو بدونه. معامل التعليم التخصصي: 9 يتكون الموضوع من أربعة تمارين مستقلة. يجب على المرشح تغطية جميع التدريبات. المرشح مدعو إلى أن…
Bac S New Caledonia March 2019: مفتاح الموضوع والجواب
68
Bac S كاليدونيا الجديدة مارس 2019 رياضيات سلسلة S. التعليم الإجباري - معامل 7 مدة الاختبار: 4 ساعات التمرين 1: 5 نقاط مشترك لجميع المرشحين يمكن معالجة الأجزاء A و B و C بشكل مستقل. الجزء أ تهتم شركة تأجير السيارات بالحالة الميكانيكية لأسطول سياراتها من أجل التوقع تكاليف الصيانة.…

Les dernières fiches mises à jour.

Voici les dernières ressources similaires à حوليات بكالوريا الرياضيات 2023 مع مقتطفات من البكالوريا. mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Mathovore هو 3500 درس وتمرين في الرياضيات تم تنزيلها13 623 262 سيق PDF.