Au programme de 3ème
Définition
L’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) transforme chaque point \(M\) en un point \(M’\) aligné avec \(O\) et \(M\), tel que \(\vec{OM’} = k\,\vec{OM}\).
En clair
C’est un zoom : la figure est agrandie ou réduite à partir d’un point fixe, en gardant exactement la même forme.
Ce qu’il faut retenir
- Si \(k > 1\), la figure est agrandie ; si \(0 < k < 1\), elle est réduite.
- Si \(k < 0\), l'image est de l'autre côté du centre : la figure est aussi retournée.
- Si \(k = 1\), rien ne bouge ; si \(k = -1\), l’homothétie est la symétrie centrale de centre \(O\).
- Les longueurs sont multipliées par \(|k|\), les aires par \(k^2\) et les volumes par \(|k|^3\).
- Les angles sont conservés : la figure image est semblable à la figure de départ.
Exemple
Une homothétie de rapport 3 transforme un triangle d’aire 5 cm² en un triangle d’aire \(5 \times 3^2 = 45\) cm².
À ne pas confondre avec
- Agrandissement et réduction — l’agrandissement-réduction est l’effet produit par l’homothétie.
- Translation — la translation ne change pas la taille de la figure.
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Termes liés
Agrandissement et réduction
Triangles semblables
Théorème de Thalès
Translation
Rotation
Échelle
Côté opposé
Réciproque du théorème de Thalès
Sinus
Tangente à un cercle
Questions fréquentes sur « homothétie »
Qu’est-ce qu’une homothétie de rapport négatif ?
Une homothétie qui, en plus d’agrandir ou de réduire, envoie l’image de l’autre côté du centre : elle combine un zoom et un demi-tour.
Comment varient les aires dans une homothétie ?
Elles sont multipliées par \(k^2\), où \(k\) est le rapport de l’homothétie.
