Fonction exponentielle : définition et exemple

Sommaire

Définition

La fonction exponentielle est l’unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f’ = f\) et \(f(0) = 1\).

Notation : \(\exp(x)\) ou \(e^x\), avec \(e \approx 2{,}718\).

En clair

C’est la fonction qui est sa propre dérivée ; elle modélise toute croissance proportionnelle à ce qui est déjà là.

\(e^x > 0\) pour tout réel \(x\) : l’exponentielle ne s’annule jamais.
\(e^{a+b} = e^a \times e^b\), \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\), \((e^a)^n = e^{na}\).
Elle est strictement croissante et convexe sur \(\mathbb{R}\).
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^x = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty\).
\(e^a = e^b\) équivaut à \(a = b\) : on peut « simplifier » les exponentielles dans une équation.

Résoudre \(e^{2x-1} = e^{x+3}\) : l’exponentielle étant strictement croissante, \(2x-1 = x+3\), donc \(x = 4\).

Puissance — l’exponentielle prolonge les puissances à tous les exposants réels.
Logarithme népérien — le logarithme est la fonction réciproque de l’exponentielle.

\(e^{a+b} = e^a e^b\), \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\), \(e^0 = 1\), et \(e^x > 0\) pour tout \(x\).

\(e^x\) elle-même : c’est la propriété qui définit cette fonction.

On se ramène à \(e^A = e^B\), ce qui équivaut à \(A = B\) car l’exponentielle est strictement croissante.

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