Terminale — chapitre 5 sur 12
Fonction logarithme népérien
$\ln$ est la fonction réciproque de $\exp$ : elle transforme les produits en sommes.
Pour $x>0$, $\ln x$ est l'unique réel $y$ tel que $e^y = x$. Ainsi $\ln(e^x) = x$ pour tout $x$ et $e^{\ln x} = x$ pour $x>0$ ; $\ln1 = 0$, $\ln e = 1$.
Pour $a,b>0$ et $n$ entier : $$\ln(ab) = \ln a+\ln b\qquad\ln\dfrac ab = \ln a-\ln b\qquad\ln\dfrac1a = -\ln a\qquad\ln(a^n) = n\ln a\qquad\ln\sqrt a = \dfrac12\ln a.$$
$\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ avec $(\ln x)' = \dfrac1x>0$ : $\ln$ est strictement croissante, concave. $\ln a<\ln b\iff a
$\lim_{x\to0^+}\ln x = -\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\ln x = +\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}x = 0$, $\lim_{x\to0^+}x\ln x = 0$, $\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$.
$3^n\ge 1000\iff n\ln3\ge\ln1000\iff n\ge\dfrac{\ln1000}{\ln3}\approx6{,}29$, donc $n\ge7$. $e^{2x} = 5\iff x = \dfrac{\ln5}2$. $0{,}8^n\le0{,}01\iff n\ge\dfrac{\ln0{,}01}{\ln0{,}8}$ (attention : $\ln0{,}8<0$ renverse l'inégalité).
Les courbes de $\exp$ et $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.