Première — chapitre 4 sur 10
Fonction exponentielle
La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb R$ égale à sa dérivée et valant $1$ en $0$.
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb R$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ : c'est la fonction exponentielle, notée $\exp(x) = e^x$, avec $e = \exp(1)\approx2{,}718$.
Pour tous réels $a$, $b$ et entier $n$ : $$e^{a+b} = e^ae^b\qquad e^{-a} = \dfrac1{e^a}\qquad e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\qquad (e^a)^n = e^{na}.$$
$e^x>0$ pour tout $x$. La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$ : $e^a
$(e^{kx+m})' = k\,e^{kx+m}$. La fonction $x\mapsto e^{kx}$ est croissante si $k>0$, décroissante si $k<0$.
$(e^{kn})_n$ est géométrique de raison $e^k$. Un taux d'évolution continu s'écrit $N(t) = N_0e^{kt}$.
$e^{2x-1} = e^{x+3}\iff 2x-1 = x+3\iff x = 4$. $e^{3x}\le 1\iff 3x\le0\iff x\le0$ (car $1 = e^0$).
Questions fréquentes sur ce chapitre
Qu'est-ce que la fonction exponentielle ?
Quelles sont les propriétés de l'exponentielle ?
Comment dériver $e^{kx}$ ?
Comment résoudre une équation avec des exponentielles ?
