Première — chapitre 4 sur 10

Fonction exponentielle

Q: Qu'est-ce que la fonction exponentielle ?

L'unique fonction dérivable sur R égale à sa dérivée et valant 1 en 0. Elle est strictement positive et strictement croissante.

Q: Quelles sont les propriétés de l'exponentielle ?

e^a+b = e^ae^b, e^-a = 1e^a, e^a-b = (e^a)/(e^b), (e^a)^n = e^na, e^0 = 1.

Q: Comment dériver e^kx ?

(e^kx)' = ke^kx ; plus généralement (e^u)' = u'e^u.

Q: Comment résoudre une équation avec des exponentielles ?

On utilise le fait que e^a = e^b⇔ a = b et e^a<e^b⇔ a<b, après avoir tout écrit sous forme d'une seule exponentielle de chaque côté.

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb R$ égale à sa dérivée et valant $1$ en $0$.

La courbe de $e^x$, sa tangente en $0$ (pente $1$) et le point $(1\,;e)$.

Définition — fonction exponentielle

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb R$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ : c'est la fonction exponentielle, notée $\exp(x) = e^x$, avec $e = \exp(1)\approx2{,}718$.

Propriétés algébriques

Pour tous réels $a$, $b$ et entier $n$ : $$e^{a+b} = e^ae^b\qquad e^{-a} = \dfrac1{e^a}\qquad e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\qquad (e^a)^n = e^{na}.$$

Théorème — signe et variations

$e^x>0$ pour tout $x$. La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$ : $e^a

Propriété — dérivée de $e^{kx}$

$(e^{kx+m})' = k\,e^{kx+m}$. La fonction $x\mapsto e^{kx}$ est croissante si $k>0$, décroissante si $k<0$.

Propriété — lien avec les suites géométriques

$(e^{kn})_n$ est géométrique de raison $e^k$. Un taux d'évolution continu s'écrit $N(t) = N_0e^{kt}$.

Méthode — résoudre

$e^{2x-1} = e^{x+3}\iff 2x-1 = x+3\iff x = 4$. $e^{3x}\le 1\iff 3x\le0\iff x\le0$ (car $1 = e^0$).

Questions fréquentes sur ce chapitre

Qu'est-ce que la fonction exponentielle ?

L'unique fonction dérivable sur $\mathbb R$ égale à sa dérivée et valant $1$ en $0$. Elle est strictement positive et strictement croissante.

Quelles sont les propriétés de l'exponentielle ?

$e^{a+b} = e^ae^b$, $e^{-a} = \dfrac1{e^a}$, $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^n = e^{na}$, $e^0 = 1$.

Comment dériver $e^{kx}$ ?

$(e^{kx})' = ke^{kx}$ ; plus généralement $(e^{u})' = u'e^u$.

Comment résoudre une équation avec des exponentielles ?

On utilise le fait que $e^a = e^b\iff a = b$ et $e^a

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