Première · Fiche méthode 12 sur 12 · Fonction exponentielle
Comment résoudre une équation avec une exponentielle ?
On utilise que l'exponentielle est strictement croissante et strictement positive : $\mathrm{e}^A = \mathrm{e}^B$ équivaut à $A = B$, et $\mathrm{e}^A<\mathrm{e}^B$ équivaut à $A
La méthode en 5 étapes
1Regrouper les exponentielles
Avec les règles de calcul : $\mathrm{e}^a\times\mathrm{e}^b = \mathrm{e}^{a+b}$, $\dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b}=\mathrm{e}^{a-b}$, $(\mathrm{e}^a)^n = \mathrm{e}^{na}$.
2Se ramener à une égalité d'exponentielles
La forme visée est $\mathrm{e}^A = \mathrm{e}^B$, qui donne directement $A = B$.
3Factoriser si c'est une équation produit
$\mathrm{e}^x$ ne s'annule jamais : dans $x\mathrm{e}^x = 0$, seul $x = 0$ convient. C'est un argument à écrire.
4Penser au changement de variable
Si l'équation contient $\mathrm{e}^{2x}$ et $\mathrm{e}^x$, on pose $X = \mathrm{e}^x$ : on obtient un trinôme, qu'on résout, puis on revient à $x$ en écartant les valeurs négatives ou nulles de $X$.
5Attention au sens dans une inéquation
L'exponentielle est croissante : elle conserve le sens de l'inégalité. Mais multiplier par un nombre négatif l'inverse comme d'habitude.
Un exemple entièrement résolu
Résoudre $\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{x+3}$, puis $\mathrm{e}^{2x}-3\mathrm{e}^x+2 = 0$.
Les deux membres sont des exponentielles : l'égalité équivaut à $2x-1 = x+3$.
$x = 4$.
On pose $X = \mathrm{e}^x$, avec $X>0$. Comme $\mathrm{e}^{2x} = (\mathrm{e}^x)^2 = X^2$, l'équation devient $X^2-3X+2 = 0$.
$\Delta = 1$, racines $X = 1$ et $X = 2$, toutes deux strictement positives. Donc $\mathrm{e}^x = 1$ soit $x = 0$, ou $\mathrm{e}^x = 2$ soit $x = \ln 2$.
Conclusion. La première équation a pour solution $x = 4$ ; la seconde a pour solutions $x = 0$ et $x = \ln 2\approx 0{,}69$.
Les erreurs à ne pas faire
- Écrire $\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^a+\mathrm{e}^b$ : l'exponentielle transforme les sommes en produits, pas l'inverse.
- Chercher les solutions de $\mathrm{e}^x = -3$ : l'exponentielle est toujours strictement positive, il n'y en a aucune.
- Oublier la condition $X>0$ après un changement de variable, et garder une racine négative.
- Simplifier par $\mathrm{e}^x$ sans le dire : c'est légitime puisque $\mathrm{e}^x\neq 0$, mais il faut le justifier.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Résoudre $\mathrm{e}^{3x} = \mathrm{e}^{x+8}$.
Voir le corrigé
$3x = x+8$, donc $2x = 8$ et $x = 4$.
- Exercice 2
Résoudre $(x-2)\mathrm{e}^x = 0$.
Voir le corrigé
Un produit est nul si l'un des facteurs l'est. Or $\mathrm{e}^x>0$ pour tout réel $x$ : ce facteur ne s'annule jamais.
Donc $x-2 = 0$ et $S = \{2\}$.
- Exercice 3
Résoudre l'inéquation $\mathrm{e}^{x-1}\ge 1$.
Voir le corrigé
On écrit $1 = \mathrm{e}^0$ : l'inéquation devient $\mathrm{e}^{x-1}\ge\mathrm{e}^0$.
L'exponentielle étant strictement croissante, cela équivaut à $x-1\ge 0$, soit $S = [1\,;+\infty[$.
Questions fréquentes
Pourquoi l'exponentielle ne s'annule-t-elle jamais ?
Parce que $\mathrm{e}^x\times\mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^0 = 1$ : si $\mathrm{e}^x$ valait $0$, ce produit serait nul. La fonction exponentielle est donc strictement positive sur $\mathbb{R}$, ce qui sert en permanence pour les signes et les factorisations.
Quel est le lien avec le logarithme népérien ?
$\ln$ est la fonction réciproque de l'exponentielle : $\mathrm{e}^x = k$ équivaut à $x = \ln k$, pour $k>0$. C'est l'outil qui permet de résoudre les équations où l'inconnue est en exposant, étudié en terminale.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Fonction exponentielle en Première, voici le reste des ressources du site :