Contrôle de maths spé : suites et séries de fonctions

Sommaire

Ce contrôle de maths spé porte sur le thème suivant : suites et séries de fonctions.

Ce devoir surveillé de trois heures porte sur deux chapitres liés : les suites de fonctions et les séries de fonctions. Il vérifie que vous savez passer de la convergence simple à la convergence uniforme en étudiant une borne supérieure, puis exploiter la convergence normale pour obtenir continuité et dérivabilité d’une somme.

Après une question de cours, vous étudierez la suite x^n(1 − x) et sa variante renormalisée, puis une série d’exponentielles dont vous chercherez le comportement aux bornes. Le problème final construit la fonction zêta et son équivalent en 1. Rédigez chaque hypothèse avant d’appliquer un théorème.

Fiche du contrôle

Niveau : maths spé (MP)
Chapitres : Suites de fonctions : convergence simple et uniforme + Séries de fonctions
Durée conseillée : 3 heures
Barème : sur 20 points (exercice 1 : 3 points ; exercice 2 : 5 points ; exercice 3 : 6 points ; exercice 4 : 6 points)
Compétences évaluées :
- Raisonner : distinguer convergence simple, uniforme et normale et choisir le bon mode
- Calculer : étudier la borne supérieure d’une fonction par un tableau de variation
- Chercher : localiser un intervalle sur lequel les hypothèses de domination sont satisfaites
- Communiquer : citer les théorèmes de continuité, de double limite et de dérivation avec leurs hypothèses

Exercice 1 : Question de cours : convergence uniforme et continuité (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout l’exercice, \(I\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \((f_n)\) une suite de fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\).

Énoncez le théorème de la double limite pour une suite de fonctions définies sur \(I\), au voisinage d’un point \(a\) adhérent à \(I\) (éventuellement infini). (1 point)
On suppose que chaque \(f_n\) est continue sur \(I\) et que \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\) vers une fonction \(f\). Démontrez que \(f\) est continue sur \(I\). (2 points)

Exercice 2 : Étude de la suite de fonctions x^n(1 − x) (5 points)

Pour tout \(n \geq\, 1\) et tout \(x \in [0,1]\), on pose \(f_n(x) = x^n (1-x)\) et \(g_n(x) = n x^n (1-x)\). La figure ci-dessous représente \(f_1\), \(f_2\), \(f_4\) et \(f_{10}\).

Déterminez la limite simple de \((f_n)\) sur \([0,1]\). (0,5 point)
Dressez le tableau de variation de \(f_n\) sur \([0,1]\) et calculez \(\|f_n\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)|\). (1,5 point)
Déduisez-en que \((f_n)\) converge uniformément sur \([0,1]\) et donnez un équivalent de \(\|f_n\|_\infty\). (1 point)
Montrez que \((g_n)\) converge simplement vers la fonction nulle sur \([0,1]\), mais pas uniformément. Montrez ensuite que la convergence est uniforme sur \([0,a]\) pour tout \(a \in [0,1[\). (1,5 point)
Calculez la somme \(S(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)\) pour \(x \in [0,1]\). La série de fonctions \(\sum f_n\) converge-t-elle uniformément sur \([0,1]\) ? (0,5 point)

Exercice 3 : Une série de fonctions exponentielles (6 points)

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout \(x \geq\, 0\), on pose \(u_n(x) = \dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}\), et on note \(S(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)\).

Montrez que la série \(\sum u_n\) converge normalement sur \([0,+\infty[\). Déduisez-en que \(S\) est définie et continue sur \([0,+\infty[\). (1 point)
Déterminez la limite de \(S\) en \(+\infty\), puis montrez que \(S(x) – 1 \sim \dfrac{e^{-x}}{2}\) quand \(x \to +\infty\). (1,5 point)
Montrez que \(S\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0,+\infty[\) et exprimez \(S^{\prime}(x)\) comme la somme d’une série. (1,5 point)
Pour \(x > 0\), on écrit \(\dfrac{n}{1+n^2} = \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n(1+n^2)}\) pour \(n \geq\, 1\). Montrez que \(S^{\prime}(x) = \ln(1-e^{-x}) + B(x)\), où \(B\) est une fonction bornée sur \(]0,+\infty[\). Déduisez-en que \(S^{\prime}(x) \sim \ln x\) quand \(x \to 0^+\), puis que \(S\) n’est pas dérivable en \(0\). (2 points)

Exercice 4 : Problème : la fonction zêta de Riemann (6 points)

Pour \(x > 1\), on pose \(\zeta(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^x}\). On admet que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2\).

Justifiez que \(\zeta\) est définie sur \(]1,+\infty[\). Montrez que la série converge normalement sur \([a,+\infty[\) pour tout \(a > 1\), puis que \(\zeta\) est continue sur \(]1,+\infty[\). (1 point)
Déterminez la limite de \(\zeta\) en \(+\infty\). (0,5 point)
Montrez que \(\zeta\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]1,+\infty[\) et qu’elle y est strictement décroissante. (1,5 point)
À l’aide d’une comparaison série-intégrale, établissez que, pour tout \(x > 1\) :
\[\frac{1}{x-1} \leq\, \zeta(x) \leq\, 1 + \frac{1}{x-1}.\]

Déduisez-en un équivalent de \(\zeta(x)\) quand \(x \to 1^+\). (1,5 point)
Pour \(x \geq\, 1\), on pose \(F(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^x}\). Montrez que \(F(x) = (1 – 2^{1-x})\zeta(x)\) pour \(x > 1\), puis que \(F\) est continue sur \([1,+\infty[\). Retrouvez alors la limite de \((x-1)\,\zeta(x)\) quand \(x \to 1^+\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : suites et séries de fonctions

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Suites de fonctions » en maths spé et « Séries de fonctions » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés suites de fonctions, séries de fonctions.

Retrouvez tous les contrôles de maths spé classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.

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