Contrôle de maths L3 : tribus, mesures et fonctions mesurables

Exercice 1 : Question de cours, continuité monotone d’une mesure (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 1 heure 30.

Soit \((X, \mathcal{A}, \mu)\) un espace mesuré.

1. Soit \((A_n)_{n \geq\, 0}\) une suite croissante d’éléments de \(\mathcal{A}\). Démontrez que \(\mu(\bigcup_{n} A_n) = \lim_{n \to +\infty} \mu(A_n)\), en utilisant la sigma-additivité de \(\mu\). (2 points)
2. Soit \((B_n)_{n \geq\, 0}\) une suite décroissante d’éléments de \(\mathcal{A}\) avec \(\mu(B_0) < +\infty\). Démontrez que \(\mu(\bigcap_{n} B_n) = \lim_{n \to +\infty} \mu(B_n)\). (1 point)
3. On note \(\lambda\) la mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}\) et \(B_n = [n, +\infty[\). Calculez \(\lambda(B_n)\) et \(\lambda(\bigcap_n B_n)\). Quelle hypothèse de la question b) est mise en défaut ? (1 point)

Exercice 2 : Une tribu engendrée finie (4 points)

On pose \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), \(A = \{1, 2\}\), \(B = \{2, 3\}\), et l’on note \(\mathcal{T} = \sigma(\{A, B\})\) la tribu engendrée par \(A\) et \(B\).

1. Montrez que les quatre parties \(\{1\}\), \(\{2\}\), \(\{3\}\) et \(\{4, 5, 6\}\) appartiennent à \(\mathcal{T}\). (1 point)
2. On note \(\mathcal{U}\) l’ensemble des réunions (éventuellement vides) de ces quatre parties. Montrez que \(\mathcal{U}\) est une tribu, puis que \(\mathcal{T} = \mathcal{U}\). Donnez le cardinal de \(\mathcal{T}\). (2 points)
3. Une fonction \(f : \Omega \to \mathbb{R}\) est-elle \(\mathcal{T}\)-mesurable dans chacun des cas suivants : \(f(\omega) = (\omega – 2)^2\) ; \(f(\omega) = \min(\omega, 4)\) ? Justifiez. (1 point)

Exercice 3 : Générateurs de la tribu borélienne (4 points)

On note \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) la tribu borélienne de \(\mathbb{R}\), engendrée par les ouverts, et \(\mathcal{C} = \sigma(\{\, ]-\infty, a] : a \in \mathbb{R} \,\})\).

1. Montrez que \(\mathcal{C} \subset \mathcal{B}(\mathbb{R})\). (1 point)
2. Soient \(a < b\) deux réels. Montrez que \(]-\infty, b[\) puis \(]a, b[\) appartiennent à \(\mathcal{C}\). (1,5 point)
3. Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{R}\). Montrez que \(U\) est la réunion des intervalles \(]p, q[\) inclus dans \(U\) avec \(p\) et \(q\) rationnels. Concluez que \(\mathcal{C} = \mathcal{B}(\mathbb{R})\). (1,5 point)

Exercice 4 : Mesurabilité du sup et de la limite supérieure (3 points)

Soit \((X, \mathcal{A})\) un espace mesurable et \((f_n)_{n \geq\, 0}\) une suite de fonctions mesurables de \(X\) dans \(\mathbb{R}\). On admet que la tribu borélienne de \(\overline{\mathbb{R}} = [-\infty, +\infty]\) est engendrée par les intervalles \([-\infty, a]\), \(a \in \mathbb{R}\).

1. Montrez que \(g = \sup_n f_n\), à valeurs dans \(\overline{\mathbb{R}}\), est mesurable. (1 point)
2. Déduisez-en que \(\limsup_n f_n\) et \(\liminf_n f_n\) sont mesurables, puis que l’ensemble \(C\) des points \(x\) où la suite \((f_n(x))\) converge dans \(\mathbb{R}\) appartient à \(\mathcal{A}\). (1 point)
3. Soit \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue. Montrez que \(h \circ f_0\) est mesurable. Appliquez ce résultat à \(|f_0|\) et à \(f_0^{+} = \max(f_0, 0)\). (1 point)

Exercice 5 : Problème, ensembles négligeables et ensemble de Cantor (5 points)

On note \(\lambda\) la mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}\). On pose \(K_0 = [0, 1]\) et, pour tout \(n \geq\, 0\), \(K_{n+1} = \dfrac{1}{3} K_n \cup (\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} K_n)\). La figure représente \(K_0\), \(K_1\), \(K_2\) et \(K_3\).

On admet que \(K_n\) est la réunion disjointe des \(2^n\) intervalles \([s, s + 3^{-n}]\), où \(s = \sum_{k=1}^{n} a_k 3^{-k}\) avec \(a_1, \ldots, a_n \in \{0, 2\}\), et l’on pose \(K = \bigcap_{n \geq\, 0} K_n\).

1. Montrez que \(\mathbb{Q}\) est négligeable pour \(\lambda\). (1 point)
2. Montrez que la suite \((K_n)\) est décroissante et calculez \(\lambda(K_n)\). (1 point)
3. Montrez que \(K\) est un compact non vide et que \(\lambda(K) = 0\). (1 point)
4. À toute suite \(a = (a_k)_{k \geq\, 1}\) à valeurs dans \(\{0, 2\}\), on associe \(\Phi(a) = \sum_{k=1}^{+\infty} a_k 3^{-k}\). Montrez que \(\Phi(a) \in K\), puis que \(\Phi\) est injective. Que peut-on en déduire sur \(K\) ? (1 point)
5. Montrez que \(K\) ne contient aucun intervalle de longueur strictement positive. (1 point)

Réviser avant le contrôle : tribus, mesures et fonctions mesurables

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Tribus et mesures » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés tribus et mesures.

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