Contrôle de maths L3 : partiel de topologie des espaces normés

Exercice 1 : Questions de cours, dimension finie et théorème de Riesz (5 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 3 heures.

Les espaces vectoriels sont réels.

1. Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(d \geq\, 1\), \((e_1, \ldots, e_d)\) une base de \(E\) et, pour \(x = \sum x_i e_i\), \(\|x\|_\infty = \max_i |x_i|\). On admet que les parties fermées bornées de \((E, \|\cdot\|_\infty)\) sont compactes. Démontrez que toute norme \(N\) sur \(E\) est équivalente à \(\|\cdot\|_\infty\), et concluez que toutes les normes sur \(E\) sont équivalentes. (3 points)
2. On admet le lemme de Riesz : si \(F\) est un sous-espace fermé d’un espace normé \(E\), distinct de \(E\), il existe \(u \in E\) tel que \(\|u\| = 1\) et \(d(u, F) \geq\, \frac{1}{2}\). Énoncez le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée, puis démontrez que si \(E\) est de dimension infinie, sa boule unité fermée n’est pas compacte. (2 points)

Exercice 2 : Compacité dans l’espace des suites bornées (4 points)

On note \(\ell^\infty\) l’espace des suites réelles bornées \(x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}}\), muni de la norme \(\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|\), et
\[K = \{x \in \ell^\infty : |x_n| \leq\, \frac{1}{n+1} \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}\}.\]

1. Montrez, à l’aide des suites \(e^{(p)}\) dont seul le terme d’indice \(p\) vaut 1, que la boule unité fermée de \(\ell^\infty\) n’est pas compacte. (1 point)
2. Montrez que \(K\) est compact. On pourra, à partir d’une suite \((x^{(p)})_p\) de \(K\), construire par extraction diagonale une sous-suite dont chaque coordonnée converge. (2 points)
3. Montrez que \(K\) est d’intérieur vide dans \(\ell^\infty\). (1 point)

Exercice 3 : Problème, points fixes et parties de Mn(R) (11 points)

Partie A : une équation fonctionnelle. On note \(E = C([0,1], \mathbb{R})\), muni de la norme \(N_\infty\), dont on rappelle qu’il est complet. Pour \(f \in E\), on définit \(\Phi(f)\) par
\[\Phi(f)(x) = x + \frac{1}{2}\sin(f(x^2)), \qquad x \in [0,1].\]
On cherche les \(f \in E\) telles que \(\Phi(f) = f\).

1. Montrez que \(\Phi(f) \in E\) pour tout \(f \in E\) et que \(\Phi\) est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne pour \(N_\infty\). (1,5 point)
2. Déduisez-en que l’équation admet une unique solution \(f^{*} \in E\), limite de la suite définie par \(f_0 = 0\) et \(f_{n+1} = \Phi(f_n)\). Calculez \(f^{*}(0)\). (1 point)
3. Montrez que \(G = \{f \in E : 0 \leq\, f \leq\, \frac{3}{2}\}\) est un fermé de \(E\) stable par \(\Phi\). Déduisez-en que \(x \leq\, f^{*}(x) \leq\, x + \frac{1}{2}\) pour tout \(x \in [0,1]\). (1,5 point)
4. Montrez que \(f^{*}\) est croissante sur \([0,1]\). On pourra utiliser l’ensemble \(H\) des fonctions croissantes de \(G\) et le fait que \(\frac{3}{2} < \frac{\pi}{2}\). (1 point)
5. À l’aide de l’estimation d’erreur du théorème du point fixe, déterminez un rang \(n\) à partir duquel \(N_\infty(f_n – f^{*}) \leq\, 10^{-2}\). (1 point)

Partie B : parties de \(M_n(\mathbb{R})\). Soit \(n \geq\, 1\). On munit \(M_n(\mathbb{R})\) d’une norme subordonnée \(|||\cdot|||\) ; c’est un espace de dimension finie, donc complet.

6. Soit \(B \in M_n(\mathbb{R})\) telle que \(|||B||| \leq\, \frac{1}{8}\). Montrez que l’équation \(X = B + X^2\) admet une unique solution \(X(B)\) dans la boule fermée \(\overline{B}(0, \frac{1}{4})\). (1,5 point)
7. Montrez que \(|||X(B) – X(B^{\prime})||| \leq\, 2\,|||B – B^{\prime}|||\) pour \(B, B^{\prime} \in \overline{B}(0, \frac{1}{8})\). Déduisez-en que l’ensemble \(\{X(B) : |||B||| \leq\, \frac{1}{8}\}\) est connexe par arcs. (1 point)
8. Montrez que \(GL_n(\mathbb{R})\) est dense dans \(M_n(\mathbb{R})\). (1 point)
9. Soit \(\mathcal{S} = \{A \in M_n(\mathbb{R}) : A^2 = I_n\}\). Montrez que \(\mathcal{S}\) est fermé, que la trace d’un élément de \(\mathcal{S}\) appartient à \(\{n – 2q : 0 \leq\, q \leq\, n\}\), puis que \(\mathcal{S}\) n’est pas connexe. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : partiel de topologie des espaces normés

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espaces vectoriels normés » en L3 et « Compacité et connexité » en L3 et « Complétude et point fixe » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces vectoriels normés, compacité et connexité, complétude et point fixe.

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