Contrôle de maths L1 : probabilités finies, Bayes et loi binomiale

Exercice 1 : Question de cours : probabilités totales et formule de Bayes (3 points)

Calculatrice interdite. Les résultats peuvent être laissés sous forme de fractions ou de puissances.

Soit \((\Omega, P)\) un espace probabilisé fini et \((A_1, \ldots, A_n)\) un système complet d’événements tel que \(P(A_i) > 0\) pour tout \(i\).

1. Démontrez que, pour tout événement \(B\), \(P(B) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} P(A_i)\,P_{A_i}(B)\). (1,5 point)
2. Énoncez et démontrez la formule de Bayes donnant \(P_B(A_j)\) lorsque \(P(B) > 0\). (1,5 point)

Exercice 2 : Tirages simultanés dans une urne (4 points)

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules noires, indiscernables au toucher. On tire simultanément 3 boules. On note \(Y\) le nombre de boules rouges obtenues.

1. Décrivez un univers \(\Omega\) adapté, donnez son cardinal et justifiez le choix de la probabilité uniforme. (0,5 point)
2. Calculez la probabilité d’obtenir trois boules rouges, puis exactement une boule rouge, puis au moins une boule rouge. (2 points)
3. Déterminez la loi de \(Y\) et calculez son espérance. (1,5 point)

Exercice 3 : Un test de dépistage (5 points)

Une maladie touche \(2\,\%\) d’une population. Un test de dépistage est positif chez \(95\,\%\) des personnes malades. Il est aussi positif, à tort, chez \(10\,\%\) des personnes saines. On choisit une personne au hasard et on note \(M\) l’événement « la personne est malade » et \(T\) l’événement « le test est positif ».

1. Représentez la situation par un arbre pondéré. (1 point)
2. Calculez \(P(T)\). (1 point)
3. Calculez la probabilité qu’une personne dont le test est positif soit malade. Donnez la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01 près. Commentez. (1,5 point)
4. Un second test, identique, est réalisé. On suppose que, sachant l’état de santé de la personne, les résultats des deux tests sont indépendants. On note \(T_1\) et \(T_2\) les événements « le premier (resp. second) test est positif ». Calculez \(P_{T_1 \cap T_2}(M)\), puis une valeur approchée à 0,01 près. (1,5 point)

Exercice 4 : Indépendance deux à deux et mutuelle (3 points)

On lance deux fois une pièce équilibrée. On considère les événements \(A\) : « le premier lancer donne Pile », \(B\) : « le second lancer donne Pile » et \(C\) : « les deux lancers donnent le même résultat ».

1. Décrivez l’univers et les trois événements, puis montrez que \(A\), \(B\) et \(C\) sont deux à deux indépendants. (1,5 point)
2. Les événements \(A\), \(B\) et \(C\) sont-ils mutuellement indépendants ? Justifiez. (1,5 point)

Exercice 5 : Problème : répondre au hasard à un QCM (5 points)

Un QCM comporte 10 questions. Chaque question propose 4 réponses, dont une seule est juste. Un étudiant qui n’a pas révisé répond au hasard à chaque question, indépendamment des autres. On note \(X\) le nombre de bonnes réponses.

1. Justifiez que \(X\) suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres. Donnez \(P(X = k)\) pour \(k \in \{0, \ldots, 10\}\), puis \(P(X \geq\, 1)\). (1 point)
2. En écrivant \(X\) comme une somme de variables de Bernoulli, démontrez que \(E(X) = \dfrac{5}{2}\) et que \(V(X) = \dfrac{15}{8}\). (1,5 point)
3. Une bonne réponse rapporte 3 points et une mauvaise en retire 1. On note \(S\) la note obtenue. Exprimez \(S\) en fonction de \(X\), puis calculez \(E(S)\) et \(V(S)\). Le barème est-il dissuasif ? (1 point)
4. Pour \(k \in \{0, \ldots, 9\}\), calculez le quotient \(\dfrac{P(X = k+1)}{P(X = k)}\). Déduisez-en la valeur de \(k\) pour laquelle \(P(X = k)\) est maximale. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : probabilités finies, Bayes et loi binomiale

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Probabilités finies » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés probabilités finies.

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