Systèmes différentiels linéaires : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Exponentielles diagonales et nilpotentes

On pose \(D = \mathrm{diag}(1, -2, 0)\) et \(N = \begin{pmatrix} 0 1 2 \\ 0 0 3 \\ 0 0 0 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\exp(tD)\) pour tout réel \(t\).
2. Calculer \(N^{2}\) et \(N^{3}\), puis en déduire \(\exp(tN)\).
3. Résoudre le système \(X^{\prime} = NX\) avec la condition initiale \(X(0) = (0, 0, 1)\), puis vérifier le résultat sur la première équation.

Exercice 2 : Matrices de la forme λI + N

Soient \(A = \begin{pmatrix} 2 1 \\ 0 2 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} -1 1 0 \\ 0 -1 1 \\ 0 0 -1 \end{pmatrix}\).

1. Écrire \(A = 2I_{2} + N\) et justifier que \(\exp(tA) = e^{2t} \exp(tN)\). Calculer \(\exp(tA)\).
2. Résoudre le système \(x^{\prime} = 2x + y\), \(y^{\prime} = 2y\) avec \(x(0) = y(0) = 1\).
3. Calculer \(\exp(tB)\) et montrer que \(\exp(tB) \to 0\) quand \(t \to +\infty\).

Exercice 3 : Exponentielle d’une matrice de rotation

Soit \(J = \begin{pmatrix} 0 -1 \\ 1 0 \end{pmatrix}\). La figure ci-dessous représente le champ de vecteurs \((x, y) \mapsto (-y, x)\) associé au système \(X^{\prime} = JX\).

1. Calculer \(J^{2}\), puis \(J^{2p}\) et \(J^{2p+1}\) pour \(p \in \mathbb{N}\).
2. En déduire que \(\exp(\theta J) = \cos \theta \, I_{2} + \sin \theta \, J\) pour tout réel \(\theta\).
3. Résoudre \(X^{\prime} = JX\) avec \(X(0) = (1, 0)\). Montrer, sans utiliser la formule explicite, que \(\|X(t)\|_{2}\) est constante.
4. En utilisant \(\exp((\theta + \varphi)J) = \exp(\theta J)\exp(\varphi J)\), retrouver les formules d’addition de \(\cos\) et \(\sin\).

Exercice 4 : Exponentielle d’une matrice symétrique

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 2 \\ 2 1 \end{pmatrix}\).

1. Diagonaliser \(A\) : donner \(P\) inversible et \(D\) diagonale telles que \(A = P D P^{-1}\).
2. En déduire \(\exp(tA)\) pour tout réel \(t\).
3. Résoudre \(X^{\prime} = AX\) avec \(X(0) = (2, 0)\).
4. Déterminer les conditions initiales \(X_{0}\) pour lesquelles la solution tend vers \(0\) en \(+\infty\).

Exercice 5 : Déterminant et spectre de l’exponentielle

1. Soit \(T\) une matrice triangulaire supérieure de diagonale \((\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n})\). Montrer que \(\exp(T)\) est triangulaire supérieure de diagonale \((e^{\lambda_{1}}, \ldots, e^{\lambda_{n}})\).
2. En déduire que, pour toute \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\), \(\det(\exp(A)) = e^{\mathrm{tr}(A)}\) et que les valeurs propres de \(\exp(A)\) sont les \(e^{\lambda}\), \(\lambda \in \mathrm{Sp}(A)\).
3. Existe-t-il une matrice \(A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) telle que \(\exp(A) = \mathrm{diag}(-1, 2)\) ?
4. Calculer \(\det(\exp(A))\) pour \(A = \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \\ 7 8 -3 \end{pmatrix}\).

Exercice 6 : Deux matrices qui ne commutent pas

Soient \(A = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 0 \\ 1 0 \end{pmatrix}\).

1. Vérifier que \(AB \neq BA\).
2. Calculer \(\exp(A)\), \(\exp(B)\), puis \(\exp(A)\exp(B)\) et \(\exp(B)\exp(A)\).
3. Calculer \((A + B)^{2}\), puis \(\exp(A + B)\).
4. Conclure sur la formule \(\exp(A + B) = \exp(A)\exp(B)\).

Exercice 7 : Exponentielle et polynôme annulateur

1. Soit \(P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telle que \(P^{2} = P\). Montrer que \(\exp(tP) = I_{n} + (e^{t} – 1) P\).
2. Soit \(U \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) la matrice dont tous les coefficients valent \(1\). Calculer \(U^{2}\), puis \(U^{k}\) pour \(k \geq\, 1\), et en déduire \(\exp(tU)\).
3. Soit \(K \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telle que \(K^{2} = -I_{n}\). Montrer que \(\exp(tK) = \cos t \, I_{n} + \sin t \, K\).

Exercice 8 : Valeurs propres complexes et spirale

On considère le système \(x^{\prime} = -x – y\), \(y^{\prime} = x – y\), de matrice \(A = \begin{pmatrix} -1 -1 \\ 1 -1 \end{pmatrix}\).

1. Déterminer les valeurs propres complexes de \(A\) et un vecteur propre associé à \(-1 + i\).
2. En déduire deux solutions réelles indépendantes du système, puis la solution générale réelle.
3. Retrouver ce résultat en écrivant \(A = -I_{2} + J\), avec \(J\) la matrice de l’exercice 3.
4. Donner la solution telle que \(X(0) = (1, 0)\), calculer \(\|X(t)\|_{2}\) et décrire la trajectoire.

Exercice 9 : Système 3×3 diagonalisable

On considère le système \(x^{\prime} = 2x + y + z\), \(y^{\prime} = x + 2y + z\), \(z^{\prime} = x + y + 2z\), de matrice \(A\).

1. Écrire \(A = I_{3} + U\), où \(U\) a tous ses coefficients égaux à \(1\). Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(A\).
2. Calculer \(\exp(tA)\) à l’aide de l’exercice 7.
3. Résoudre le problème de Cauchy de condition initiale \(X(0) = (1, 0, 0)\).
4. Montrer que toute solution non nulle vérifie \(\|X(t)\| \to +\infty\) quand \(t \to +\infty\).

Exercice 10 : Système triangulaire résolu en cascade

On considère le système \(x^{\prime} = x + y + z\), \(y^{\prime} = y + 2z\), \(z^{\prime} = -z\).

1. Résoudre la troisième équation, puis la deuxième, puis la première.
2. En déduire la solution telle que \(X(0) = (1, 1, 1)\).
3. Déterminer les conditions initiales pour lesquelles la solution est bornée sur \(\mathbb{R}_{+}\). Interpréter à l’aide des vecteurs propres.

Exercice 11 : Racine double et trigonalisation

Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 -1 \\ 1 1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer le polynôme caractéristique de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
2. Trouver un vecteur propre \(V_{1}\) et un vecteur \(V_{2}\) tel que \((A – 2I_{2})V_{2} = V_{1}\). En déduire \(P\) inversible telle que \(P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 1 \\ 0 2 \end{pmatrix}\).
3. Calculer \(\exp(tA)\) de deux façons : avec \(P\), puis avec \(N = A – 2I_{2}\).
4. Résoudre \(X^{\prime} = AX\) avec \(X(0) = (1, 2)\).

Exercice 12 : Problème de Cauchy en un instant quelconque

Soit \(a\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{2}\) défini par \(a(x, y) = (y, x)\), de matrice \(A\) dans la base canonique.

1. Calculer \(A^{2}\) et en déduire \(\exp(tA) = \mathrm{ch}(t) I_{2} + \mathrm{sh}(t) A\).
2. Résoudre le problème de Cauchy \(u^{\prime} = a(u)\), \(u(1) = (1, 0)\).
3. Montrer que la trajectoire est contenue dans l’hyperbole \(x^{2} – y^{2} = 1\), et préciser quelle partie de cette hyperbole est décrite.
4. Soit \(v\) une solution quelconque de \(v^{\prime} = a(v)\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer, en dérivant \(t \mapsto \exp(-(t-1)A)v(t)\), que \(v(t) = \exp((t-1)A)v(1)\).

Exercice 13 : Équation d’ordre 2 et matrice compagnon

On considère l’équation \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + y = 0\).

1. Montrer que \(y\) est solution si et seulement si \(X = (y, y^{\prime})\) vérifie \(X^{\prime} = AX\) pour une matrice \(A\) à préciser.
2. Montrer que \(A + I_{2}\) est nilpotente et calculer \(\exp(tA)\).
3. En déduire la solution telle que \(y(0) = y_{0}\) et \(y^{\prime}(0) = y_{1}\), puis celle telle que \(y(0) = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 0\). Vérifier qu’elle est solution.

Exercice 14 : L’exponentielle comme limite

On munit \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\) d’une norme sous-multiplicative et on fixe \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\).

1. Montrer que, pour \(0 \leq\, k \leq\, n\) avec \(n \geq\, 1\), on a \(0 \leq\, \dfrac{1}{k!} – \dfrac{1}{n^{k}}\binom\,{n}{k} \leq\, \dfrac{1}{k!}\).
2. En déduire que \[\| \exp(A) – (I_{n} + \dfrac{A}{n})^{n} \| \leq\, e^{\|A\|} – (1 + \dfrac{\|A\|}{n})^{n}.\]
3. Conclure que \((I_{n} + \dfrac{A}{n})^{n} \to \exp(A)\) quand \(n \to +\infty\).

Exercice 15 : L’exponentielle est un polynôme en A

Soit \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\).

1. Justifier que \(\mathbb{K}[A] = \{Q(A) \ : \ Q \in \mathbb{K}[X]\}\) est un sous-espace fermé de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\), de dimension au plus \(n\).
2. En déduire qu’il existe un polynôme \(Q\) de degré au plus \(n – 1\) tel que \(\exp(A) = Q(A)\).
3. Montrer que toute matrice qui commute avec \(A\) commute avec \(\exp(A)\).
4. Déterminer explicitement \(Q\) lorsque \(n = 2\) et \(A^{2} = I_{2}\).

Exercice 16 : Comportement des solutions selon un paramètre

Pour \(a \in \mathbb{R}\), on considère le système \(X^{\prime} = A_{a} X\) avec \(A_{a} = \begin{pmatrix} -1 a \\ 1 -1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer les valeurs propres de \(A_{a}\), en distinguant \(a > 0\), \(a = 0\) et \(a < 0\).
2. Montrer que, pour \(a < 1\), toutes les solutions tendent vers \(0\) en \(+\infty\). Traiter à part le cas \(a = 0\).
3. Pour \(a = 1\), résoudre le système et montrer que les solutions sont bornées mais ne tendent pas toutes vers \(0\).
4. Pour \(a > 1\), montrer qu’il existe des solutions non bornées sur \(\mathbb{R}_{+}\).

Exercice 17 : Commutation et exponentielle d’une somme

Soient \(A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). On suppose que \(\exp(tA)\exp(tB) = \exp(t(A + B))\) pour tout réel \(t\).

1. Justifier que \(t \mapsto \exp(tA)\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) et calculer ses deux premières dérivées.
2. En dérivant deux fois l’égalité en \(t = 0\), montrer que \(AB = BA\).
3. Application : pour \(A = \mathrm{diag}(1, 2)\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\), montrer qu’il existe un réel \(t\) tel que \(\exp(tA)\exp(tB) \neq \exp(t(A + B))\).

Exercice 18 : Exponentielle non injective

1. Avec la matrice \(J\) de l’exercice 3, calculer \(\exp(2\pi J)\). L’exponentielle est-elle injective sur \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) ?
2. Soit \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\) diagonalisable. Montrer que \(\exp(A) = I_{n}\) si et seulement si \(\mathrm{Sp}(A) \subset 2i\pi\mathbb{Z}\).
3. Soit \(N \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\) nilpotente telle que \(\exp(N) = I_{n}\). Montrer que \(N = 0\).
4. Montrer qu’il n’existe aucune matrice \(A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) telle que \(\exp(A) = \mathrm{diag}(-1, -2)\), bien que ce déterminant soit positif.

Exercice 19 : Parties réelles négatives et convergence vers 0

Soit \(T \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\) triangulaire supérieure de diagonale \((\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n})\). On appelle fonction exponentielle-polynôme toute somme finie de fonctions \(t \mapsto Q(t) e^{\mu t}\), avec \(Q \in \mathbb{C}[X]\) et \(\mu \in \mathbb{C}\).

1. Soient \(\lambda \in \mathbb{C}\) et \(f\) une somme de termes \(Q(t)e^{\mu t}\). Montrer que toute solution de \(y^{\prime} = \lambda y + f(t)\) est une somme de termes \(R(t) e^{\nu t}\), avec \(\nu \in \{\lambda\} \cup \{\mu\}\).
2. Soit \(Y\) une solution de \(Y^{\prime} = TY\). Montrer par récurrence descendante que chaque coordonnée \(y_{k}\) est une somme de termes \(R(t)e^{\lambda_{j} t}\) avec \(j \geq\, k\).
3. Soit \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})\) dont toutes les valeurs propres ont une partie réelle strictement négative. Montrer que toute solution de \(X^{\prime} = AX\) tend vers \(0\) en \(+\infty\).
4. Réciproquement, montrer que si toutes les solutions tendent vers \(0\), alors toutes les valeurs propres de \(A\) ont une partie réelle strictement négative.

Exercice 20 : Problème, trois compartiments

Une substance passe d’un compartiment 1 à un compartiment 2, puis du compartiment 2 à un compartiment 3, où elle s’accumule. On note \(x(t)\), \(y(t)\), \(z(t)\) les quantités présentes, avec \(x(0) = 1\) et \(y(0) = z(0) = 0\). Les débits de transfert sont proportionnels aux quantités, comme l’indique le schéma ci-dessous : \[x^{\prime} = -2x, \quad y^{\prime} = 2x – y, \quad z^{\prime} = y.\]

1. Écrire le système sous la forme \(X^{\prime} = AX\). Montrer que \(x + y + z\) est constante et donner sa valeur.
2. Montrer que \(A\) est diagonalisable et donner une base de vecteurs propres.
3. En déduire \(x(t)\), \(y(t)\) et \(z(t)\). Vérifier que \(z(t) = (1 – e^{-t})^{2}\).
4. Déterminer l’instant où la quantité dans le compartiment 2 est maximale, et cette quantité maximale.
5. Déterminer les limites de \(x\), \(y\), \(z\) en \(+\infty\) et relier ce résultat aux valeurs propres de \(A\).

Exercice 21 : Problème, trigonalisation d’un système 3×3

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 0 1 \\ 0 1 1 \\ 1 -1 2 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(\chi_{A} = (X – 1)^{2}(X – 2)\). Déterminer les sous-espaces propres. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
2. On pose \(V_{1} = (1, 1, 0)\), \(V_{3} = (1, 1, 1)\). Trouver \(V_{2} = (0, b, c)\) tel que \((A – I_{3})V_{2} = V_{1}\). Montrer que \(P = (V_{1} \mid V_{2} \mid V_{3})\) est inversible et que \(P^{-1}AP = T = \begin{pmatrix} 1 1 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 2 \end{pmatrix}\).
3. Calculer \(\exp(tT)\), puis \(P^{-1}\) et \(\exp(tA)\).
4. Résoudre le problème de Cauchy \(X^{\prime} = AX\), \(X(0) = (1, 0, 0)\).
5. Déterminer les conditions initiales \(X_{0}\) pour lesquelles \(e^{-2t}\|X(t)\| \to 0\) quand \(t \to +\infty\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : systèmes différentiels linéaires, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Équations différentielles linéaires, Polynômes d'endomorphismes et Cayley-Hamilton, Compacité, connexité par arcs et dimension finie
• Chapitre précédent : Équations différentielles linéaires
• Chapitre suivant : Calcul différentiel dans les espaces normés
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup