Intégrales généralisées : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Intégrales de référence

Dans cet exercice, \(\alpha\) et \(a\) sont des réels. Toutes les réponses se justifient par un calcul de primitive.

1. Étudier la nature de \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}}\) et donner sa valeur lorsqu’elle converge.
2. Même question pour \(\int_0^{1} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}}\).
3. Même question pour \(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-at}\,\mathrm{d}t\).
4. En déduire que \(\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}}\) diverge pour tout réel \(\alpha\).

Exercice 2 : Calculs directs par primitive

Justifier la convergence et calculer les intégrales suivantes.

1. \(A = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{(1+t)^2}\).
2. \(B = \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t\,(t+1)}\).
3. \(C = \int_0^{1} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 – t^2}}\).
4. \(D = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + 2t + 2}\).

Exercice 3 : Exponentielles complexes

Soient \(a > 0\) et \(b \in \mathbb{R}\). On pose \(z = a + ib\).

1. Montrer que \(t \mapsto \mathrm{e}^{-zt}\) est intégrable sur \([0, +\infty[\) et que \(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-zt}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{z}\).
2. En déduire les valeurs de \(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-at} \cos(bt)\,\mathrm{d}t\) et de \(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-at} \sin(bt)\,\mathrm{d}t\).
3. Calculer \(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t} \sin t\,\mathrm{d}t\) et \(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t} \cos(2t)\,\mathrm{d}t\).

Exercice 4 : Comparaison de fonctions positives

1. Montrer que \(\mathrm{e}^{-t^2} \leq\, \mathrm{e}^{-t}\) pour \(t \geq\, 1\). En déduire que \(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\) converge.
2. Montrer que \(\int_1^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2}\,\mathrm{d}t\) converge et que sa valeur est inférieure ou égale à \(1\).
3. Montrer que \(\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\) diverge.
4. Montrer que \(\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^4}\) converge et que sa valeur est inférieure ou égale à \(\frac{4}{3}\).

Exercice 5 : Intégrabilité par équivalents aux bornes

Étudier la nature des intégrales suivantes.

1. \(\int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{t}}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t\).
2. \(\int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}t}{\sin t}\).
3. \(\int_0^{+\infty} t^3 \mathrm{e}^{-\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\).
4. \(\int_0^{1} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 – t^3}}\).
5. \(\int_0^{1} \frac{\ln t}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\), dont on calculera la valeur à l’aide de la primitive \(t \mapsto 2\sqrt{t} \ln t – 4\sqrt{t}\).

Exercice 6 : Fonctions intégrables et espace L¹

Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\).

1. Soient \(f, g \in L^1(I, \mathbb{C})\) et \(\lambda \in \mathbb{C}\). Montrer que \(\lambda f + g \in L^1(I, \mathbb{C})\).
2. Montrer que \(t \mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}\) est intégrable sur \(]0, 1]\), mais pas son carré.
3. Montrer que \(t \mapsto \frac{1}{t^2}\) est intégrable sur \([1, +\infty[\), alors que sa racine carrée \(t \mapsto \frac{1}{t}\) ne l’est pas.
4. Soit \(f\) continue, bornée et intégrable sur \(I\). Montrer que \(f^2\) est intégrable sur \(I\).
5. On définit \(f : [1, +\infty[ \to \mathbb{R}\) continue, affine par morceaux, nulle en dehors des intervalles \([n – \frac{1}{n^3}, n + \frac{1}{n^3}]\) pour \(n \geq\, 2\), avec \(f(n) = n\), comme sur la figure ci-dessous. Montrer que \(f\) est intégrable sur \([1, +\infty[\), mais que \(f\) ne tend pas vers \(0\) en \(+\infty\).

Exercice 7 : Intégration par parties et factorielle

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \int_0^{+\infty} t^n \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\).

1. Justifier l’existence de \(I_n\).
2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(I_{n+1} = (n+1) I_n\).
3. En déduire \(I_n\) pour tout \(n\).
4. Soit \(a > 0\). Calculer \(\int_0^{+\infty} t^n \mathrm{e}^{-at}\,\mathrm{d}t\) à l’aide d’un changement de variable.

Exercice 8 : Intégration par parties sur ]0, 1]

1. Justifier la convergence et calculer \(\int_0^1 \ln t\,\mathrm{d}t\).
2. Pour \(n \in \mathbb{N}\), justifier la convergence et calculer \(J_n = \int_0^1 t^n \ln t\,\mathrm{d}t\).
3. Justifier la convergence et calculer \(K = \int_0^1 t\,(\ln t)^2\,\mathrm{d}t\).

Exercice 9 : Changements de variable

Justifier la convergence et calculer, à l’aide du changement de variable indiqué :

1. \(\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{e}^t + \mathrm{e}^{-t}}\), avec \(u = \mathrm{e}^t\) ;
2. \(\int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t\,(1-t)}}\), avec \(t = \sin^2 \theta\) ;
3. \(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\), avec \(u = \sqrt{t}\) ;
4. \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t \sqrt{t – 1}}\), avec \(u = \sqrt{t – 1}\).

Exercice 10 : Une intégrale nulle par symétrie

1. Montrer que \(t \mapsto \frac{\ln t}{1 + t^2}\) est intégrable sur \(]0, +\infty[\).
2. À l’aide du changement de variable \(u = \frac{1}{t}\), montrer que \(\int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t = 0\).
3. Soit \(a > 0\). En déduire la valeur de \(\int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{a^2 + t^2}\,\mathrm{d}t\).

Exercice 11 : Intégrales de Bertrand

Soient \(\alpha, \beta\) deux réels. On étudie \(J(\alpha, \beta) = \int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha} (\ln t)^{\beta}}\).

1. On suppose \(\alpha > 1\). En introduisant \(\gamma \in ]1, \alpha[\), montrer que \(J(\alpha, \beta)\) converge.
2. On suppose \(\alpha < 1\). Montrer que \(J(\alpha, \beta)\) diverge.
3. On suppose \(\alpha = 1\). À l’aide du changement de variable \(u = \ln t\), déterminer la nature de \(J(1, \beta)\).
4. Résumer les résultats et dessiner, dans le plan des couples \((\alpha, \beta)\), la zone de convergence.

Exercice 12 : Convergence selon un paramètre

Déterminer l’ensemble des réels \(\alpha\) pour lesquels chaque intégrale converge.

1. \(\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha} (1 + t)}\).
2. \(\int_0^{+\infty} \frac{\arctan t}{t^{\alpha}}\,\mathrm{d}t\).
3. \(\int_0^{+\infty} t^{\alpha} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\).
4. \(\int_1^{+\infty} ( \sqrt{t + 1} – \sqrt{t} )^{\alpha} \mathrm{d}t\).

Exercice 13 : Le sinus cardinal n’est pas intégrable

On considère \(f(t) = \frac{\sin t}{t}\) sur \(]0, +\infty[\). La figure ci-dessous représente \(|f|\) sur \([\pi, 6\pi]\).

1. Montrer que \(f\) est intégrable sur \(]0, \pi]\).
2. Pour \(k \geq\, 1\), montrer que \(\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin t|}{t}\,\mathrm{d}t \geq\, \frac{2}{(k+1)\pi}\).
3. En déduire que \(f\) n’est pas intégrable sur \(]0, +\infty[\).
4. Montrer en revanche que \(t \mapsto \frac{\sin t}{t^{3/2}}\) est intégrable sur \([1, +\infty[\).

Exercice 14 : Série et intégrale de 1/(t ln t)

On pose \(f(t) = \frac{1}{t \ln t}\) pour \(t \geq\, 2\), et \(S_n = \sum_{k=2}^{n} f(k)\) pour \(n \geq\, 2\).

1. Montrer que \(f\) est positive et décroissante sur \([2, +\infty[\).
2. Calculer \(\int_2^x f(t)\,\mathrm{d}t\) pour \(x \geq\, 2\). L’intégrale \(\int_2^{+\infty} f\) converge-t-elle ?
3. Montrer que \(\int_3^{n+1} f \leq\, S_n – f(2) \leq\, \int_2^{n} f\) pour \(n \geq\, 3\).
4. En déduire que \(S_n \sim \ln(\ln n)\). Quelle est la nature de la série \(\sum \frac{1}{n \ln n}\) ?
5. Par la même méthode, déterminer la nature de \(\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{n (\ln n)^2}\).

Exercice 15 : Équivalents de sommes par comparaison série-intégrale

1. Montrer que \(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \sim \frac{2}{3} n^{3/2}\).
2. Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(R_n = \sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}\). Montrer que \(\frac{1}{n} \leq\, R_n \leq\, \frac{1}{n-1}\), puis que \(R_n \sim \frac{1}{n}\).
3. Montrer que \(\ln(n!) \sim n \ln n\).

Exercice 16 : Équivalent d’un reste de Riemann

Déterminer un équivalent simple, quand \(x \to +\infty\), de chacune des quantités suivantes.

1. \(\int_x^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^3 + 1}\).
2. \(\int_x^{+\infty} \frac{\sqrt{t}}{t^3 + 1}\,\mathrm{d}t\).
3. \(\int_x^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + t}\), dont on calculera aussi la valeur exacte pour vérifier le résultat.

Exercice 17 : Équivalent d’une intégrale partielle divergente

1. Calculer la dérivée de \(t \mapsto \frac{\mathrm{e}^t}{t}\). En déduire que \(\int_1^x \frac{\mathrm{e}^t}{t}\,\mathrm{d}t \sim \frac{\mathrm{e}^x}{x}\) quand \(x \to +\infty\).
2. Montrer de même que \(\int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln t} \sim \frac{x}{\ln x}\) quand \(x \to +\infty\).

Exercice 18 : Reste de l’intégrale de Gauss

Pour \(x > 0\), on pose \(R(x) = \int_x^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\).

1. Justifier l’existence de \(R(x)\).
2. Soit \(\varphi(t) = \frac{\mathrm{e}^{-t^2}}{2t}\). Calculer \(\varphi^{\prime}(t)\) et en déduire que \(R(x) \sim \frac{\mathrm{e}^{-x^2}}{2x}\) quand \(x \to +\infty\).
3. Par une intégration par parties, montrer que pour tout \(x > 0\) :
   \[\frac{\mathrm{e}^{-x^2}}{2x} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2x^2}} \leq\, R(x) \leq\, \frac{\mathrm{e}^{-x^2}}{2x}.\]
4. En déduire un encadrement de \(R(3)\) à \(10^{-6}\) près environ.

Exercice 19 : Comportement en 0 d’une intégrale partielle

1. Montrer que \(\int_x^1 \frac{\cos t}{t}\,\mathrm{d}t \sim -\ln x\) quand \(x \to 0^+\).
2. Montrer que \(\int_x^1 \frac{\mathrm{e}^t}{t^2}\,\mathrm{d}t \sim \frac{1}{x}\) quand \(x \to 0^+\).
3. Montrer qu’il existe une constante \(C\) telle que \(\int_x^1 \frac{\cos t}{t}\,\mathrm{d}t = -\ln x + C + o(1)\) quand \(x \to 0^+\).

Exercice 20 : Une intégrale de type Frullani

On pose \(I = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t} – \mathrm{e}^{-2t}}{t}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que la fonction intégrée est intégrable sur \(]0, +\infty[\).
2. Soit \(\varepsilon > 0\). Montrer que \(\int_{\varepsilon}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t} – \mathrm{e}^{-2t}}{t}\,\mathrm{d}t = \int_{\varepsilon}^{2\varepsilon} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t\).
3. En déduire que \(I = \ln 2\).
4. Pour \(0 < a < b\), calculer de même \(\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-at} – \mathrm{e}^{-bt}}{t}\,\mathrm{d}t\).

Exercice 21 : Fonction intégrable décroissante et limite de x f(x)

Soit \(f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\) continue, positive, décroissante et intégrable.

1. Montrer que \(\int_{x/2}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t \to 0\) quand \(x \to +\infty\).
2. En déduire que \(x f(x) \to 0\) quand \(x \to +\infty\), autrement dit que \(f(x) = o(1/x)\).
3. Montrer que l’hypothèse de décroissance est indispensable, à l’aide de la fonction de l’exercice 6.
4. La fonction \(t \mapsto \frac{1}{t \ln t}\) vérifie \(t f(t) \to 0\). Est-elle intégrable sur \([2, +\infty[\) ? Conclure sur la réciproque du résultat de la question 2.

Exercice 22 : Intégrale du logarithme du sinus

On pose \(I = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin t)\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(t \mapsto \ln(\sin t)\) est intégrable sur \(]0, \frac{\pi}{2}]\).
2. Montrer que \(I = \int_0^{\pi/2} \ln(\cos t)\,\mathrm{d}t\).
3. Montrer que \(\int_0^{\pi} \ln(\sin u)\,\mathrm{d}u = 2I\).
4. En calculant \(2I\) à l’aide de la formule \(\sin(2t) = 2 \sin t \cos t\), montrer que \(I = -\frac{\pi}{2} \ln 2\).
5. En déduire la valeur de \(\int_0^1 \frac{\ln t}{\sqrt{1 – t^2}}\,\mathrm{d}t\).

Exercice 23 : Problème, intégrales de Wallis et intégrale de Gauss

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n \theta\,\mathrm{d}\theta\). On pose aussi \(G = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\), dont la convergence a été établie à l’exercice 4.

Partie A : intégrales de Wallis.

1. Calculer \(W_0\) et \(W_1\). Montrer que la suite \((W_n)\) est positive et décroissante.
2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \((n+2) W_{n+2} = (n+1) W_n\).
3. Montrer que la suite \(\big((n+1) W_{n+1} W_n\big)\) est constante et donner sa valeur.
4. Montrer que \(W_{n+1} \sim W_n\), puis que \(W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}\).

Partie B : intégrale de Gauss. Soit \(n \geq\, 1\).

1. Montrer que \(1 + u \leq\, \mathrm{e}^{u}\) pour tout réel \(u\). En déduire que, pour \(t \in [0, \sqrt{n}]\), \((1 – \frac{t^2}{n})^n \leq\, \mathrm{e}^{-t^2}\), et que, pour tout \(t \geq\, 0\), \(\mathrm{e}^{-t^2} \leq\, (1 + \frac{t^2}{n})^{-n}\).
2. Avec \(t = \sqrt{n} \sin \theta\), montrer que \(\int_0^{\sqrt{n}} (1 – \frac{t^2}{n})^n \mathrm{d}t = \sqrt{n}\, W_{2n+1}\).
3. Avec \(t = \sqrt{n} \tan \theta\), montrer que \(\int_0^{+\infty} (1 + \frac{t^2}{n})^{-n} \mathrm{d}t = \sqrt{n}\, W_{2n-2}\).
4. En déduire un encadrement de \(G\), puis la valeur \(G = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : intégrales généralisées, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Séries numériques et vectorielles
• Chapitre précédent : Fonctions vectorielles d'une variable réelle
• Chapitre suivant : Convergence dominée et intégration terme à terme
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