Polynômes d’endomorphismes : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Polynômes minimaux de matrices simples

Déterminer le polynôme minimal de chacune des matrices suivantes, puis préciser si elle est diagonalisable.

\[A = \begin{pmatrix} 2 1 0 \\ 0 2 0 \\ 0 0 3 \end{pmatrix}, \quad J = \begin{pmatrix} 1 1 1 \\ 1 1 1 \\ 1 1 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 0 1 \\ 0 0 0 \\ 0 0 0 \end{pmatrix}.\]

1. Calculer \((A – 2I_3)(A – 3I_3)\) et \((A – 2I_3)^2 (A – 3I_3)\). En déduire \(\pi_A\).
2. Calculer \(J^2\) en fonction de \(J\). En déduire \(\pi_J\) et \(\dim \mathbb{R}[J]\).
3. Déterminer \(\pi_C\).

Exercice 2 : Sous-algèbre engendrée par un projecteur

Soit \(p\) un projecteur d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie, avec \(p \neq 0\) et \(p \neq \mathrm{id}_E\).

1. Montrer que \(\pi_p = X^2 – X\). En déduire une base de \(\mathbb{K}[p]\).
2. Soient \(a, b \in \mathbb{K}\). Montrer que \(a\,\mathrm{id}_E + b p\) est inversible si et seulement si \(a \neq 0\) et \(a + b \neq 0\).
3. Dans ce cas, déterminer son inverse sous la forme \(c\,\mathrm{id}_E + d p\).

Exercice 3 : Un polynôme annulateur de degré 2

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 – 3A + 2I_n = 0\), avec \(A \neq I_n\) et \(A \neq 2I_n\).

1. Déterminer \(\pi_A\) et \(\mathrm{Sp}(A)\).
2. Montrer que \(A\) est diagonalisable.
3. Montrer que \(A\) est inversible et exprimer \(A^{-1}\) comme polynôme en \(A\).
4. Pour \(k \in \mathbb{N}\), exprimer \(A^k\) comme combinaison linéaire de \(A\) et \(I_n\).

Exercice 4 : Inverse par Cayley-Hamilton

On considère les matrices

\[P = \begin{pmatrix} 0 1 0 \\ 0 0 1 \\ 1 0 0 \end{pmatrix}, \qquad A = I_3 + P = \begin{pmatrix} 1 1 0 \\ 0 1 1 \\ 1 0 1 \end{pmatrix}.\]

1. Calculer \(P^2\) et \(P^3\). En déduire \((A – I_3)^3\).
2. Montrer que \(\chi_A = X^3 – 3X^2 + 3X – 2\) et vérifier le théorème de Cayley-Hamilton.
3. En déduire que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\).

Exercice 5 : Cayley-Hamilton en dimension 2

1. Soit \(A = \begin{pmatrix} a b \\ c d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\). Vérifier par le calcul que \(A^2 – \mathrm{tr}(A) A + \det(A) I_2 = 0\).
2. Soit \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\) nilpotente. Montrer que \(A^2 = 0\).
3. Déterminer toutes les matrices \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telles que \(A^2 = -I_2\), en fonction de leur trace et de leur déterminant.

Exercice 6 : Puissances par division euclidienne

Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 -1 \\ 1 1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
2. Pour \(n \in \mathbb{N}\), déterminer le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \(\chi_A\). En déduire \(A^n\).
3. On définit deux suites par \(u_0 = 1\), \(v_0 = 0\) et, pour tout \(n\), \(u_{n+1} = 3u_n – v_n\), \(v_{n+1} = u_n + v_n\). Exprimer \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\).

Exercice 7 : Matrices nilpotentes

Soit \(N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) nilpotente, d’indice \(p\) : \(N^p = 0\) et \(N^{p-1} \neq 0\).

1. Déterminer \(\pi_N\). En déduire que \(p \leq\, n\), puis que \(N^n = 0\).
2. Montrer que \(\mathrm{Sp}(N) = \{0\}\), puis que \(\chi_N = X^n\) et \(\mathrm{tr}(N) = 0\).
3. Montrer qu’une matrice nilpotente et diagonalisable est nulle.
4. Montrer que \(I_n – N\) est inversible et que son inverse est un polynôme en \(N\) que l’on précisera.

Exercice 8 : Matrice compagnon

Soient \(n \geq\, 2\) et \(Q = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0 \in \mathbb{K}[X]\). On note \(C\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) dont la colonne \(k\) est \(e_{k+1}\) pour \(1 \leq\, k \leq\, n-1\), et dont la dernière colonne est \((-a_0, -a_1, \ldots, -a_{n-1})\), où \((e_1, \ldots, e_n)\) est la base canonique de \(\mathbb{K}^n\).

1. Montrer que \(C^{k} e_1 = e_{k+1}\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n-1\). En déduire que \(\deg \pi_C \geq\, n\).
2. Montrer que \(Q(C)e_1 = 0\), puis que \(Q(C) = 0\).
3. En déduire que \(\pi_C = \chi_C = Q\).
4. Construire une matrice de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) de polynôme minimal \(X^3 – 2X + 1\). Est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) ?

Exercice 9 : Polynôme minimal et spectre

Soit \(A \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) de polynôme minimal \(\pi_A = (X – 1)^2 (X + 2)\).

1. Déterminer \(\mathrm{Sp}(A)\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
2. Déterminer les polynômes caractéristiques possibles de \(A\), et la trace correspondante.
3. Développer \(\pi_A\). En déduire que \(A\) est inversible et exprimer \(A^{-1}\) comme polynôme en \(A\).
4. Donner une matrice \(A\) diagonale par blocs qui réalise chacun des cas trouvés à la question 2.

Exercice 10 : Inversibilité et polynôme minimal

1. Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\), avec \(E\) de dimension finie. Montrer que \(u\) est inversible si et seulement si \(\pi_u(0) \neq 0\), et que dans ce cas \(u^{-1} \in \mathbb{K}[u]\).
2. Soit \(M = \begin{pmatrix} 0 1 1 \\ 1 0 1 \\ 1 1 0 \end{pmatrix}\). En écrivant \(M = J – I_3\), où \(J\) a tous ses coefficients égaux à 1, déterminer \(\pi_M\).
3. En déduire que \(M\) est inversible et calculer \(M^{-1}\).

Exercice 11 : Racines de l’unité et diagonalisabilité

Soit \(p \geq\, 2\) un entier. La figure ci-dessous représente les racines 6-ièmes de l’unité dans le plan complexe.

1. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) telle que \(A^p = I_n\). Montrer que \(A\) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont des racines \(p\)-ièmes de l’unité.
2. Soit \(R = \begin{pmatrix} -1/2 -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 -1/2 \end{pmatrix}\). Vérifier que \(R^3 = I_2\). La matrice \(R\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ? dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) ?
3. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^3 = A\). Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Exercice 12 : Un endomorphisme annulé par X²(X−1)

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 (A – I_n) = 0\).

1. Montrer que \(A\) est trigonalisable et que \(\mathrm{Sp}(A) \subset \{0, 1\}\).
2. Montrer que \(\mathbb{R}^n = \ker A^2 \oplus \ker(A – I_n)\).
3. Montrer que \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(A^2 = A\).
4. Montrer que \(\mathrm{tr}(A) = \dim \ker(A – I_n)\).
5. Vérifier que \(B = \begin{pmatrix} 0 1 0 \\ 0 0 0 \\ 0 0 1 \end{pmatrix}\) vérifie \(B^2(B – I_3) = 0\) sans être diagonalisable.

Exercice 13 : Lemme des noyaux et projecteurs

Soit \(u\) un endomorphisme d’un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie tel que \(u^3 = u\).

1. Montrer que \(E = \ker u \oplus \ker(u – \mathrm{id}_E) \oplus \ker(u + \mathrm{id}_E)\).
2. Exprimer les trois projecteurs \(p_0\), \(p_1\), \(p_{-1}\) associés à cette décomposition comme polynômes en \(u\).
3. Pour \(k \geq\, 1\), simplifier \(u^{2k}\) et \(u^{2k+1}\).
4. Montrer que \(\mathrm{rg}(u) = \mathrm{tr}(u^2)\).

Exercice 14 : Un endomorphisme annulé par (X−1)(X²+1)

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\), et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(u^3 – u^2 + u – \mathrm{id}_E = 0\).

1. Factoriser \(X^3 – X^2 + X – 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\). En déduire \(E = \ker(u – \mathrm{id}_E) \oplus \ker(u^2 + \mathrm{id}_E)\).
2. Montrer que \(u\) est inversible et exprimer \(u^{-1}\) comme polynôme en \(u\).
3. Soit \(F = \ker(u^2 + \mathrm{id}_E)\). Montrer que \(F\) est stable par \(u\) et que \(\dim F\) est paire.
4. En déduire que si \(n\) est impair, alors 1 est valeur propre de \(u\).

Exercice 15 : Polynôme minimal d’une matrice diagonale par blocs

Soient \(A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})\), \(B \in \mathcal{M}_q(\mathbb{K})\) et \(M = \begin{pmatrix} A 0 \\ 0 B \end{pmatrix}\).

1. Montrer que, pour tout polynôme \(P\), \(P(M) = \begin{pmatrix} P(A) 0 \\ 0 P(B) \end{pmatrix}\).
2. En déduire que \(\pi_M\) est le ppcm de \(\pi_A\) et \(\pi_B\).
3. Montrer que \(M\) est diagonalisable si et seulement si \(A\) et \(B\) le sont.
4. Application : déterminer \(\pi_M\) pour \(A = \begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 2 \end{pmatrix}\).

Exercice 16 : Sous-espaces caractéristiques d’une matrice 3×3

Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 1 0 \\ -1 2 0 \\ 1 -1 2 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\). Déterminer les sous-espaces propres. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Donner \(\pi_A\).
2. Déterminer les sous-espaces caractéristiques \(F_1 = \ker(A – I_3)^2\) et \(F_2 = \ker(A – 2I_3)\).
3. Trouver une base \((f_1, f_2, f_3)\) adaptée à \(\mathbb{R}^3 = F_1 \oplus F_2\), avec \(f_1\) vecteur propre et \((A – I_3) f_2 = f_1\). Écrire la matrice \(T\) de l’endomorphisme canoniquement associé à \(A\) dans cette base.
4. En déduire \(A^n\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
5. Exprimer le projecteur sur \(F_2\) parallèlement à \(F_1\) comme polynôme en \(A\).

Exercice 17 : L’endomorphisme de translation sur Rn[X]

Soit \(n \geq\, 1\). On définit \(\Phi\) sur \(\mathbb{R}_n[X]\) par \(\Phi(P) = P(X + 1)\), et on pose \(\Delta = \Phi – \mathrm{id}\). La figure ci-dessous représente un polynôme et son image par \(\Phi\).

1. Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\), et que \(\Delta\) fait baisser le degré de 1 pour tout polynôme non constant.
2. En déduire que \(\Delta^{n+1} = 0\) et calculer \(\Delta^n(X^n)\).
3. Déterminer \(\pi_\Phi\) et \(\chi_\Phi\). L’endomorphisme \(\Phi\) est-il diagonalisable ?
4. Exprimer \(\Phi^{-1}\) comme polynôme en \(\Delta\).

Exercice 18 : Endomorphisme induit et codiagonalisation

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie.

1. Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) diagonalisable et \(F\) un sous-espace stable par \(u\). Montrer que l’endomorphisme induit \(u_F\) est diagonalisable.
2. Soient \(u, v \in \mathcal{L}(E)\) diagonalisables tels que \(u \circ v = v \circ u\). Montrer que les sous-espaces propres de \(u\) sont stables par \(v\).
3. En déduire qu’il existe une base de \(E\) formée de vecteurs propres communs à \(u\) et à \(v\).
4. Montrer que \(u + v\) et \(u \circ v\) sont alors diagonalisables.

Exercice 19 : Commutant d’une matrice à valeurs propres distinctes

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) possédant \(n\) valeurs propres distinctes \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\). On note \(\mathcal{C}(A) = \{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) ,\ AB = BA\}\).

1. Montrer que \(\pi_A = \chi_A\) et que \(\dim \mathbb{K}[A] = n\).
2. Soit \(B \in \mathcal{C}(A)\). Montrer que tout vecteur propre de \(A\) est vecteur propre de \(B\).
3. En déduire que \(\mathcal{C}(A) = \mathbb{K}[A]\), à l’aide des polynômes d’interpolation de Lagrange.
4. Donner la dimension de \(\mathcal{C}(A)\).

Exercice 20 : Racines carrées d’une matrice

Soit \(A = \begin{pmatrix} -2 3 \\ -6 7 \end{pmatrix}\). On cherche les matrices \(B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telles que \(B^2 = A\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(A\) et une base de vecteurs propres.
2. Soit \(B\) telle que \(B^2 = A\). Montrer que \(B\) commute avec \(A\), puis que \(B \in \mathbb{R}[A]\).
3. Écrire \(B = aA + bI_2\) et déterminer les quatre solutions.
4. Montrer que \(C = \begin{pmatrix} -6 5 \\ -10 9 \end{pmatrix}\) n’a aucune racine carrée dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).

Exercice 21 : Problème : l’endomorphisme M ↦ M + tr(M)In

Soit \(n \geq\, 2\). On définit \(u\) sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) par \(u(M) = M + \mathrm{tr}(M) I_n\), et on pose \(v = u – \mathrm{id}\).

1. Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Calculer \(v^2\) en fonction de \(v\).
2. En déduire un polynôme annulateur de \(u\), puis \(\pi_u\).
3. Montrer que \(u\) est diagonalisable. Déterminer ses sous-espaces propres et leurs dimensions.
4. Exprimer les projecteurs \(p\) et \(q\) sur ces sous-espaces propres comme polynômes en \(u\). Décrire \(p(M)\) et \(q(M)\).
5. Pour \(k \in \mathbb{N}\), calculer \(u^k(M)\). Calculer \(\mathrm{tr}(u)\) et \(\det(u)\).
6. Montrer que \(u\) est inversible, calculer \(u^{-1}\) et résoudre l’équation \(M + \mathrm{tr}(M) I_n = B\) d’inconnue \(M\).
7. Plus généralement, pour \(a \in \mathbb{R}\), soit \(u_a(M) = M + a\,\mathrm{tr}(M) I_n\). Pour quelles valeurs de \(a\) l’endomorphisme \(u_a\) est-il inversible ? Que dire de \(u_a\) pour \(a = -1/n\) ?

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : polynômes d'endomorphismes, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Diagonalisation, trigonalisation et nilpotence, Anneaux, idéaux, Z/nZ et algèbres
• Chapitre précédent : Diagonalisation, trigonalisation et nilpotence
• Chapitre suivant : Normes, espaces vectoriels normés et suites
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup