Intégration sur un segment : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Continuité uniforme et théorème de Heine

1. Montrer que, pour tous \(x, y \geq\, 0\), on a \(|\sqrt{x} – \sqrt{y}| \leq\, \sqrt{|x – y|}\). En déduire que la fonction racine carrée est uniformément continue sur \([0, +\infty[\).
2. Montrer que \(x \mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
3. Montrer que \(x \mapsto \sin(1/x)\) est continue mais non uniformément continue sur \(]0, 1]\).
4. Soit \(f\) continue sur \([0, 1]\) et \(\varepsilon > 0\). À l’aide du théorème de Heine, construire une fonction en escalier \(\varphi\) sur \([0, 1]\) telle que \(|f – \varphi| \leq\, \varepsilon\) sur \([0, 1]\).

Exercice 2 : Intégrales de fonctions en escalier

Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \([0, 4]\) par \(\varphi(x) = 2\) si \(0 \leq\, x < 1\), \(\varphi(x) = -1\) si \(1 \leq\, x < 3\), et \(\varphi(x) = 3\) si \(3 \leq\, x \leq\, 4\).

1. Justifier que \(\varphi\) est en escalier, puis calculer \(\int_0^4 \varphi\) et sa valeur moyenne sur \([0, 4]\).
2. On modifie \(\varphi\) en posant \(\varphi(1) = 100\). L’intégrale change-t-elle ? Justifier.
3. Montrer que \(x \mapsto \lfloor x^2 \rfloor\) est en escalier sur \([0, 2]\), puis calculer \(\int_0^2 \lfloor x^2 \rfloor\,\mathrm{d}x\).

Exercice 3 : Encadrement de la fonction carré par des fonctions en escalier

Pour \(n \geq\, 1\), on définit sur \([0, 1]\) les fonctions en escalier \(\varphi_n\) et \(\psi_n\) par \(\varphi_n(x) = (\frac{k}{n})^2\) et \(\psi_n(x) = (\frac{k+1}{n})^2\) pour \(x \in [\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}[\), \(0 \leq\, k \leq\, n – 1\), et \(\varphi_n(1) = \psi_n(1) = 1\).

1. Montrer que \(\varphi_n \leq\, f \leq\, \psi_n\), où \(f(x) = x^2\).
2. Calculer \(\int_0^1 \varphi_n\) et \(\int_0^1 \psi_n\) en fonction de \(n\), puis \(\int_0^1 (\psi_n – \varphi_n)\).
3. Retrouver ainsi, sans primitive, la valeur de \(\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x\).

Exercice 4 : Partie entière et partie fractionnaire

On note \(\lfloor x \rfloor\) la partie entière de \(x\) et \(\{x\} = x – \lfloor x \rfloor\) sa partie fractionnaire. Soit \(n \in \mathbb{N}^*\).

1. Calculer \(\int_0^n \lfloor x \rfloor\,\mathrm{d}x\).
2. Montrer que \(x \mapsto \{x\}\) est continue par morceaux et \(1\)-périodique, puis calculer \(\int_0^n \{x\}\,\mathrm{d}x\). Vérifier la cohérence avec \(\int_0^n x\,\mathrm{d}x\).
3. La fonction \(g\) définie par \(g(0) = 0\) et \(g(x) = \{1/x\}\) pour \(x \in ]0, 1]\) est-elle continue par morceaux sur \([0, 1]\) ?

Exercice 5 : Majorations d’intégrales

1. Montrer que \(| \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n \cos(nx)}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x | \leq\, \dfrac{1}{n + 1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). En déduire la limite de cette intégrale.
2. Montrer que, pour \(u \in [0, 1]\), on a \(1 + u \leq\, \mathrm{e}^u \leq\, 1 + (\mathrm{e} – 1)u\). En déduire que \(\dfrac{4}{3} \leq\, \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x \leq\, \dfrac{\mathrm{e} + 2}{3}\).
3. Montrer que \(| \displaystyle\int_0^{\pi} \frac{\mathrm{e}^{it}}{1 + t}\,\mathrm{d}t | \leq\, \ln(1 + \pi)\).

Exercice 6 : Fonction continue d’intégrale nulle

1. Soit \(f\) continue sur \([a, b]\), avec \(a < b\), telle que \(\int_a^b f(t)^2\,\mathrm{d}t = 0\). Montrer que \(f = 0\).
2. Soit \(f\) continue sur \([0, 1]\) telle que \(\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\). Montrer que \(f\) admet un point fixe.
3. Soit \(f\) continue sur \([0, 1]\) telle que \(\int_0^1 f^2 = \int_0^1 f^3 = \int_0^1 f^4\). Calculer \(\int_0^1 (f^2 – f)^2\), puis montrer que \(f\) est constante égale à \(0\) ou à \(1\).
4. Montrer par un exemple que le résultat de la question 1 tombe si \(f\) est seulement continue par morceaux.

Exercice 7 : Parité, périodicité et valeur moyenne

1. Calculer sans primitive \(\int_{-\pi}^{\pi} x^3 \cos x\,\mathrm{d}x\), puis \(\int_{-1}^{1} (|x| + x^5 \mathrm{e}^{x^2})\mathrm{d}x\).
2. Soit \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\) et \(T\)-périodique. Montrer, en dérivant, que \(x \mapsto \int_x^{x+T} f(t)\,\mathrm{d}t\) est constante.
3. Calculer \(\int_0^{10\pi} |\sin t|\,\mathrm{d}t\) et la valeur moyenne de \(|\sin|\) sur \([0, 10\pi]\).
4. Calculer la valeur moyenne de \(\sin^2\) sur \([0, \pi]\).

Exercice 8 : Formule de la moyenne et limites

1. Soient \(f\) et \(g\) continues sur \([a, b]\), avec \(a < b\) et \(g \geq\, 0\). Montrer qu’il existe \(c \in [a, b]\) tel que \(\int_a^b f g = f(c) \int_a^b g\).
2. En déduire \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \int_x^{2x} \frac{\cos t}{t}\,\mathrm{d}t\).
3. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} \int_0^x t^2 \mathrm{e}^{t}\,\mathrm{d}t\).
4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_0^x \mathrm{e}^{t^2}\,\mathrm{d}t\).

Exercice 9 : Limites de sommes de Riemann

Déterminer la limite, quand \(n \to +\infty\), des suites suivantes.

1. \(a_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}\).
2. \(b_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + k^2}\).
3. \(c_n = \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sin(\frac{k\pi}{n})\).
4. \(d_n = (\dfrac{(2n)!}{n!\, n^n})^{1/n}\).

Exercice 10 : Vitesse de convergence de la méthode des rectangles

Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \([a, b]\) et \(M_1 = \sup_{[a, b]} |f^{\prime}|\). Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(h = \frac{b – a}{n}\), \(x_k = a + kh\) et \(R_n = h \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\).

1. Montrer que \(| \int_a^b f – R_n | \leq\, \dfrac{M_1 (b – a)^2}{2n}\).
2. Montrer que cette majoration est une égalité pour \(f(x) = x\) sur \([0, 1]\).
3. On prend \(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\) sur \([0, 1]\). Montrer que \(M_1 = \frac{3\sqrt{3}}{8}\). Quelle valeur de \(n\) garantit une erreur au plus \(10^{-3}\) sur \(\frac{\pi}{4}\) ?

Exercice 11 : Développement asymptotique d’une somme de Riemann

Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \([0, 1]\). On pose \(R_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(\frac{k}{n})\) et \(x_k = \frac{k}{n}\).

1. Montrer que \(\displaystyle\int_0^1 f – R_n = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{x_k}^{x_{k+1}} \int_{x_k}^{t} f^{\prime}(s)\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}t\).
2. Soit \(\varepsilon > 0\). À l’aide du théorème de Heine appliqué à \(f^{\prime}\), montrer que, pour \(n\) assez grand,
   \[| n(\int_0^1 f – R_n) – \frac{1}{2n} \sum_{k=0}^{n-1} f^{\prime}(x_k) | \leq\, \frac{\varepsilon}{2}.\]
3. En déduire que \(n(\int_0^1 f – R_n) \to \dfrac{f(1) – f(0)}{2}\).
4. Application : on pose \(S_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n + k}\). Montrer que \(S_n = \ln 2 + \dfrac{1}{4n} + o(\dfrac{1}{n})\).

Exercice 12 : Dérivée d’une fonction définie par une intégrale

On pose, pour \(x \in \mathbb{R}\), \(G(x) = \displaystyle\int_x^{2x} \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\). La figure ci-dessous représente \(G(x)\) comme une aire, pour \(x > 0\).

1. Justifier que \(G\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(G^{\prime}(x)\).
2. Étudier la parité de \(G\).
3. Dresser le tableau de variations de \(G\) sur \([0, +\infty[\).
4. Montrer que \(0 \leq\, G(x) \leq\, x\,\mathrm{e}^{-x^2}\) pour \(x \geq\, 0\), et en déduire la limite de \(G\) en \(+\infty\).

Exercice 13 : Étude complète d’une fonction intégrale

On considère \(F(x) = \displaystyle\int_x^{x^2} \frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(]0, 1[ \cup ]1, +\infty[\).
2. Montrer que \(F\) est dérivable sur cet ensemble et que \(F^{\prime}(x) = \dfrac{x – 1}{\ln x}\).
3. Pour \(x \neq 1\), écrire \(\frac{1}{\ln t} = t \cdot \frac{1}{t \ln t}\) et appliquer la formule de la moyenne pour montrer que \(F(x) \to \ln 2\) quand \(x \to 1\).
4. On prolonge \(F\) par \(F(1) = \ln 2\). Montrer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(]0, +\infty[\) et donner \(F^{\prime}(1)\).
5. Déterminer les limites de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\), puis dresser son tableau de variations.

Exercice 14 : Intégrales de Wallis

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,\mathrm{d}x\). La figure ci-dessous montre que \(\sin^n\) se concentre près de \(\frac{\pi}{2}\) quand \(n\) grandit.

1. Calculer \(W_0\) et \(W_1\). Montrer que \((W_n)\) est strictement positive et décroissante.
2. Par une intégration par parties, montrer que \((n + 2) W_{n+2} = (n + 1) W_n\).
3. Montrer que la suite \(\big((n + 1) W_{n+1} W_n\big)\) est constante et donner sa valeur.
4. Montrer que \(W_{n+1} \sim W_n\), puis que \(W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\).

Exercice 15 : Une suite d’intégrales et ln 2

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}\,\mathrm{d}x\).

1. Calculer \(I_0\). Montrer que \((I_n)\) est décroissante et positive, puis que \(I_n \leq\, \frac{1}{n + 1}\).
2. Calculer \(I_n + I_{n+1}\).
3. En déduire que \(\dfrac{1}{2(n + 1)} \leq\, I_n \leq\, \dfrac{1}{2n}\) pour \(n \geq\, 1\), puis un équivalent de \(I_n\).
4. Montrer que \(\ln 2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + (-1)^n I_n\), et en déduire la limite de \(\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}\).

Exercice 16 : Lemme de Riemann-Lebesgue

Soit \([a, b]\) un segment. On veut montrer que \(\int_a^b f(t) \sin(\lambda t)\,\mathrm{d}t \to 0\) quand \(\lambda \to +\infty\).

1. On suppose \(f\) de classe \(C^1\). Par une intégration par parties, montrer que
   \[| \int_a^b f(t) \sin(\lambda t)\,\mathrm{d}t | \leq\, \frac{1}{\lambda}( |f(a)| + |f(b)| + \int_a^b |f^{\prime}| ).\]
2. On suppose \(f\) en escalier. Montrer le résultat en calculant \(\int_c^d \sin(\lambda t)\,\mathrm{d}t\).
3. On suppose \(f\) continue. En approchant \(f\) par une fonction en escalier à \(\varepsilon\) près, montrer le résultat.

Exercice 17 : Formule de Taylor et exponentielle

1. Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\). À l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que
   \[| \mathrm{e}^x – \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} | \leq\, \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\, \mathrm{e}^{|x|}.\]
2. En déduire que \(\mathrm{e}^x = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}\) pour tout réel \(x\).
3. Montrer que \(0 < \mathrm{e} – \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \leq\, \frac{\mathrm{e}}{(n+1)!}\). Quel rang \(n\) suffit pour approcher \(\mathrm{e}\) à \(10^{-3}\) près, sachant que \(\mathrm{e} < 3\) ?
4. On suppose \(\mathrm{e} = \frac{p}{q}\) avec \(p, q \in \mathbb{N}^*\). En considérant \(n!(\mathrm{e} – \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!})\) pour \(n \geq\, \max(q, 2)\), aboutir à une contradiction.

Exercice 18 : Inégalités par la formule de Taylor

1. Montrer que, pour tout \(x \geq\, 0\) : \(x – \dfrac{x^2}{2} \leq\, \ln(1 + x) \leq\, x – \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3}\).
2. Montrer que, pour tout réel \(x\) : \(1 – \dfrac{x^2}{2} \leq\, \cos x \leq\, 1 – \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\).
3. En déduire un encadrement de \(\ln(1{,}1)\) d’amplitude inférieure à \(4 \times 10^{-4}\).

Exercice 19 : Taylor-Lagrange et valeurs approchées

1. Montrer que, pour tout réel \(x\), \(| \sin x – x + \dfrac{x^3}{6} | \leq\, \dfrac{|x|^5}{120}\).
2. En déduire une valeur approchée de \(\sin(0{,}1)\) et majorer l’erreur commise.
3. Montrer que, pour \(x \geq\, 0\), \(|\ln(1 + x) – x| \leq\, \dfrac{x^2}{2}\).
4. En déduire la limite de \((1 + \frac{1}{n})^n\) quand \(n \to +\infty\).

Exercice 20 : Problème : concentration d’intégrales et continuité uniforme

Dans tout le problème, \(f\) est une fonction continue sur \([0, 1]\) et \(\|f\| = \sup_{[0, 1]} |f|\).

Partie A. On pose \(J_n = (n + 1) \int_0^1 t^n f(t)\,\mathrm{d}t\).

1. Calculer \((n + 1) \int_0^1 t^n\,\mathrm{d}t\) et en déduire que \(J_n – f(1) = (n + 1) \int_0^1 t^n \big(f(t) – f(1)\big)\,\mathrm{d}t\).
2. Soit \(\varepsilon > 0\) et \(\delta \in ]0, 1[\) tel que \(|f(t) – f(1)| \leq\, \varepsilon\) pour \(t \in [1 – \delta, 1]\). Montrer que \(|J_n – f(1)| \leq\, 2\|f\|(1 – \delta)^{n+1} + \varepsilon\).
3. En déduire que \(J_n \to f(1)\).
4. On suppose de plus \(f\) de classe \(C^1\). Retrouver ce résultat par une intégration par parties.

Partie B. On pose \(K_n = \int_0^1 f(t^n)\,\mathrm{d}t\).

1. Soit \(\varepsilon > 0\). Justifier l’existence de \(\eta > 0\) tel que \(|f(u) – f(0)| \leq\, \varepsilon\) pour \(u \in [0, \eta]\).
2. Soit \(a \in ]0, 1[\). Montrer que \(|K_n – f(0)| \leq\, \int_0^a |f(t^n) – f(0)|\,\mathrm{d}t + 2\|f\|(1 – a)\).
3. En choisissant d’abord \(a\), puis \(n\), montrer que \(K_n \to f(0)\).

Partie C. Applications.

1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^n}\) et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n + 1)\int_0^1 t^n \mathrm{e}^{t}\,\mathrm{d}t\).
2. Retrouver l’équivalent \(\int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,\mathrm{d}t \sim \frac{1}{2n}\) de l’exercice 15.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : intégration sur un segment, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Primitives et calcul intégral, Dérivabilité et convexité
• Chapitre précédent : Groupe symétrique et déterminants
• Chapitre suivant : Séries numériques
• Le même thème en L1 : intégration sur un segment, exercices de maths en L1
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé