Dimension finie : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Base et dimension d’un sous-espace de R4

On considère \(F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 : x + y + z + t = 0 \text{ et } x – y + 2z = 0\}\).

1. Montrez que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\).
2. Déterminez une base de \(F\) et sa dimension.
3. Vérifiez que \(w = (3, 1, -1, -3)\) appartient à \(F\) et donnez ses coordonnées dans la base trouvée.

Exercice 2 : Trois vecteurs de R3

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(u_1 = (1, 1, 0)\), \(u_2 = (1, 0, 1)\) et \(u_3 = (0, 1, 1)\).

1. Montrez que \((u_1, u_2, u_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\) en ne vérifiant qu’une seule propriété.
2. Déterminez les coordonnées d’un vecteur quelconque \((x, y, z)\) dans cette base.
3. On remplace \(u_3\) par \(u_3^{\prime} = (0, 1, -1)\). La famille \((u_1, u_2, u_3^{\prime})\) est-elle encore une base ? Quel est son rang ?

Exercice 3 : Rang d’une famille de quatre vecteurs

Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère \(v_1 = (1, 2, 1, 0)\), \(v_2 = (2, 1, 0, 1)\), \(v_3 = (1, -1, -1, 1)\) et \(v_4 = (3, 3, 1, 1)\).

1. Exprimez \(v_3\) et \(v_4\) en fonction de \(v_1\) et \(v_2\).
2. Déduisez-en le rang de la famille \((v_1, v_2, v_3, v_4)\) et une base de \(V = \mathrm{Vect}(v_1, v_2, v_3, v_4)\).
3. Déterminez deux équations linéaires qui caractérisent \(V\).

Exercice 4 : Compléter une famille libre de R4

Dans \(\mathbb{R}^4\), muni de sa base canonique \((e_1, e_2, e_3, e_4)\), on pose \(u_1 = (1, 2, 1, 0)\) et \(u_2 = (0, 0, 1, 1)\).

1. Montrez que \((u_1, u_2)\) est libre.
2. La famille \((u_1, u_2, e_3, e_4)\) est-elle une base de \(\mathbb{R}^4\) ?
3. Montrez que \((u_1, u_2, e_1, e_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^4\).
4. Quel théorème du cours garantissait l’existence d’un tel complément ?

Exercice 5 : Égalité de deux sous-espaces par la dimension

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(F = \mathrm{Vect}((1, 2, 3), (2, 3, 4))\) et \(G = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x – 2y + z = 0\}\).

1. Déterminez la dimension de \(F\) et celle de \(G\).
2. Montrez que \(F = G\) sans résoudre de système.

Exercice 6 : Bases de polynômes à degrés échelonnés

1. Montrez que \(\mathcal{B} = (1, X – 1, (X – 1)^2, (X – 1)^3)\) est une base de \(\mathbb{R}_3[X]\).
2. Déterminez les coordonnées de \(X^3\) dans la base \(\mathcal{B}\).
3. Plus généralement, justifiez que les coordonnées d’un polynôme \(P \in \mathbb{R}_3[X]\) dans \(\mathcal{B}\) sont \((P(1), P^{\prime}(1), \frac{P^{\prime\prime}(1)}{2}, \frac{P^{\prime\prime\prime}(1)}{6})\).
4. Montrez que \(\mathcal{C} = (1, X, X(X – 1), X(X – 1)(X – 2))\) est une base de \(\mathbb{R}_3[X]\), puis décomposez \(X^3\) dans \(\mathcal{C}\).

Exercice 7 : Dimension d’un produit d’espaces

On pose \(E = \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_2[X]\) et \(H = \{((a, b), P) \in E : P(0) = a \text{ et } P(1) = b\}\).

1. Donnez la dimension de \(E\) et une base de \(E\).
2. Montrez que \(H\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
3. Déterminez une base de \(H\) et sa dimension.

Exercice 8 : Rang d’une famille à paramètre

Soit \(m \in \mathbb{R}\). Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(u = (1, 1, m)\), \(v = (1, m, 1)\) et \(w = (m, 1, 1)\).

1. Écrivez le système traduisant \(a u + b v + c w = 0\), et montrez que \((m – 1)(b – c) = 0\) et \((m – 1)(a – b) = 0\).
2. Déterminez, selon la valeur de \(m\), le rang de la famille \((u, v, w)\).
3. Pour quelles valeurs de \(m\) la famille \((u, v, w)\) est-elle une base de \(\mathbb{R}^3\) ?

Exercice 9 : Deux plans de R3

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère les plans \(P_1\) d’équation \(x + y + z = 0\) et \(P_2\) d’équation \(x – 2y + z = 0\), représentés ci-dessous.

1. Justifiez que \(P_1\) et \(P_2\) sont de dimension \(2\) et qu’ils sont distincts.
2. Sans calcul, déterminez \(\dim(P_1 + P_2)\) puis \(\dim(P_1 \cap P_2)\).
3. Déterminez une base de \(P_1 \cap P_2\).
4. Dans \(\mathbb{R}^4\), donnez un exemple de deux plans dont l’intersection est \(\{0\}\). Pourquoi est-ce impossible dans \(\mathbb{R}^3\) ?

Exercice 10 : Formule de Grassmann dans R4

Dans \(\mathbb{R}^4\), on pose \(f_1 = (1, 1, 0, 0)\), \(f_2 = (0, 1, 1, 0)\), \(g_1 = (0, 0, 1, 1)\) et \(g_2 = (1, 0, 0, 1)\). On note \(F = \mathrm{Vect}(f_1, f_2)\) et \(G = \mathrm{Vect}(g_1, g_2)\).

1. Donnez \(\dim F\) et \(\dim G\).
2. Montrez que \(f_1 – f_2 + g_1 – g_2 = 0\), puis déterminez le rang de \((f_1, f_2, g_1, g_2)\).
3. Déduisez-en \(\dim(F + G)\) et \(\dim(F \cap G)\), puis une base de \(F \cap G\).
4. Montrez que \(F + G\) est l’hyperplan d’équation \(x – y + z – t = 0\).

Exercice 11 : Matrices symétriques, antisymétriques et triangulaires

Soit \(n \geq\, 2\). On note \(\mathcal{S}_n\), \(\mathcal{A}_n\) et \(\mathcal{T}_n\) les sous-espaces de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) formés respectivement des matrices symétriques, antisymétriques et triangulaires supérieures.

1. Déterminez une base et la dimension de \(\mathcal{S}_n\), de \(\mathcal{A}_n\) et de \(\mathcal{T}_n\).
2. Montrez que \(\mathcal{S}_n \cap \mathcal{A}_n = \{0\}\) et déduisez-en, par un argument de dimension, que \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n\).
3. Déterminez \(\mathcal{S}_n \cap \mathcal{T}_n\), puis montrez que \(\mathcal{S}_n + \mathcal{T}_n = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Cette somme est-elle directe ?

Exercice 12 : Un supplémentaire dans l’espace des polynômes de degré au plus 3

Dans \(E = \mathbb{R}_3[X]\), on pose \(F = \{P \in E : P(1) = 0\}\) et \(G = \mathrm{Vect}(X^2 + 1)\).

1. Montrez que \(F\) est un sous-espace de \(E\) et que \((X – 1, X(X – 1), X^2(X – 1))\) en est une base.
2. Montrez que \(E = F \oplus G\).
3. Décomposez \(X^3\) selon cette somme directe.
4. La droite \(\mathrm{Vect}(X – 1)\) est-elle un supplémentaire de \(F\) ? Et la droite \(\mathrm{Vect}(X)\) ?

Exercice 13 : Hyperplan et droite supplémentaires

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(H = \{(x, y, z) : x + y + z = 0\}\) et \(a = (1, 1, 1)\).

1. Justifiez que \(H\) est un plan, puis montrez que \(\mathbb{R}^3 = H \oplus \mathbb{R}a\).
2. Décomposez un vecteur \((x, y, z)\) quelconque selon cette somme directe. Appliquez au vecteur \(v = (2, 1, 0)\).
3. Parmi les vecteurs \(b = (1, -1, 0)\) et \(c = (1, 0, 0)\), lesquels engendrent une droite supplémentaire de \(H\) ?

Exercice 14 : Polynômes interpolateurs de Lagrange

Dans \(\mathbb{R}_2[X]\), on pose \(L_{-1} = \frac{X(X – 1)}{2}\), \(L_0 = 1 – X^2\) et \(L_1 = \frac{X(X + 1)}{2}\).

1. Calculez \(L_i(j)\) pour \(i, j \in \{-1, 0, 1\}\).
2. Montrez que \((L_{-1}, L_0, L_1)\) est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\).
3. Montrez que, pour tout \(P \in \mathbb{R}_2[X]\), on a \(P = P(-1) L_{-1} + P(0) L_0 + P(1) L_1\). Vérifiez-le pour \(P = X^2 + X + 1\).
4. Déterminez l’unique polynôme \(P\) de degré au plus \(2\) tel que \(P(-1) = 2\), \(P(0) = -1\) et \(P(1) = 4\).

Exercice 15 : Base adaptée à une somme directe dans les matrices carrées d’ordre 2

Dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on pose \[D = \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 -1 \end{pmatrix}, \quad S = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \end{pmatrix}, \quad J = \begin{pmatrix} 0 1 \\ -1 0 \end{pmatrix},\] puis \(F_1 = \mathrm{Vect}(I_2)\), \(F_2 = \mathrm{Vect}(D, S)\) et \(F_3 = \mathrm{Vect}(J)\).

1. Montrez que la famille \((I_2, D, S, J)\) est libre.
2. Déduisez-en que \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = F_1 \oplus F_2 \oplus F_3\) et que \((I_2, D, S, J)\) est une base adaptée à cette décomposition.
3. Décomposez \(M = \begin{pmatrix} 1 2 \\ 0 3 \end{pmatrix}\) selon cette somme directe.
4. Dans \(\mathbb{R}^2\), on considère trois droites distinctes \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\). Montrez que \(D_i \cap D_j = \{0\}\) pour \(i \neq j\), mais que la somme \(D_1 + D_2 + D_3\) n’est pas directe.

Exercice 16 : Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

On note \(S\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)\) telles que \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Montrez que \(S\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) de dimension \(2\).
2. Montrez que les suites \((2^n)\) et \(((-1)^n)\) forment une base de \(S\).
3. Déterminez le terme général de la suite \(u \in S\) telle que \(u_0 = 0\) et \(u_1 = 3\).
4. Déterminez les suites de \(S\) qui sont bornées. Quelle est la dimension de ce sous-espace ?

Exercice 17 : Équation différentielle linéaire d’ordre 2

On considère l’équation \((E) : y^{\prime\prime} + y^{\prime} – 2y = 0\), d’inconnue \(y\) deux fois dérivable de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), et on note \(S\) l’ensemble de ses solutions.

1. Rappelez la dimension de \(S\) et montrez que \((x \mapsto e^x, x \mapsto e^{-2x})\) est une base de \(S\).
2. Déterminez la solution \(y\) telle que \(y(0) = 3\) et \(y^{\prime}(0) = 0\). Étudiez ses variations.
3. Montrez que les solutions nulles en \(0\) forment une droite vectorielle, dont vous donnerez une base.
4. Montrez que \((e^x + e^{-2x}, e^x – e^{-2x})\) est une autre base de \(S\).

Exercice 18 : Espaces qui ne sont pas de dimension finie

1. Montrez que \(\mathbb{R}[X]\) n’est pas de dimension finie.
2. Montrez qu’un espace qui contient, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), une famille libre de \(n\) vecteurs n’est pas de dimension finie.
3. Déduisez-en que l’espace \(\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) des fonctions continues n’est pas de dimension finie.
4. Montrez que l’espace \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) des suites réelles n’est pas de dimension finie.

Exercice 19 : Intersection d’hyperplans

Soit \(E\) un espace de dimension \(n \geq\, 1\). On appelle ici hyperplan de \(E\) tout sous-espace de dimension \(n – 1\).

1. Soit \(A\) un sous-espace de \(E\) et \(H\) un hyperplan. Montrez que \(\dim(A \cap H) \geq\, \dim A – 1\).
2. Soit \(H_1, \ldots, H_p\) des hyperplans de \(E\). Montrez que \(\dim(H_1 \cap \cdots \cap H_p) \geq\, n – p\).
3. Dans \(\mathbb{R}_4[X]\), on pose \(H_a = \{P : P(a) = 0\}\). Montrez que \(H_a\) est un hyperplan, en exhibant une base.
4. Déterminez une base et la dimension de \(H_0 \cap H_1 \cap H_2\). Comparez avec la minoration de la question 2.

Exercice 20 : Intersection de trois sous-espaces

Soit \(E\) un espace de dimension \(n\), et \(F\), \(G\), \(K\) trois sous-espaces de \(E\).

1. Montrez que \(\dim(F \cap G) \geq\, \dim F + \dim G – n\).
2. Montrez que \(\dim(F \cap G \cap K) \geq\, \dim F + \dim G + \dim K – 2n\).
3. Dans \(\mathbb{R}^5\), trois sous-espaces sont de dimension \(4\). Montrez que leur intersection contient un plan.
4. Donnez un exemple dans \(\mathbb{R}^3\) de trois plans dont l’intersection est exactement une droite, puis un exemple où c’est un plan. L’inégalité de la question 2 est-elle optimale ?

Exercice 21 : Supplémentaire commun à deux sous-espaces

Soit \(E\) un espace de dimension \(n\), et \(F\), \(G\) deux sous-espaces de même dimension \(p\).

1. Soit \(F^{\prime}\) et \(G^{\prime}\) deux sous-espaces de \(E\), tous deux différents de \(E\). Montrez que \(F^{\prime} \cup G^{\prime} \neq E\). On pourra distinguer le cas où l’un est inclus dans l’autre.
2. On suppose \(p < n\). Montrez qu’il existe \(x \in E\) tel que \(F \cap \mathbb{R}x = G \cap \mathbb{R}x = \{0\}\), avec \(x\) non nul. Que valent \(\dim(F \oplus \mathbb{R}x)\) et \(\dim(G \oplus \mathbb{R}x)\) ?
3. Montrez par récurrence descendante sur \(p\) que \(F\) et \(G\) admettent un supplémentaire commun.
4. Dans \(\mathbb{R}^2\), déterminez un supplémentaire commun aux droites \(\mathbb{R}(1, 0)\) et \(\mathbb{R}(0, 1)\).

Exercice 22 : Polynômes en cosinus

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Dans l’espace des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), on note \(c_k : x \mapsto \cos(kx)\) et \(p_k : x \mapsto \cos^k x\), puis \(V = \mathrm{Vect}(c_0, \ldots, c_n)\) et \(W = \mathrm{Vect}(p_0, \ldots, p_n)\). La figure ci-dessous représente \(c_1\), \(c_2\) et \(p_2\).

1. Calculez \(\int_0^{\pi} \cos(kx) \cos(lx) \, dx\) pour \(k, l \in \mathbb{N}\).
2. Déduisez-en que \((c_0, \ldots, c_n)\) est libre et donnez \(\dim V\).
3. Montrez par récurrence que, pour tout \(k \geq\, 1\), \(c_k\) s’écrit \(\sum_{j=0}^{k} a_j p_j\) avec \(a_k = 2^{k-1}\). On utilisera \(\cos((k+1)x) + \cos((k-1)x) = 2 \cos x \cos(kx)\).
4. Montrez que \(V = W\) et que \((p_0, \ldots, p_n)\) est une base de \(W\).
5. Exprimez \(p_2\) et \(p_3\) dans la base \((c_0, c_1, c_2, c_3)\) de \(\mathrm{Vect}(c_0, \ldots, c_3)\).

Exercice 23 : Problème, récurrence linéaire d’ordre 3

On note \(S\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)\) telles que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \[u_{n+3} = 3u_{n+1} – 2u_n.\]

Partie A : dimension de S.

1. Montrez que \(S\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\).
2. On note \(\varepsilon^{(0)}\), \(\varepsilon^{(1)}\), \(\varepsilon^{(2)}\) les suites de \(S\) dont les trois premiers termes sont respectivement \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\), \((0, 0, 1)\). Montrez que ces trois suites forment une base de \(S\). Que vaut \(\dim S\) ?

Partie B : une base explicite.

1. Factorisez \(r^3 – 3r + 2\).
2. Montrez que les suites \(a = (1)\), \(b = (n)\) et \(c = ((-2)^n)\) appartiennent à \(S\).
3. Montrez que \((a, b, c)\) est une base de \(S\).

Partie C : applications.

1. Déterminez le terme général de la suite \(u \in S\) telle que \(u_0 = 0\), \(u_1 = 0\) et \(u_2 = 9\). Vérifiez votre formule sur \(u_3\) et \(u_4\).
2. Déterminez le sous-espace \(S_b\) des suites bornées de \(S\) et sa dimension.
3. Déterminez les suites de \(S\) qui convergent vers \(0\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : dimension finie, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Espaces vectoriels, familles libres et génératrices
• Chapitre précédent : Espaces vectoriels, familles libres et génératrices
• Chapitre suivant : Applications linéaires et théorème du rang
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé