Sommes, produits et inégalités : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Manipulation des symboles Σ et Π

Dans tout l’exercice, \(n\) désigne un entier naturel non nul.

1. Écrire à l’aide du symbole \(\sum\) ou \(\prod\) les expressions \(A = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n+1)\), \(B = 2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2n)\) et \(C = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\).
2. Calculer \(A\) et exprimer \(B\) à l’aide d’une factorielle.
3. Calculer \(\sum_{k=1}^{n} (3k – 2)\), \(\sum_{k=1}^{n} 5\), \(\prod_{k=1}^{n} 5\) et \(\prod_{k=1}^{n} 3^{k}\).
4. Un étudiant affirme que \(\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = (\sum_{k=1}^{n} a_k)(\sum_{k=1}^{n} b_k)\) pour tous réels \(a_k, b_k\). Montrer par un contre-exemple que c’est faux.

Exercice 2 : Sommes et produits télescopiques

Soit \(n\) un entier, avec \(n \geq\, 1\) pour les questions 1 et 2, et \(n \geq\, 2\) pour la question 3.

1. Vérifier que \(\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+2})\), puis calculer \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}\). Vers quelle valeur \(S_n\) tend-il quand \(n\) tend vers \(+\infty\) ?
2. Calculer \(\sum_{k=1}^{n} \ln(1 + \frac{1}{k})\).
3. Calculer \(P_n = \prod_{k=2}^{n} (1 – \frac{1}{k^{2}})\).
4. Vérifier que \(k \cdot k! = (k+1)! – k!\), puis calculer \(\sum_{k=0}^{n} k \cdot k!\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

Exercice 3 : Changements d’indice et regroupements

Soit \(n \geq\, 1\) un entier.

1. Par un changement d’indice, calculer \(\sum_{k=3}^{n+2} (k-2)^{2}\).
2. À l’aide du changement d’indice \(j = n – k\), montrer que \(\sum_{k=0}^{n} (2k – n) = 0\).
3. En séparant les indices pairs et impairs, calculer \(\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k} k^{2}\).
4. Calculer la somme des carrés des \(n\) premiers entiers impairs, \(\sum_{p=1}^{n} (2p-1)^{2}\).

Exercice 4 : Sommes usuelles et télescopage

Soit \(n \geq\, 1\) un entier. On rappelle les valeurs de \(\sum_{k=1}^{n} k\) et de \(\sum_{k=1}^{n} k^{2}\).

1. Calculer \(\sum_{k=1}^{n} k(k+1)\) et donner le résultat sous forme factorisée.
2. Calculer \(\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+1)\) sous forme factorisée.
3. Développer \((k+1)^{4} – k^{4}\). En sommant cette égalité pour \(k\) allant de \(1\) à \(n\), établir que \(\sum_{k=1}^{n} k^{3} = (\frac{n(n+1)}{2})^{2}\).

Exercice 5 : Somme géométrique et factorisation de a^n − b^n

Soit \(n \in \mathbb{N}\).

1. Calculer \(\sum_{k=0}^{n} 2^{k} 3^{n-k}\).
2. Pour \(x\) réel, calculer \(\sum_{k=0}^{n} x^{2k}\). On distinguera plusieurs cas.
3. Calculer \(\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{2})^{k}\).
4. Montrer que \(7\) divise \(2^{3n} – 1\) et que \(80\) divise \(3^{4n} – 1\).
5. Factoriser \(x^{5} – 1\) et \(x^{5} + 32\) par un polynôme de degré \(1\).

Exercice 6 : Somme des k q^k par une somme double

Soient \(q\) un réel différent de \(1\) et \(n \geq\, 1\) un entier. On pose \(S = \sum_{k=1}^{n} k\,q^{k-1}\).

1. En écrivant \(k = \sum_{j=1}^{k} 1\), exprimer \(S\) comme une somme double sur les couples \((j, k)\) tels que \(1 \leq\, j \leq\, k \leq\, n\).
2. Intervertir les deux sommes et en déduire que \(S = \dfrac{1 – (n+1)q^{n} + n\,q^{n+1}}{(1-q)^{2}}\).
3. En déduire une expression simple de \(\sum_{k=1}^{n} k\,2^{k}\). Vérifier pour \(n = 3\).

Exercice 7 : Sommes doubles rectangulaires

Soient \(n\) et \(p\) deux entiers non nuls.

1. Calculer \(\sum_{1 \leq\, i, j \leq\, n} ij\).
2. Calculer \(\sum_{1 \leq\, i, j \leq\, n} (i + j)^{2}\) sous forme factorisée.
3. Calculer \(\sum_{0 \leq\, i, j \leq\, n} 2^{i} 3^{j}\).
4. Calculer \(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{p} (i – j)\).

Exercice 8 : Sommes triangulaires et minimum

Soit \(n \geq\, 1\) un entier.

1. Calculer \(\sum_{1 \leq\, i \leq\, j \leq\, n} i\). On pourra utiliser l’exercice 4.
2. Calculer \(\sum_{1 \leq\, i \leq\, j \leq\, n} j\), puis \(\sum_{1 \leq\, i < j \leq\, n} 1\).
3. On pose \(M = \sum_{1 \leq\, i, j \leq\, n} \min(i, j)\). La figure ci-dessous donne les valeurs de \(\min(i,j)\) pour \(n = 5\). En séparant les couples tels que \(i = j\), \(i < j\) et \(i > j\), montrer que \(M = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
4. Pour \(1 \leq\, i, j \leq\, n\), justifier que \(\min(i, j)\) est le nombre d’entiers \(k \in [\![1, n]\!]\) tels que \(k \leq\, i\) et \(k \leq\, j\). En intervertissant les sommes, retrouver la valeur de \(M\).

Exercice 9 : Carré d’une somme et produits croisés

Soient \(n \geq\, 1\) un entier et \(a_1, \ldots, a_n\) des réels.

1. Montrer que \((\sum_{k=1}^{n} a_k)^{2} = \sum_{k=1}^{n} a_k^{2} + 2\sum_{1 \leq\, i < j \leq\, n} a_i a_j\).
2. En déduire que \(\sum_{1 \leq\, i < j \leq\, n} ij = \dfrac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}\). Vérifier pour \(n = 3\).
3. Calculer \(\sum_{0 \leq\, i < j \leq\, n} 2^{i+j}\) sous forme factorisée.

Exercice 10 : Factorielles et coefficients binomiaux

Soit \(n \geq\, 1\) un entier.

1. Simplifier \(\frac{(n+2)!}{n!}\) et \(\frac{(2n+2)!}{(2n)!}\).
2. Montrer que \(\prod_{k=1}^{n} (2k) = 2^{n} n!\), puis que \(\prod_{k=1}^{n} (2k-1) = \frac{(2n)!}{2^{n} n!}\).
3. Calculer \(\binom\,{7}{3}\), \(\binom\,{10}{8}\) et \(\binom\,{n}{2}\).
4. Démontrer que \(k\binom\,{n}{k} = n\binom\,{n-1}{k-1}\) pour \(1 \leq\, k \leq\, n\).
5. En appliquant deux fois la formule de Pascal, montrer que pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), \(\binom\,{n+2}{k+2} = \binom\,{n}{k} + 2\binom\,{n}{k+1} + \binom\,{n}{k+2}\).

Exercice 11 : Formule du binôme et coefficient d’un terme

1. Développer \((x+2)^{5}\) et \((1-x)^{4}\).
2. Déterminer le coefficient de \(x^{3}\) dans le développement de \((2x – \frac{1}{x})^{9}\) pour \(x \neq 0\). Ce développement contient-il un terme constant ?
3. Calculer \((1 + \sqrt{2})^{4} + (1 – \sqrt{2})^{4}\) à l’aide de la formule du binôme, sans développer séparément.

Exercice 12 : Sommes binomiales classiques

Soit \(n \geq\, 2\) un entier. Calculer les sommes suivantes.

1. \(\sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} 2^{k}\).
2. \(\sum_{k=0}^{n} k\binom\,{n}{k}\), puis \(\sum_{k=0}^{n} k(k-1)\binom\,{n}{k}\) et enfin \(\sum_{k=0}^{n} k^{2}\binom\,{n}{k}\).
3. \(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1}\binom\,{n}{k}\). On pourra d’abord montrer que \(\frac{1}{k+1}\binom\,{n}{k} = \frac{1}{n+1}\binom\,{n+1}{k+1}\).
4. La somme des \(\binom\,{n}{k}\) pour \(k\) pair, \(0 \leq\, k \leq\, n\).

Exercice 13 : Somme des carrés des coefficients binomiaux

Soit \(n \geq\, 1\) un entier. On admet que si deux fonctions polynomiales \(x \mapsto \sum_{m=0}^{N} c_m x^{m}\) et \(x \mapsto \sum_{m=0}^{N} d_m x^{m}\) sont égales sur \(\mathbb{R}\), alors \(c_m = d_m\) pour tout \(m\).

1. Écrire \((1+x)^{n}(1+x)^{n}\) comme un produit de deux sommes, puis comme une somme double. En regroupant les termes selon la valeur \(m = i + j\), montrer que le coefficient de \(x^{m}\) vaut \(\sum_{i=0}^{m} \binom\,{n}{i}\binom\,{n}{m-i}\).
2. En déduire que \(\sum_{i=0}^{m} \binom\,{n}{i}\binom\,{n}{m-i} = \binom\,{2n}{m}\) pour \(0 \leq\, m \leq\, 2n\).
3. En déduire que \(\sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k}^{2} = \binom\,{2n}{n}\), puis vérifier pour \(n = 4\).

Exercice 14 : Formule de la crosse de hockey

Soient \(p \leq\, n\) deux entiers naturels.

1. À l’aide de la formule de Pascal, montrer que \(\binom\,{k}{p} = \binom\,{k+1}{p+1} – \binom\,{k}{p+1}\) pour tout entier \(k \geq\, p\).
2. En déduire que \(\sum_{k=p}^{n} \binom\,{k}{p} = \binom\,{n+1}{p+1}\).
3. Vérifier le résultat pour \(p = 2\) et \(n = 6\) dans le triangle de Pascal.
4. Écrire la formule pour \(p = 1\) et \(p = 2\), puis en déduire une nouvelle démonstration de la valeur de \(\sum_{k=1}^{n} k^{2}\).

Exercice 15 : Système 3×3 par la méthode du pivot

Résoudre par la méthode du pivot de Gauss les systèmes suivants, d’inconnues réelles \(x, y, z\).

1. \(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x – y + z = 3 \\ x + 2y – z = 2 \end{cases}\)
2. \(\begin{cases} x + 2y – z = 1 \\ 2x + 3y + z = 4 \\ x + y + 2z = 5 \end{cases}\)
3. \(\begin{cases} x + 2y – z = 1 \\ 2x + 3y + z = 4 \\ x + y + 2z = 3 \end{cases}\)

Exercice 16 : Système linéaire à paramètre

Soit \(m\) un réel. On considère le système \((S_m)\) d’inconnues réelles \(x, y, z\) :

\[\begin{cases} x + y + mz = 1 \\ x + my + z = 1 \\ mx + y + z = 1. \end{cases}\]

1. Appliquer la méthode du pivot en prenant la première équation comme pivot.
2. Résoudre \((S_m)\) selon les valeurs de \(m\).

Exercice 17 : Inéquations avec valeurs absolues

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes. Pour la deuxième, la figure donne le graphe de \(f : x \mapsto |x-1| + |x+2|\).

1. \(|2x – 3| \leq\, 5\).
2. \(|x – 1| + |x + 2| \leq\, 5\).
3. \(|x – 1| < |x + 3|\).
4. \(|x^{2} – 4| \leq\, 3\).

Exercice 18 : Équations et sommes avec partie entière

1. Résoudre l’équation \(\lfloor 2x – 1 \rfloor = 3\) d’inconnue réelle \(x\).
2. Montrer que pour tout réel \(x\), \(\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor\) vaut \(0\) si \(x \in \mathbb{Z}\) et \(-1\) sinon.
3. Montrer que pour tout réel \(x\), \(\lfloor x \rfloor + \lfloor x + \frac{1}{2} \rfloor = \lfloor 2x \rfloor\).
4. Pour \(n \geq\, 1\), calculer \(\sum_{k=1}^{2n} \lfloor \frac{k}{2} \rfloor\).
5. Résoudre l’équation \(\lfloor x^{2} \rfloor = 2\).

Exercice 19 : Majorants, minorants, maximum et minimum

On pose \(A = \{ (-1)^{n} + \frac{1}{n} \ : \ n \in \mathbb{N}^{*} \}\). La figure place les éléments obtenus pour \(n \leq\, 20\).

1. Calculer les éléments de \(A\) obtenus pour \(n = 1, \ldots, 6\).
2. Montrer que \(A\) est majoré et qu’il admet un maximum, que l’on précisera.
3. Montrer que \(A\) est minoré par \(-1\), mais qu’il n’admet pas de minimum.
4. Montrer que tout minorant \(m\) de \(A\) vérifie \(m \leq\, -1\). On pourra utiliser la partie entière.
5. Soit \(B = \{ x \in \mathbb{R} \ : \ x^{2} – 3x + 2 < 0 \}\). Déterminer \(B\), ses majorants et ses minorants. \(B\) a-t-il un maximum, un minimum ?

Exercice 20 : Encadrer une somme et un produit

1. Soient \(x \in [1, 2]\) et \(y \in [-3, -1]\). Encadrer \(x + y\), \(x – y\), \(xy\) et \(\frac{x}{y}\).
2. Montrer que \(2^{n-1} \leq\, n! \leq\, n^{n}\) pour tout entier \(n \geq\, 1\).
3. Pour \(1 \leq\, k \leq\, n\), vérifier que \(k(n+1-k) – n = (k-1)(n-k)\). En écrivant \((n!)^{2}\) comme un produit, en déduire que \((n!)^{2} \geq\, n^{n}\).
4. Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(P_n = \prod_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k}\) et \(Q_n = \prod_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k+1}\). Montrer que \(P_n \leq\, Q_n\), calculer \(P_n Q_n\) et en déduire que \(P_n \leq\, \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\).

Exercice 21 : Inégalité triangulaire et encadrements

1. Montrer que pour tous réels \(x, y, z\), \(|x – z| \leq\, |x – y| + |y – z|\).
2. Montrer que pour tous réels \(x, y\), \(|x| + |y| \leq\, |x + y| + |x – y|\).
3. Soit \(x\) un réel tel que \(|x – 2| \leq\, \frac{1}{2}\). Montrer que \(|x^{2} – 4| \leq\, \frac{9}{4}\) et que \(|\frac{1}{x} – \frac{1}{2}| \leq\, \frac{1}{6}\).
4. Montrer par récurrence que pour tous réels \(a_1, \ldots, a_n\), \(|\sum_{k=1}^{n} a_k| \leq\, \sum_{k=1}^{n} |a_k|\). En déduire que \(|\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin k}{2^{k}}| < 1\).

Exercice 22 : Problème : sommes des puissances d’entiers

Pour \(p \in \mathbb{N}\) et \(n \geq\, 1\), on pose \(S_p(n) = \sum_{k=1}^{n} k^{p}\). En particulier, \(S_0(n) = n\).

1. À l’aide de la formule du binôme et d’un télescopage, montrer que pour tout \(p \in \mathbb{N}\) : \[\sum_{j=0}^{p} \binom\,{p+1}{j} S_j(n) = (n+1)^{p+1} – 1.\]
2. Retrouver ainsi \(S_1(n)\), puis \(S_2(n)\).
3. Calculer \(S_3(n)\) par la même relation et vérifier que \(S_3(n) = S_1(n)^{2}\).
4. Montrer par récurrence forte sur \(p\) qu’il existe des rationnels \(c_0, \ldots, c_p\), indépendants de \(n\), tels que pour tout \(n \geq\, 1\) : \[S_p(n) = \frac{n^{p+1}}{p+1} + \sum_{i=0}^{p} c_i n^{i}.\]
5. Soit \(p \in \mathbb{N}\). Justifier que pour tout entier \(k \geq\, 1\), \(\int_{k-1}^{k} t^{p}\,dt \leq\, k^{p} \leq\, \int_{k}^{k+1} t^{p}\,dt\). En déduire l’encadrement \[\frac{n^{p+1}}{p+1} \leq\, S_p(n) \leq\, \frac{(n+1)^{p+1} – 1}{p+1},\] puis la limite de \(\frac{S_p(n)}{n^{p+1}}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 23 : Problème : inégalité de Cauchy-Schwarz discrète

Soient \(n \geq\, 1\) et des réels \(a_1, \ldots, a_n\), \(b_1, \ldots, b_n\). On pose \(A = \sum_{k=1}^{n} a_k^{2}\), \(B = \sum_{k=1}^{n} b_k^{2}\) et \(C = \sum_{k=1}^{n} a_k b_k\).

1. On pose \(D = \sum_{1 \leq\, i, j \leq\, n} (a_i b_j – a_j b_i)^{2}\). En développant, montrer que \(D = 2(AB – C^{2})\).
2. En déduire l’inégalité de Cauchy-Schwarz \(C^{2} \leq\, AB\), et caractériser le cas d’égalité à l’aide des produits \(a_i b_j\) et \(a_j b_i\).
3. Vérifier directement l’inégalité \((\sum_{k=1}^{n} k)^{2} \leq\, n\sum_{k=1}^{n} k^{2}\) à l’aide des sommes usuelles, puis l’obtenir par Cauchy-Schwarz.
4. Soient \(x_1, \ldots, x_n\) des réels strictement positifs. Montrer que \((\sum_{k=1}^{n} x_k)(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k}) \geq\, n^{2}\).
5. En déduire que \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \geq\, \frac{2n}{n+1}\).
6. Montrer enfin que \(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \leq\, n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : sommes, produits et inégalités, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Logique, ensembles, applications et relations
• Chapitre précédent : Logique, ensembles, applications et relations
• Chapitre suivant : Trigonométrie et fonctions circulaires
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé