Fonctions holomorphes : exercices de maths en L3 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Conditions de Cauchy-Riemann

On écrit \(z = x + iy\) avec \(x, y\) réels. On considère les fonctions définies sur \(\mathbb{C}\) par

\[f_1(z) = x^2 – y^2 + 2ixy, \quad f_2(z) = \overline{z}, \quad f_3(z) = |z|^2, \quad f_4(z) = x^2 + iy^2.\]

1. Pour chaque fonction, donnez sa partie réelle \(P\) et sa partie imaginaire \(Q\).
2. Déterminez l’ensemble des points où chaque fonction vérifie les conditions de Cauchy-Riemann.
3. En déduire l’ensemble des points de \(\mathbb{C}\)-dérivabilité de chaque fonction, et la dérivée en ces points.
4. Lesquelles de ces fonctions sont holomorphes sur un ouvert non vide ?

Exercice 2 : Fonction harmonique conjuguée

Soit \(u(x,y) = x^3 – 3xy^2 + 2x\), définie sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Vérifiez que \(u\) est harmonique, c’est-à-dire \(\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0\).
2. Déterminez la fonction \(v\) de classe \(C^1\) telle que \(v(0,0) = 0\) et que \(f = u + iv\) soit holomorphe sur \(\mathbb{C}\).
3. Exprimez \(f\) en fonction de la seule variable \(z\).
4. Montrez que \((x,y) \mapsto x^2 + y^2\) n’est la partie réelle d’aucune fonction holomorphe sur un ouvert non vide.

Exercice 3 : Séries entières et fonctions analytiques

1. Déterminez le rayon de convergence de \(\sum n^2 z^n\) et de \(\sum 2^n z^{2n}\).
2. Soit \(a \in \mathbb{C} \setminus \{1\}\). Développez \(z \mapsto \frac{1}{1-z}\) en série entière de \(z – a\) et donnez le rayon de convergence. En déduire que cette fonction est analytique sur \(\mathbb{C} \setminus \{1\}\).
3. Soit \(g(z) = \frac{1}{1+z^2}\). Donnez son développement en série entière en \(0\) et son rayon.
4. Déterminez le rayon de convergence de la série de Taylor de \(g\) au point \(1\), sans calculer ses coefficients.
5. Expliquez pourquoi la série de Taylor en \(0\) de la fonction réelle \(x \mapsto \frac{1}{1+x^2}\), pourtant de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), diverge pour \(|x| > 1\).

Exercice 4 : Logarithme complexe et puissances

On note \(\mathrm{Log}\) la détermination principale du logarithme sur \(\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_-\).

1. Calculez \(\mathrm{Log}(i)\), \(\mathrm{Log}(-1+i)\) et \(\mathrm{Log}(-\sqrt{3} – i)\).
2. On pose \(z_1 = z_2 = -1 + i\). Comparez \(\mathrm{Log}(z_1 z_2)\) et \(\mathrm{Log}\, z_1 + \mathrm{Log}\, z_2\).
3. Calculez \(i^i = \exp(i\, \mathrm{Log}\, i)\).
4. Résolvez dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(e^z = -1 + i\).
5. Résolvez dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(\cos z = 2\). Que peut-on en conclure sur la fonction cosinus complexe ?

Exercice 5 : Intégrales le long de deux chemins

On note \(\gamma_1\) le segment de \(0\) à \(1 + i\), et \(\gamma_2\) le chemin formé du segment de \(0\) à \(1\) suivi du segment de \(1\) à \(1 + i\), comme sur la figure.

1. Calculez \(\int_{\gamma_1} z^2\,dz\) et \(\int_{\gamma_2} z^2\,dz\) par paramétrage. Retrouvez le résultat à l’aide d’une primitive.
2. Calculez \(\int_{\gamma_1} \overline{z}\,dz\) et \(\int_{\gamma_2} \overline{z}\,dz\).
3. Expliquez la différence de comportement entre les deux fonctions.
4. En déduire l’intégrale de \(\overline{z}\) sur le bord du triangle de sommets \(0\), \(1\), \(1+i\), parcouru dans le sens direct. Comparez avec l’aire du triangle.

Exercice 6 : Intégrales sur un cercle et primitives

1. Soit \(r > 0\) et \(n \in \mathbb{Z}\). Calculez \(\int_{C(0,r)} z^n\,dz\).
2. En déduire que \(z \mapsto 1/z\) n’admet pas de primitive holomorphe sur \(\mathbb{C}^*\).
3. Calculez \(\int_{C(0,2)} \frac{(z^2+1)^2}{z^3}\,dz\).
4. Calculez \(\int_{C(2,1)} \frac{dz}{z}\) en utilisant une primitive convenable.

Exercice 7 : Majoration d’une intégrale curviligne

1. Soit \(R > 2\). Montrez que \(|\int_{C(0,R)} \frac{dz}{z^2+4}| \leq\, \frac{2\pi R}{R^2 – 4}\). Quelle est la limite de cette intégrale quand \(R \to +\infty\) ?
2. Décomposez \(\frac{1}{z^2+4}\) en éléments simples. En déduire que l’intégrale de la question 1 est en fait nulle pour tout \(R > 2\).
3. Pour \(R > 1\), on note \(\Gamma_R\) le demi-cercle \(t \mapsto Re^{it}\), \(t \in [0, \pi]\). Montrez que \(\int_{\Gamma_R} \frac{e^{iz}}{z^2+1}\,dz\) tend vers \(0\) quand \(R \to +\infty\).

Exercice 8 : Applications de la formule de Cauchy

Calculez les intégrales suivantes, en justifiant l’emploi de la formule de Cauchy.

1. \(I_1 = \int_{C(0,2)} \frac{e^z}{z-1}\,dz\).
2. \(I_2 = \int_{C(0,3)} \frac{e^z}{z(z-2)}\,dz\).
3. \(I_3 = \int_{C(0,1)} \frac{e^z}{z(z-2)}\,dz\).
4. \(I_4 = \int_{C(i,1)} \frac{dz}{z^2+1}\).

Exercice 9 : Formule de Cauchy pour les dérivées

1. Calculez \(\int_{C(0,1)} \frac{e^{2z}}{z^4}\,dz\).
2. Calculez \(\int_{C(0,1)} \frac{\sin z}{z^2}\,dz\).
3. Calculez \(\int_{C(0,2)} \frac{z^3}{(z-1)^2}\,dz\).
4. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Calculez \(\int_{C(0,1)} \frac{e^z}{z^{n+1}}\,dz\), puis en déduire la valeur de \(\int_0^{2\pi} e^{\cos t}\cos(\sin t – nt)\,dt\).

Exercice 10 : Intégrales trigonométriques par la formule de Cauchy

1. À l’aide du paramétrage \(z = e^{it}\), montrez que \(\int_0^{2\pi} \frac{dt}{5 + 4\cos t} = \int_{C(0,1)} \frac{dz}{i(2z^2 + 5z + 2)}\).
2. En déduire la valeur de \(\int_0^{2\pi} \frac{dt}{5 + 4\cos t}\).
3. Plus généralement, soit \(a > b > 0\). Calculez \(\int_0^{2\pi} \frac{dt}{a + b\cos t}\).
4. À l’aide de la formule de la moyenne appliquée à \(\exp\), calculez \(\int_0^{2\pi} e^{\cos t}\cos(\sin t)\,dt\) et \(\int_0^{2\pi} e^{\cos t}\sin(\sin t)\,dt\).

Exercice 11 : Module constant et rigidité

Soit \(U\) un ouvert connexe de \(\mathbb{C}\) et \(f \in \mathcal{H}(U)\). On écrit \(f = P + iQ\).

1. Montrez que si \(Q\) est constante sur \(U\), alors \(f\) est constante.
2. Montrez que si \(f(U) \subset \mathbb{R}\), alors \(f\) est constante.
3. Montrez que si \(|f|\) est constant sur \(U\), alors \(f\) est constante.
4. On suppose que \(\overline{f}\) est aussi holomorphe sur \(U\). Montrez que \(f\) est constante.
5. Trouvez une fonction \(\varphi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) de classe \(C^\infty\), non constante, de norme euclidienne constante. Commentez.

Exercice 12 : Déterminations du logarithme

On note \(U = \mathbb{C} \setminus i\mathbb{R}_-\), le plan privé de la demi-droite \(\{iy,\ y \leq\, 0\}\), représenté ci-dessous.

1. Tout \(z \in U\) s’écrit de façon unique \(z = re^{i\theta}\) avec \(r > 0\) et \(\theta \in \,]-\pi/2, 3\pi/2[\). On pose \(L(z) = \ln r + i\theta\). Montrez que \(L\) est une détermination continue du logarithme sur \(U\), et calculez \(L(-1)\) et \(L(-1-i)\).
2. Comparez \(L\) et \(\mathrm{Log}\) sur \(U \setminus \mathbb{R}_-\).
3. Montrez qu’il n’existe aucune détermination continue du logarithme sur \(\mathbb{C}^*\).
4. Soit \(V\) un ouvert étoilé et \(f \in \mathcal{H}(V)\) qui ne s’annule pas. Montrez qu’il existe \(g \in \mathcal{H}(V)\) telle que \(e^g = f\).
5. En déduire qu’il existe \(h \in \mathcal{H}(V)\) telle que \(h^2 = f\).

Exercice 13 : Zéros isolés et suites de valeurs

1. Déterminez toutes les fonctions entières \(f\) telles que \(f(1/n) = 1/n^2\) pour tout \(n \geq\, 1\).
2. Existe-t-il \(f\) holomorphe sur \(D(0,1)\) telle que \(f(1/n) = (-1)^n/n\) pour tout \(n \geq\, 2\) ?
3. Existe-t-il \(f\) holomorphe sur \(D(0,1)\) telle que \(f(1/n) = \frac{1}{n+1}\) pour tout \(n \geq\, 2\) ? Est-elle unique ?
4. Soit \(f\) entière telle que \(f(1/n) = 0\) pour tout \(n \geq\, 1\). Montrez que \(f = 0\). Pourquoi l’argument ne s’applique-t-il pas à \(z \mapsto \sin(\pi/z)\) sur \(\mathbb{C}^*\) ?
5. Déterminez l’ordre du zéro \(0\) de \(f(z) = \sin z – z\), et écrivez \(f(z) = z^m g(z)\) avec \(g(0) \neq 0\).

Exercice 14 : Prolongement analytique d’identités

1. Montrez que \(\sin^2 z + \cos^2 z = 1\) et \(\cos(2z) = 1 – 2\sin^2 z\) pour tout \(z \in \mathbb{C}\).
2. En admettant \(e^{x+y} = e^x e^y\) pour \(x, y\) réels, montrez que \(\exp(z + w) = \exp(z)\exp(w)\) pour tous \(z, w \in \mathbb{C}\).
3. Soit \(U\) un ouvert connexe contenant \([0,1]\) et \(f \in \mathcal{H}(U)\) nulle sur \([0,1]\). Montrez que \(f = 0\).
4. Soit \(\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(\varphi(x) = e^{-1/x^2}\) si \(x > 0\) et \(\varphi(x) = 0\) sinon. On admet que \(\varphi\) est de classe \(C^\infty\). Expliquez pourquoi le résultat de la question 3 n’a pas d’analogue pour les fonctions \(C^\infty\) réelles.
5. Montrez qu’il existe au plus une fonction holomorphe sur \(\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_-\) qui prolonge \(\ln\) sur \(]0, +\infty[\). Identifiez-la.

Exercice 15 : Fonctions entières à croissance polynomiale

1. Soit \(f\) entière. On suppose qu’il existe \(A, B \geq\, 0\) et \(k \in \mathbb{N}\) tels que \(|f(z)| \leq\, A + B|z|^k\) pour tout \(z \in \mathbb{C}\). Montrez que \(f\) est un polynôme de degré au plus \(k\).
2. Déterminez toutes les fonctions entières \(f\) telles que \(|f(z)| \leq\, |z|^2\) pour tout \(z \in \mathbb{C}\).
3. Soit \(f\) entière telle que \(f(z+1) = f(z)\) et \(f(z+i) = f(z)\) pour tout \(z\). Montrez que \(f\) est constante.

Exercice 16 : Variantes du théorème de Liouville

Dans cet exercice, \(f\) désigne une fonction entière.

1. On suppose \(\mathrm{Re}\, f(z) \leq\, 0\) pour tout \(z\). Montrez que \(f\) est constante. Indication : considérez \(e^f\).
2. On suppose \(\mathrm{Im}\, f(z) \geq\, 0\) pour tout \(z\). Montrez que \(f\) est constante.
3. On suppose que \(|f(z) – 1| \geq\, \frac{1}{2}\) pour tout \(z\). Montrez que \(f\) est constante.
4. On suppose que \(|f(z)| \leq\, |e^z|\) pour tout \(z\). Montrez qu’il existe \(c \in \mathbb{C}\), avec \(|c| \leq\, 1\), tel que \(f(z) = c\, e^z\).

Exercice 17 : Théorème de d’Alembert-Gauss par Liouville

Soit \(n \geq\, 1\) et \(P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0\), à coefficients complexes. On pose \(S = |a_0| + \cdots + |a_{n-1}|\) et \(R = \max(1, 2S)\).

1. Montrez que \(|P(z)| \geq\, \frac{|z|^n}{2}\) pour \(|z| \geq\, R\).
2. On suppose que \(P\) ne s’annule pas sur \(\mathbb{C}\). Montrez que \(1/P\) est entière et bornée.
3. Concluez que \(P\) admet une racine dans \(\mathbb{C}\).
4. En déduire que \(P\) s’écrit \(P(z) = \prod_{k=1}^{n} (z – z_k)\), avec \(z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\).
5. On suppose les \(a_k\) réels. Montrez que si \(w\) est une racine non réelle, alors \(\overline{w}\) est aussi racine. En déduire qu’un polynôme réel de degré impair a une racine réelle.

Exercice 18 : Principe du maximum

1. Déterminez le maximum de \(|z^2 – 1|\) sur le disque fermé \(\overline{D}(0,1)\) et les points où il est atteint.
2. Déterminez le minimum de \(|z^2 – \frac{1}{4}|\) sur \(\overline{D}(0,1)\), puis son minimum sur le cercle unité. Pourquoi cela ne contredit-il pas le principe du minimum ?
3. Déterminez le maximum et le minimum de \(|e^z|\) sur \(\overline{D}(0,1)\).
4. Soit \(f\) holomorphe sur un ouvert contenant \(\overline{D}(0,1)\), telle que \(|f(z)| = 1\) pour \(|z| = 1\) et qui ne s’annule pas sur \(\overline{D}(0,1)\). Montrez que \(f\) est constante.
5. Montrez par un exemple que la conclusion de la question 4 tombe si \(f\) s’annule.

Exercice 19 : Lemme de Schwarz

On note \(\mathbb{D} = D(0,1)\). Soit \(f \in \mathcal{H}(\mathbb{D})\) telle que \(f(\mathbb{D}) \subset \mathbb{D}\) et \(f(0) = 0\).

1. Montrez que \(g(z) = f(z)/z\) pour \(z \neq 0\), \(g(0) = f^{\prime}(0)\), définit une fonction holomorphe sur \(\mathbb{D}\).
2. Soit \(r \in \,]0,1[\). Montrez que \(|g(z)| \leq\, 1/r\) pour \(|z| \leq\, r\). En déduire que \(|g| \leq\, 1\) sur \(\mathbb{D}\).
3. Concluez : \(|f(z)| \leq\, |z|\) pour tout \(z \in \mathbb{D}\), et \(|f^{\prime}(0)| \leq\, 1\).
4. Montrez que si \(|f(z_0)| = |z_0|\) pour un \(z_0 \neq 0\), ou si \(|f^{\prime}(0)| = 1\), alors il existe \(\lambda\) de module \(1\) tel que \(f(z) = \lambda z\).
5. Déterminez toutes les fonctions \(f\) holomorphes de \(\mathbb{D}\) dans \(\mathbb{D}\) telles que \(f(0) = 0\) et \(f(1/2) = 1/2\).

Exercice 20 : Problème : intégrale de Gauss par le théorème de Cauchy

On admet que \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}\). Soit \(b > 0\) et \(R > 0\). On note \(\Gamma_R\) le bord du rectangle de sommets \(-R\), \(R\), \(R + ib\), \(-R + ib\), parcouru dans le sens direct, et \(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4\) ses quatre côtés, comme sur la figure. On pose \(f(z) = e^{-z^2}\).

1. Justifiez que \(\int_{\Gamma_R} f(z)\,dz = 0\).
2. Montrez que \(|f(R + it)| \leq\, e^{b^2 – R^2}\) pour \(t \in [0, b]\). En déduire que les intégrales sur les côtés verticaux \(\gamma_2\) et \(\gamma_4\) tendent vers \(0\) quand \(R \to +\infty\).
3. Exprimez \(\int_{\gamma_3} f(z)\,dz\) sous la forme d’une intégrale réelle sur \([-R, R]\).
4. En déduire que \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\cos(2bx)\,dx = \sqrt{\pi}\, e^{-b^2}\) et que \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\sin(2bx)\,dx = 0\).
5. Soit \(\xi \in \mathbb{R}\). Déduisez-en \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\cos(\xi x)\,dx\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

• Le cours : fonctions holomorphes, cours de maths en L3
• À maîtriser avant : Compacité et connexité
• Chapitre précédent : Équations différentielles et théorème de Cauchy-Lipschitz
• Chapitre suivant : Singularités et théorème des résidus
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3