Corps et extensions : exercices de maths en L3 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Caractéristique et morphisme de Frobenius

Soit \(K\) un corps de caractéristique \(p > 0\).

1. Rappeler pourquoi \(p\) est un nombre premier.
2. Montrer que \(p\) divise \(\binom\,{p}{k}\) pour \(1 \leq\, k \leq\, p – 1\). En déduire que \(F : x \mapsto x^p\) est un morphisme de corps de \(K\) dans \(K\).
3. Montrer que \(F\) est injectif, puis qu’il est bijectif lorsque \(K\) est fini.
4. En calculant \((1 + 1 + \cdots + 1)^p\) dans \(\mathbb{F}_p\), retrouver le petit théorème de Fermat : \(a^p \equiv a \pmod p\) pour tout entier \(a\).
5. Montrer que, pour tous \(x, y \in K\) et tout \(n \geq\, 0\), \((x – y)^{p^n} = x^{p^n} – y^{p^n}\).

Exercice 2 : Sous-corps premier et morphismes de corps

1. Montrer qu’un morphisme de corps \(\sigma : K \to L\) est injectif, et que \(K\) et \(L\) ont alors la même caractéristique.
2. En déduire qu’il n’existe aucun morphisme de corps de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{F}_5\), ni de \(\mathbb{F}_3\) dans \(\mathbb{F}_{5}\).
3. Déterminer le sous-corps premier de chacun des corps suivants : \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{F}_3[X]/(X^2 + 1)\), \(\mathbb{F}_7(T)\).
4. Montrer que le seul morphisme de corps de \(\mathbb{Q}\) dans un corps \(L\) de caractéristique nulle est l’injection canonique.

Exercice 3 : Degré d’une extension biquadratique

1. Montrer que \(\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})\).
2. En déduire \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : \mathbb{Q}]\) et une base de \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\) sur \(\mathbb{Q}\).
3. Montrer que \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{6})\).
4. Le polynôme \(X^2 – 3\) est-il irréductible sur \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) ? Et \(X^2 – 18\) ?

Exercice 4 : Calculs dans un corps de rupture de X³ − 2

On pose \(K = \mathbb{Q}[X]/(X^3 – 2)\) et \(\alpha = \overline{X}\).

1. Justifier que \(K\) est un corps de degré \(3\) sur \(\mathbb{Q}\), dont \((1, \alpha, \alpha^2)\) est une base.
2. Calculer l’inverse de \(1 + \alpha\) dans cette base.
3. Calculer l’inverse de \(\alpha^2 + \alpha\).
4. Déterminer le polynôme minimal de \(\alpha^2\), puis celui de \(1 + \alpha\), sur \(\mathbb{Q}\).

Exercice 5 : Polynôme minimal de √2 + √3

On pose \(\gamma = \sqrt{2} + \sqrt{3}\).

1. Trouver un polynôme unitaire \(P\) de degré \(4\) à coefficients entiers tel que \(P(\gamma) = 0\).
2. Calculer \(\gamma^3\) et en déduire que \(\sqrt{2}\) et \(\sqrt{3}\) appartiennent à \(\mathbb{Q}(\gamma)\).
3. En déduire que \(\mathbb{Q}(\gamma) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\) et que \(P\) est le polynôme minimal de \(\gamma\). Quelles sont ses racines ?
4. Soit \(p\) un nombre premier impair. Vérifier les identités \(P = (X^2 – 1)^2 – 8X^2 = (X^2 + 1)^2 – 12X^2 = (X^2 – 5)^2 – 24\). En utilisant le fait que \(\mathbb{F}_p^*\) est cyclique, montrer que l’un des éléments \(2\), \(3\), \(6\) est un carré dans \(\mathbb{F}_p\), puis que \(P\) est réductible dans \(\mathbb{F}_p[X]\). Que se passe-t-il pour \(p = 2\) ?

Exercice 6 : Polynôme minimal de 2cos(2π/7)

On pose \(\zeta = e^{2i\pi/7}\) et \(\theta = \zeta + \zeta^{-1} = 2\cos\frac{2\pi}{7}\).

1. Justifier que \(1 + \zeta + \zeta^2 + \cdots + \zeta^6 = 0\).
2. Exprimer \(\zeta^2 + \zeta^{-2}\) et \(\zeta^3 + \zeta^{-3}\) en fonction de \(\theta\). En déduire que \(\theta^3 + \theta^2 – 2\theta – 1 = 0\).
3. Montrer que \(X^3 + X^2 – 2X – 1\) est le polynôme minimal de \(\theta\) sur \(\mathbb{Q}\).
4. Montrer que ses deux autres racines sont \(2\cos\frac{4\pi}{7}\) et \(2\cos\frac{6\pi}{7}\), et les exprimer comme polynômes en \(\theta\). Que peut-on dire du corps \(\mathbb{Q}(\theta)\) ?

Exercice 7 : Corps de décomposition de X³ − 2

On note \(j = e^{2i\pi/3}\) et \(a = \sqrt[3]{2}\), racine cubique réelle de \(2\).

1. Montrer que \(X^3 – 2\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\) et donner ses racines complexes.
2. Montrer que \(L = \mathbb{Q}(a, j)\) est le corps de décomposition de \(X^3 – 2\) dans \(\mathbb{C}\), et calculer \([L : \mathbb{Q}]\).
3. Montrer que \(\mathbb{Q}(a)\), \(\mathbb{Q}(ja)\) et \(\mathbb{Q}(j^2 a)\) sont trois sous-corps de \(L\) deux à deux distincts mais isomorphes.
4. Montrer que \(X^3 – 2\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}(j)\).

Exercice 8 : Corps de décomposition de X⁴ − 2

On note \(a = \sqrt[4]{2}\), racine quatrième réelle positive de \(2\).

1. Montrer que \(X^4 – 2\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\) et donner ses racines complexes.
2. Montrer que le corps de décomposition de \(X^4 – 2\) dans \(\mathbb{C}\) est \(L = \mathbb{Q}(a, i)\), et que \([L : \mathbb{Q}] = 8\).
3. Montrer que \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{Q}(a)\) et calculer \([\mathbb{Q}(a) : \mathbb{Q}(\sqrt{2})]\). Donner le polynôme minimal de \(a\) sur \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\).
4. Montrer que \(X^4 – 2\) reste irréductible sur \(\mathbb{Q}(i)\).
5. Montrer que \(\mathbb{Q}(a)\) et \(\mathbb{Q}(ia)\) sont isomorphes et distincts. Montrer enfin que \(\mathbb{Q}(i\sqrt{2})\) est un sous-corps de \(L\) de degré \(2\) sur \(\mathbb{Q}\), distinct de \(\mathbb{Q}(i)\) et de \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\).

Exercice 9 : Extensions de degré 2

Soit \(K\) un corps de caractéristique différente de \(2\) et \(L\) une extension de \(K\) de degré \(2\).

1. Montrer que \(L = K(\alpha)\) pour tout \(\alpha \in L \setminus K\).
2. Montrer qu’il existe \(\delta \in L\) tel que \(L = K(\delta)\) et \(\delta^2 \in K\).
3. En déduire que toute extension de degré \(2\) de \(\mathbb{Q}\) contenue dans \(\mathbb{C}\) est de la forme \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\), où \(d \neq 1\) est un entier sans facteur carré.
4. Montrer que \(2\) n’est pas un carré dans \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\). En déduire que les corps \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) et \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\) ne sont pas isomorphes.

Exercice 10 : Nombres transcendants

1. Montrer que l’ensemble \(\mathbb{Q}[X]\) est dénombrable. En déduire que l’ensemble des nombres complexes algébriques sur \(\mathbb{Q}\) est dénombrable, puis qu’il existe des nombres réels transcendants.
2. Soit \(\alpha \in \mathbb{C}\) transcendant sur \(\mathbb{Q}\). Montrer que \(\mathbb{Q}[\alpha]\) est isomorphe à \(\mathbb{Q}[X]\) et que \(\mathbb{Q}[\alpha] \neq \mathbb{Q}(\alpha)\).
3. Montrer que \([\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}]\) est infini.
4. Montrer que \(\alpha^2 + 1\) est transcendant, et que tout \(\beta \in \mathbb{C}\) tel que \(\beta^2 = \alpha\) est transcendant.

Exercice 11 : Les nombres algébriques forment un corps

On note \(\overline{\mathbb{Q}}\) l’ensemble des nombres complexes algébriques sur \(\mathbb{Q}\).

1. Soient \(\alpha, \beta \in \overline{\mathbb{Q}}\), de degrés \(m\) et \(n\). Montrer que \([\mathbb{Q}(\alpha, \beta) : \mathbb{Q}] \leq\, mn\), puis que \(\overline{\mathbb{Q}}\) est un sous-corps de \(\mathbb{C}\).
2. On pose \(\gamma = \sqrt{2} + \sqrt[3]{3}\). Montrer que \([\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}) : \mathbb{Q}] = 6\).
3. En développant \((\gamma – \sqrt{2})^3 = 3\), montrer que \(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\gamma)\). En déduire le degré de \(\gamma\).
4. Trouver le polynôme minimal de \(\gamma\) sur \(\mathbb{Q}\).
5. Soit \(z \in \mathbb{C}\) racine d’un polynôme non nul à coefficients dans \(\overline{\mathbb{Q}}\). Montrer que \(z \in \overline{\mathbb{Q}}\).

Exercice 12 : Duplication du cube et racines non constructibles

1. Rappeler pourquoi le degré sur \(\mathbb{Q}\) d’un réel constructible est une puissance de \(2\).
2. Montrer que \(\sqrt[3]{2}\) n’est pas constructible. Interpréter géométriquement.
3. Montrer que \(\sqrt[4]{2}\) est constructible et donner son degré sur \(\mathbb{Q}\).
4. Montrer que \(\sqrt[6]{2}\) et \(1 + \sqrt[3]{2}\) ne sont pas constructibles.
5. Calculer \((1 + \sqrt{2})^3\). Le réel \(\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}}\) est-il constructible ?

Exercice 13 : Trisection de l’angle

Un angle \(\theta\) est dit constructible si \(\cos\theta\) est un réel constructible. La figure ci-dessous montre l’angle \(\widehat{AOB} = 60^\circ\), constructible, et les deux demi-droites qui le partageraient en trois angles de \(20^\circ\).

1. Montrer que \(\cos 3\theta = 4\cos^3\theta – 3\cos\theta\) pour tout réel \(\theta\).
2. En déduire que \(x = 2\cos 20^\circ\) vérifie \(x^3 – 3x – 1 = 0\).
3. Montrer que ce polynôme est irréductible sur \(\mathbb{Q}\) et conclure qu’on ne peut pas trisecter l’angle de \(60^\circ\) à la règle et au compas.
4. Montrer en revanche que l’angle de \(90^\circ\) se trisecte.

Exercice 14 : Pentagone, heptagone et ennéagone réguliers

Un polygone régulier à \(n\) côtés est constructible si et seulement si \(\cos\frac{2\pi}{n}\) est constructible. La figure ci-dessous représente le pentagone et l’heptagone réguliers inscrits dans le cercle unité.

1. Soit \(\omega = e^{2i\pi/5}\) et \(t = \omega + \omega^{-1}\). Montrer que \(t^2 + t – 1 = 0\), puis calculer \(\cos\frac{2\pi}{5}\).
2. En déduire que le pentagone régulier est constructible.
3. En utilisant l’exercice 6, montrer que l’heptagone régulier n’est pas constructible.
4. Montrer que \(2\cos 40^\circ\) est racine de \(X^3 – 3X + 1\). En déduire que l’ennéagone régulier (9 côtés) n’est pas constructible.

Exercice 15 : Construction de F4 et F8

1. Montrer que \(X^2 + X + 1\) est l’unique polynôme irréductible de degré \(2\) sur \(\mathbb{F}_2\).
2. On pose \(\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2[X]/(X^2 + X + 1)\) et \(\alpha = \overline{X}\). Dresser les tables d’addition et de multiplication de \(\mathbb{F}_4\).
3. Montrer que \(X^3 + X + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{F}_2\). On pose \(\mathbb{F}_8 = \mathbb{F}_2[X]/(X^3 + X + 1)\) et \(\beta = \overline{X}\). Calculer \(\beta^k\) pour \(0 \leq\, k \leq\, 7\) dans la base \((1, \beta, \beta^2)\).
4. En déduire l’inverse de \(\beta^2 + 1\) et de \(\beta^2 + \beta\).
5. Montrer sans calcul que \(\mathbb{F}_8\) ne contient aucun sous-corps à \(4\) éléments.

Exercice 16 : Le corps F9 et ses générateurs

1. Montrer que \(X^2 + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{F}_3\). On pose \(\mathbb{F}_9 = \mathbb{F}_3[X]/(X^2 + 1)\) et \(\alpha = \overline{X}\).
2. Déterminer l’ordre de \(\alpha\) dans \(\mathbb{F}_9^*\). Est-ce un générateur ?
3. Montrer que \(1 + \alpha\) est un générateur de \(\mathbb{F}_9^*\).
4. Combien \(\mathbb{F}_9^*\) a-t-il de générateurs ? Les écrire sous la forme \(a + b\alpha\).
5. Déterminer le polynôme minimal de \(1 + \alpha\) sur \(\mathbb{F}_3\), et en déduire une autre description de \(\mathbb{F}_9\) comme quotient.

Exercice 17 : Générateurs et racines dans F13

1. Montrer que \(2\) engendre le groupe \(\mathbb{F}_{13}^*\), en calculant le moins possible de puissances.
2. Dresser la liste des puissances de \(2\) modulo \(13\), puis donner tous les générateurs de \(\mathbb{F}_{13}^*\).
3. Déterminer les carrés de \(\mathbb{F}_{13}^*\). L’élément \(-1\) est-il un carré ?
4. Résoudre dans \(\mathbb{F}_{13}\) les équations \(x^2 = 10\) et \(x^3 = 5\).

Exercice 18 : Deux constructions de F16

1. Montrer que \(P = X^4 + X + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{F}_2\).
2. On pose \(\mathbb{F}_{16} = \mathbb{F}_2[X]/(P)\) et \(\alpha = \overline{X}\). Montrer que \(\alpha\) est un générateur de \(\mathbb{F}_{16}^*\).
3. Montrer que \(Q = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{F}_2\), et que la classe \(\beta\) de \(X\) dans \(\mathbb{F}_2[X]/(Q)\) n’engendre pas le groupe multiplicatif.
4. Déterminer, dans \(\mathbb{F}_2[X]/(P)\), le sous-corps à \(4\) éléments. On l’exprimera dans la base \((1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3)\).

Exercice 19 : Sous-corps de F4096

On note \(K = \mathbb{F}_{4096} = \mathbb{F}_{2^{12}}\).

1. Donner la liste des sous-corps de \(K\) avec leurs cardinaux, et préciser les inclusions entre eux.
2. Montrer qu’un élément \(x \in K\) vérifie \(\mathbb{F}_2(x) = K\) si et seulement s’il n’appartient ni à \(\mathbb{F}_{64}\) ni à \(\mathbb{F}_{16}\).
3. Dénombrer les éléments \(x\) de \(K\) tels que \(\mathbb{F}_2(x) = K\).
4. En déduire le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré \(12\) sur \(\mathbb{F}_2\).

Exercice 20 : Dénombrement des polynômes irréductibles

Soit \(p\) un nombre premier. On note \(I_d\) le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré \(d\) sur \(\mathbb{F}_p\).

1. Soit \(Q\) unitaire irréductible de degré \(d\) sur \(\mathbb{F}_p\). Montrer que \(Q\) divise \(X^{p^n} – X\) si et seulement si \(d\) divise \(n\).
2. En déduire que \(X^{p^n} – X\) est le produit des polynômes unitaires irréductibles de degré divisant \(n\), puis que \(p^n = \sum_{d \mid n} d I_d\).
3. Calculer \(I_1, \ldots, I_6\) pour \(p = 2\), et \(I_2\) pour \(p = 3\) en donnant les polynômes.
4. Montrer que \(I_n \geq\, 1\) pour tout \(n \geq\, 1\). Qu’en déduit-on pour les corps finis ?

Exercice 21 : Carrés dans un corps fini

Soit \(q\) une puissance d’un nombre premier impair.

1. Montrer que \(\mathbb{F}_q^*\) contient exactement \(\frac{q-1}{2}\) carrés, et que \(x \in \mathbb{F}_q^*\) est un carré si et seulement si \(x^{(q-1)/2} = 1\).
2. Montrer que \(-1\) est un carré dans \(\mathbb{F}_q\) si et seulement si \(q \equiv 1 \pmod 4\).
3. Montrer que tout élément de \(\mathbb{F}_q\) est somme de deux carrés.
4. Application : \(-1\) est-il un carré dans \(\mathbb{F}_7\) ? Écrire \(3\) comme somme de deux carrés dans \(\mathbb{F}_7\).

Exercice 22 : Isomorphisme explicite entre deux corps à 8 éléments

On pose \(K_1 = \mathbb{F}_2[X]/(X^3 + X + 1)\), avec \(\beta = \overline{X}\), et \(K_2 = \mathbb{F}_2[Y]/(Y^3 + Y^2 + 1)\), avec \(\gamma = \overline{Y}\).

1. Justifier que \(K_1\) et \(K_2\) sont deux corps à \(8\) éléments.
2. Montrer que \(\beta^{-1}\) est racine de \(Y^3 + Y^2 + 1\), et l’exprimer dans la base \((1, \beta, \beta^2)\).
3. En déduire un isomorphisme explicite \(\sigma : K_2 \to K_1\), en donnant l’image de \(\gamma\) et de \(\gamma^2\).
4. Combien existe-t-il d’isomorphismes de \(K_2\) sur \(K_1\) ?

Exercice 23 : Problème : cyclicité du groupe multiplicatif

Soit \(K\) un corps et \(G\) un sous-groupe fini de \(K^*\), d’ordre \(n\). Pour \(d \mid n\), on note \(N(d)\) le nombre d’éléments de \(G\) d’ordre \(d\), et \(\varphi\) l’indicatrice d’Euler.

1. Montrer que \(\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n\). On pourra classer les éléments de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) selon leur ordre.
2. Montrer que \(N(d) \in \{0, \varphi(d)\}\) pour tout diviseur \(d\) de \(n\).
3. En déduire que \(N(d) = \varphi(d)\) pour tout \(d \mid n\), puis que \(G\) est cyclique.
4. Montrer que \(3\) engendre \(\mathbb{F}_{17}^*\) et donner le nombre de générateurs de \(\mathbb{F}_{17}^*\) et de \(\mathbb{F}_{25}^*\).
5. Soit \(g\) un générateur de \(\mathbb{F}_{p^n}^*\). Montrer que \(\mathbb{F}_{p^n} = \mathbb{F}_p(g)\). En déduire l’existence d’un polynôme irréductible de degré \(n\) sur \(\mathbb{F}_p\) et que \(\mathbb{F}_{p^n}\) est isomorphe à un quotient \(\mathbb{F}_p[X]/(P)\).
6. Montrer en revanche que les groupes \(\mathbb{Q}^*\) et \(\mathbb{R}^*\) ne sont pas cycliques.

Exercice 24 : Problème : polynômes d’Artin-Schreier

Soit \(p\) un nombre premier, \(a \in \mathbb{F}_p^*\) et \(P = X^p – X – a \in \mathbb{F}_p[X]\).

1. Montrer que \(P\) n’a aucune racine dans \(\mathbb{F}_p\).
2. Soit \(L\) un corps de décomposition de \(P\) et \(\alpha \in L\) une racine de \(P\). Montrer que les racines de \(P\) sont les \(\alpha + k\), \(k \in \mathbb{F}_p\), et que \(P = \prod_{k \in \mathbb{F}_p} (X – \alpha – k)\).
3. Supposons \(P = QR\) avec \(Q\) unitaire de degré \(d\), \(1 \leq\, d \leq\, p – 1\). En étudiant le coefficient de \(X^{d-1}\) dans \(Q\), aboutir à une contradiction. Conclure que \(P\) est irréductible.
4. En déduire que \(L = \mathbb{F}_p(\alpha)\), que \(|L| = p^p\), et que \(\mathbb{F}_p[X]/(P)\) est un corps de décomposition de \(P\).
5. Montrer que le Frobenius \(F\) vérifie \(F(\alpha) = \alpha + a\), et que \(F\) est un automorphisme d’ordre exactement \(p\) de \(L\).
6. Expliciter les cas \(p = 2\) et \(p = 3\) avec \(a = 1\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

• Le cours : corps et extensions, cours de maths en L3
• À maîtriser avant : Anneaux, idéaux et arithmétique
• Chapitre précédent : Anneaux, idéaux et arithmétique
• Chapitre suivant : Réduction de Jordan et décomposition de Dunford
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3