Espaces vectoriels normés : cours de maths en L3 en PDF.

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Une norme sur \(E\) est une application \(N : E \to \mathbb{R}_+\) telle que, pour tous \(x, y \in E\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\) :

• séparation : \(N(x) = 0 \Rightarrow x = 0\) ;
• homogénéité : \(N(\lambda x) = |\lambda| \, N(x)\) ;
• inégalité triangulaire : \(N(x + y) \leq\, N(x) + N(y)\).

Le couple \((E, N)\) est un espace vectoriel normé. On note souvent \(\|x\|\) au lieu de \(N(x)\).

Pour tous \(x, y \in E\), on a \(\big| \|x\| – \|y\| \big| \leq\, \|x – y\|\). Par conséquent, l’application \(x \mapsto \|x\|\) est 1-lipschitzienne, donc continue sur \(E\).

On écrit \(x = (x – y) + y\). L’inégalité triangulaire donne \(\|x\| \leq\, \|x – y\| + \|y\|\), donc \(\|x\| – \|y\| \leq\, \|x – y\|\). En échangeant les rôles de \(x\) et \(y\), on obtient l’autre inégalité.

Une boule d’un espace normé est toujours convexe et symétrique par rapport à son centre. En effet, si \(\|x\| \leq\, 1\), \(\|y\| \leq\, 1\) et \(t \in [0,1]\), alors \(\|t x + (1 – t) y\| \leq\, t + (1 – t) = 1\).

On note \(\ell^1\) l’espace des suites \(u = (u_n)\) telles que \(\sum |u_n|\) converge, muni de \(\|u\|_1 = \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|\). On note \(\ell^\infty\) l’espace des suites bornées, muni de \(\|u\|_\infty = \sup_{n} |u_n|\).

On note \(C([a,b])\) l’espace des fonctions continues de \([a,b]\) dans \(\mathbb{K}\). On le munit de la norme uniforme \(\|f\|_\infty = \sup_{[a,b]} |f|\), ou de la norme de la moyenne \(\|f\|_1 = \int_a^b |f(t)| \, dt\).

Toute suite de \(\ell^1\) est bornée, car \(|u_n| \leq\, \|u\|_1\). Donc \(\ell^1 \subset \ell^\infty\) et \(\|u\|_\infty \leq\, \|u\|_1\). L’inclusion est stricte : la suite constante égale à \(1\) est bornée, mais sa série diverge. De même, sur \(C([a,b])\), on a \(\|f\|_1 \leq\, (b – a) \|f\|_\infty\).

Deux normes \(N\) et \(N^{\prime}\) sur \(E\) sont équivalentes s’il existe deux constantes \(\alpha, \beta > 0\) telles que \[\forall x \in E, \quad \alpha N(x) \leq\, N^{\prime}(x) \leq\, \beta N(x).\]

Si \(N\) et \(N^{\prime}\) sont équivalentes, elles ont les mêmes ouverts, les mêmes fermés, les mêmes parties bornées et les mêmes suites convergentes (avec la même limite). De plus, une application est continue pour l’une si et seulement si elle l’est pour l’autre.

Si \(N^{\prime}(x_k – \ell) \leq\, \beta N(x_k – \ell)\) et si \(N(x_k – \ell) \to 0\), alors \(N^{\prime}(x_k – \ell) \to 0\). L’autre inégalité donne la réciproque. Les notions topologiques d’un espace métrique se caractérisent par les suites, d’où le résultat. Enfin, une partie bornée pour \(N\) est contenue dans une boule \(B_N(0, R)\), donc dans \(B_{N^{\prime}}(0, \beta R)\).

Montrer que deux normes ne sont pas équivalentes. On cherche une suite \((x_k)\) de vecteurs non nuls telle que \(N^{\prime}(x_k) / N(x_k) \to +\infty\) (ou \(\to 0\)). Les candidats naturels sont les fonctions qui « se concentrent » : puissances \(x^k\) sur \([0,1]\), pics de plus en plus étroits, polynômes \(X^k\), suites à support fini de plus en plus long.

Sur \(C([0,1])\), posons \(f_k(x) = x^k\). On a \(\|f_k\|_\infty = 1\) et \(\|f_k\|_1 = \dfrac{1}{k+1}\). Donc le quotient \(\|f_k\|_\infty / \|f_k\|_1 = k + 1\) tend vers \(+\infty\). Ainsi, il n’existe aucune constante \(\beta\) telle que \(\|f\|_\infty \leq\, \beta \|f\|_1\) : les deux normes ne sont pas équivalentes.

Soient \((E, \|\cdot\|_E)\) et \((F, \|\cdot\|_F)\) deux espaces normés et \(u : E \to F\) linéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(u\) est continue sur \(E\) ;
2. \(u\) est continue en \(0\) ;
3. \(u\) est bornée sur la boule unité fermée de \(E\) ;
4. il existe \(C \geq\, 0\) tel que \(\|u(x)\|_F \leq\, C \|x\|_E\) pour tout \(x \in E\) ;
5. \(u\) est lipschitzienne.

L’implication 1 ⇒ 2 est immédiate. Supposons 2. Il existe \(\delta > 0\) tel que \(\|x\|_E \leq\, \delta\) entraîne \(\|u(x)\|_F \leq\, 1\). Si \(\|x\|_E \leq\, 1\), alors \(\|\delta x\|_E \leq\, \delta\), donc \(\|u(x)\|_F \leq\, 1/\delta\) : c’est 3.

Supposons 3, avec \(\|u(x)\|_F \leq\, M\) sur la boule unité. Pour \(x \neq 0\), le vecteur \(x / \|x\|_E\) est de norme \(1\). Par linéarité, \(\|u(x)\|_F \leq\, M \|x\|_E\), d’où 4 avec \(C = M\).

Ensuite, 4 donne \(\|u(x) – u(y)\|_F = \|u(x – y)\|_F \leq\, C \|x – y\|_E\), soit 5. Enfin, une application lipschitzienne est continue.

Prouver la continuité d’une application linéaire. On vérifie d’abord la linéarité. Ensuite, on majore \(\|u(x)\|_F\) en partant de sa définition, jusqu’à faire apparaître \(C \|x\|_E\) avec une constante \(C\) indépendante de \(x\). Les outils usuels sont l’inégalité triangulaire, la majoration d’une intégrale par la borne supérieure et l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Prouver la non-continuité. On exhibe une suite \((x_k)\) avec \(\|x_k\|_E \leq\, 1\) et \(\|u(x_k)\|_F \to +\infty\), ou bien \(x_k \to 0\) avec \(u(x_k)\) qui ne tend pas vers \(0\).

Sur \(E = C([0,1])\), la forme linéaire \(\delta_0 : f \mapsto f(0)\) est continue pour \(\|\cdot\|_\infty\), car \(|f(0)| \leq\, \|f\|_\infty\). En revanche, elle n’est pas continue pour \(\|\cdot\|_1\). En effet, \(g_k(x) = (1 – x)^k\) vérifie \(\|g_k\|_1 = \dfrac{1}{k+1} \to 0\), alors que \(\delta_0(g_k) = 1\). La continuité dépend donc des normes choisies, et pas seulement de l’application.

Une forme linéaire \(\varphi\) sur un espace normé \(E\) est continue si et seulement si son noyau est fermé. Lorsque \(\varphi\) n’est pas continue, son noyau est même dense dans \(E\).

Pour \(u \in \mathcal{L}_c(E, F)\), la norme subordonnée (ou norme d’opérateur) de \(u\) est \[\|u\|_{\mathrm{op}} = \sup_{x \neq 0} \frac{\|u(x)\|_F}{\|x\|_E} = \sup_{\|x\|_E \leq\, 1} \|u(x)\|_F = \sup_{\|x\|_E = 1} \|u(x)\|_F.\]

L’application \(u \mapsto \|u\|_{\mathrm{op}}\) est une norme sur \(\mathcal{L}_c(E, F)\). De plus, elle est sous-multiplicative : si \(u \in \mathcal{L}_c(E, F)\) et \(v \in \mathcal{L}_c(F, G)\), alors \(v \circ u\) est continue et \[\|v \circ u\|_{\mathrm{op}} \leq\, \|v\|_{\mathrm{op}} \, \|u\|_{\mathrm{op}}.\]

Si \(\|u\|_{\mathrm{op}} = 0\), alors \(u(x) = 0\) pour tout \(x\). L’homogénéité est claire. Pour l’inégalité triangulaire, \(\|(u + v)(x)\| \leq\, (\|u\|_{\mathrm{op}} + \|v\|_{\mathrm{op}}) \|x\|\), puis on passe à la borne supérieure. Enfin, \(\|v(u(x))\| \leq\, \|v\|_{\mathrm{op}} \|u(x)\| \leq\, \|v\|_{\mathrm{op}} \|u\|_{\mathrm{op}} \|x\|\).

Calculer une norme subordonnée. On procède en deux temps.

1. On majore : on établit \(\|u(x)\| \leq\, C \|x\|\) pour tout \(x\), avec la constante \(C\) la plus fine possible. Ainsi \(\|u\|_{\mathrm{op}} \leq\, C\).
2. On minore : on cherche un vecteur \(x_0 \neq 0\) tel que \(\|u(x_0)\| = C \|x_0\|\). À défaut, on construit une suite \((x_k)\) telle que \(\|u(x_k)\| / \|x_k\| \to C\). Alors \(\|u\|_{\mathrm{op}} = C\).

Les cas d’égalité dans les majorations indiquent où chercher \(x_0\).

Sur \((C([0,1]), \|\cdot\|_\infty)\), considérons \(\varphi(f) = \int_0^1 f(t) \, dt\). D’abord, \(|\varphi(f)| \leq\, \int_0^1 |f| \leq\, \|f\|_\infty\), donc \(\|\varphi\|_{\mathrm{op}} \leq\, 1\). Ensuite, la fonction constante \(f = 1\) donne \(\varphi(1) = 1 = \|1\|_\infty\). Par conséquent, \(\|\varphi\|_{\mathrm{op}} = 1\), et la borne supérieure est atteinte.

En dimension infinie, la borne supérieure qui définit \(\|u\|_{\mathrm{op}}\) n’est pas toujours atteinte. Par exemple, sur \(\ell^1\), l’opérateur \(M : u \mapsto \big( (1 – 2^{-n}) u_n \big)_n\) a pour norme \(1\), mais \(\|M u\|_1 < \|u\|_1\) pour tout \(u \neq 0\). Il faut alors une suite minimisante.

Sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

On fixe une base \((e_1, \ldots, e_n)\) de \(E\) et l’on pose \(\|x\|_\infty = \max |x_i|\) si \(x = \sum x_i e_i\). Il suffit de montrer que toute norme \(N\) est équivalente à \(\|\cdot\|_\infty\).

D’abord, \(N(x) \leq\, \sum |x_i| N(e_i) \leq\, \beta \|x\|_\infty\) avec \(\beta = \sum N(e_i)\). En particulier, \(|N(x) – N(y)| \leq\, N(x – y) \leq\, \beta \|x – y\|_\infty\), donc \(N\) est continue pour \(\|\cdot\|_\infty\).

Ensuite, la sphère \(S = \{x \mid \|x\|_\infty = 1\}\) est fermée et bornée, donc compacte d’après Bolzano-Weierstrass. La fonction continue \(N\) y atteint son minimum \(\alpha\) en un point \(x_0\). Comme \(x_0 \neq 0\), on a \(\alpha = N(x_0) > 0\). Enfin, pour \(x \neq 0\), \(x / \|x\|_\infty \in S\), d’où \(N(x) \geq\, \alpha \|x\|_\infty\).

Soit \(E\) de dimension finie. Alors :

• \(E\) est complet, et ses parties compactes sont ses parties fermées bornées ;
• une suite converge si et seulement si ses coordonnées dans une base convergent ;
• tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé quelconque est fermé.

Si \(E\) est de dimension finie et \(F\) un espace normé quelconque, toute application linéaire \(u : E \to F\) est continue.

Avec les notations précédentes, \(\|u(x)\|_F \leq\, \sum |x_i| \, \|u(e_i)\|_F \leq\, \Big( \sum \|u(e_i)\|_F \Big) \|x\|_\infty\). Ainsi, \(u\) est continue pour \(\|\cdot\|_\infty\). Or toutes les normes de \(E\) sont équivalentes, donc \(u\) est continue pour la norme donnée.

Soit \(E = \mathbb{R}[X]\), muni de \(\|P\| = \sup_{x \in [0,1]} |P(x)|\). C’est une norme, car un polynôme nul sur \([0,1]\) a une infinité de racines, donc il est nul. Considérons \(\varphi(P) = P(2)\). Pour \(P_k = X^k\), on a \(\|P_k\| = 1\) et \(\varphi(P_k) = 2^k\). Donc \(\varphi\) n’est pas bornée sur la boule unité : elle n’est pas continue.

Sur ce même espace, les normes \(\sup_{[0,1]} |P|\) et \(\sup_{[0,2]} |P|\) ne sont donc pas équivalentes. Elles le deviennent toutes deux si l’on se restreint à \(\mathbb{R}_n[X]\), qui est de dimension finie. C’est exactement la frontière entre dimension finie et dimension infinie. Par ailleurs, le théorème de Riesz, hors programme ici, affirme que la boule unité fermée d’un espace normé est compacte si et seulement si l’espace est de dimension finie.

Soient \(E_1, \ldots, E_p\), \(F\) des espaces normés et \(B : E_1 \times \cdots \times E_p \to F\) une application \(p\)-linéaire. Alors \(B\) est continue si et seulement s’il existe \(C \geq\, 0\) tel que \[\forall (x_1, \ldots, x_p), \quad \|B(x_1, \ldots, x_p)\|_F \leq\, C \, \|x_1\| \cdots \|x_p\|.\]

On traite \(p = 2\), le cas général étant identique. Si \(B\) est continue en \((0,0)\), il existe \(\delta > 0\) tel que \(\|x\| \leq\, \delta\) et \(\|y\| \leq\, \delta\) entraînent \(\|B(x,y)\| \leq\, 1\). Par bilinéarité, pour \(x, y\) non nuls, \(B(x,y) = \dfrac{\|x\| \, \|y\|}{\delta^2} B\Big( \dfrac{\delta x}{\|x\|}, \dfrac{\delta y}{\|y\|} \Big)\), d’où la majoration avec \(C = \delta^{-2}\).

Réciproquement, on écrit \(B(x,y) – B(a,b) = B(x – a, y) + B(a, y – b)\). Il vient \(\|B(x,y) – B(a,b)\| \leq\, C \|x – a\| \, \|y\| + C \|a\| \, \|y – b\|\), qui tend vers \(0\) quand \((x,y) \to (a,b)\).

Une application bilinéaire continue n’est pas lipschitzienne sur tout \(E \times F\). Par exemple, \((x,y) \mapsto xy\) sur \(\mathbb{R}^2\) est continue, mais \(|(x+h)y – xy| = |h| \, |y|\) n’est pas majoré par \(C|h|\) uniformément en \(y\).

Sur \(C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), le produit \((f, g) \mapsto fg\) est bilinéaire et \(\|fg\|_\infty \leq\, \|f\|_\infty \|g\|_\infty\) : il est continu. De même, \((f,g) \mapsto \int_0^1 fg\) est continue. En dimension finie, toute application multilinéaire est continue, par exemple le déterminant \((C_1, \ldots, C_n) \mapsto \det(C_1, \ldots, C_n)\).

Une norme \(\|\cdot\|\) sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est une norme matricielle si elle est sous-multiplicative : \(\|AB\| \leq\, \|A\| \, \|B\|\). Toute norme subordonnée \(\|A\| = \sup_{x \neq 0} \|Ax\| / \|x\|\) est matricielle et vérifie \(\|I_n\| = 1\).

Pour \(A = (a_{ij})\), les normes subordonnées à \(N_1\), \(N_\infty\) et \(N_2\) valent \[\|A\|_1 = \max_{j} \sum_{i=1}^n |a_{ij}|, \qquad \|A\|_\infty = \max_{i} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|, \qquad \|A\|_2 = \sqrt{\rho(A^* A)},\] où \(\rho\) désigne le rayon spectral, c’est-à-dire le plus grand module des valeurs propres.

Traitons \(\|\cdot\|_\infty\). Notons \(L = \max_i \sum_j |a_{ij}|\). Pour tout \(i\), \(|(Ax)_i| \leq\, \sum_j |a_{ij}| \, |x_j| \leq\, L \, N_\infty(x)\), donc \(\|A\|_\infty \leq\, L\). Soit \(i_0\) une ligne réalisant le maximum. On choisit \(x_j\) de module \(1\) tel que \(a_{i_0 j} x_j = |a_{i_0 j}|\). Alors \(N_\infty(x) = 1\) et \((Ax)_{i_0} = L\), d’où l’égalité. Le cas de \(\|\cdot\|_1\) se traite de même en choisissant pour \(x\) un vecteur de la base canonique. Pour \(\|\cdot\|_2\), on écrit \(\|Ax\|_2^2 = \langle A^* A x, x \rangle\) et l’on diagonalise la matrice hermitienne positive \(A^* A\) en base orthonormée.

Pour toute norme subordonnée sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\), on a \(\rho(A) \leq\, \|A\|\). En conséquence, si \(\|A\| < 1\), alors \(I_n – A\) est inversible et \((I_n – A)^{-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} A^k\).

La norme de Frobenius \(\|A\|_F = \big( \sum_{i,j} |a_{ij}|^2 \big)^{1/2}\) est matricielle, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Cependant, elle n’est subordonnée à aucune norme pour \(n \geq\, 2\), car \(\|I_n\|_F = \sqrt{n} \neq 1\).