Différentielle et extrema : exercices de maths en L2 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Différentiabilité par la définition

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne \(\|(h,k)\|_2 = \sqrt{h^2+k^2}\).

1. Soit \(f(x,y) = x^2 + 3xy – y\) et \((a,b) \in \mathbb{R}^2\). Développez \(f(a+h, b+k) – f(a,b)\). En déduire, en revenant à la définition, que \(f\) est différentiable en \((a,b)\), et donnez \(\mathrm{d}f_{(a,b)}(h,k)\).
2. Soit \(N(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\). La fonction \(N\) admet-elle une dérivée partielle par rapport à \(x\) en \((0,0)\) ? Est-elle différentiable en \((0,0)\) ?

Exercice 2 : Calcul de matrices jacobiennes

1. Soit \(F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) définie par \(F(x,y) = (x^2 y,\ e^{x}\sin y,\ x + y^2)\). Justifiez que \(F\) est différentiable, puis calculez \(J_F(x,y)\) et \(J_F(0, \pi/2)\).
2. Soit \(G(x,y,z) = xyz + z^2\). Calculez \(\nabla G(1, 2, -1)\), puis \(\mathrm{d}G_{(1,2,-1)}(h,k,l)\).
3. Donnez une valeur approchée de \(G(1{,}01;\ 1{,}98;\ -1)\) à l’aide de la différentielle.

Exercice 3 : Gradient et tangente à une ligne de niveau

Soit \(f(x,y) = x^2 + 4y^2\) et \(A = (2,1)\). La ligne de niveau de \(f\) passant par \(A\) est représentée ci-dessous.

1. Calculez \(f(A)\) et \(\nabla f(A)\).
2. Calculez la dérivée de \(f\) en \(A\) selon le vecteur unitaire \(u = (\tfrac35, \tfrac45)\).
3. Parmi les vecteurs unitaires \(u\), lequel rend \(D_u f(A)\) maximale ? Quelle est cette valeur maximale ?
4. La ligne de niveau est paramétrée par \(\gamma(\theta) = (2\sqrt2\cos\theta, \sqrt2\sin\theta)\). En dérivant \(f(\gamma(\theta))\), montrez que \(\nabla f(\gamma(\theta))\) est orthogonal à \(\gamma^{\prime}(\theta)\). En déduire une équation de la tangente à l’ellipse en \(A\).

Exercice 4 : Dérivées partielles sans différentiabilité

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}\) si \((x,y) \neq (0,0)\) et \(f(0,0) = 0\).

1. Montrez que \(f\) est continue en \((0,0)\).
2. Calculez \(\partial_1 f(0,0)\) et \(\partial_2 f(0,0)\).
3. Soit \(v = (u, w) \neq (0,0)\). Montrez que \(f\) admet une dérivée en \((0,0)\) selon \(v\) et calculez-la.
4. La fonction \(f\) est-elle différentiable en \((0,0)\) ?

Exercice 5 : Une fonction de classe C1 sur R2

Soit \(f(x,y) = \dfrac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}\) si \((x,y) \neq (0,0)\) et \(f(0,0) = 0\).

1. Justifiez que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\) et calculez \(\partial_1 f\) et \(\partial_2 f\) sur cet ouvert.
2. Calculez \(\partial_1 f(0,0)\) et \(\partial_2 f(0,0)\).
3. Montrez que \(|\partial_1 f(x,y)| \leq\, 2|x|\) pour \((x,y) \neq (0,0)\). En déduire que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\).
4. Que peut-on en conclure sur la différentiabilité de \(f\) en \((0,0)\) ? Donnez \(\mathrm{d}f_{(0,0)}\).

Exercice 6 : Différentiabilité selon un paramètre

Soit \(\alpha > 0\) et \(f_\alpha(x,y) = |xy|^{\alpha}\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Calculez les dérivées partielles de \(f_\alpha\) en \((0,0)\).
2. Montrez que \(|xy| \leq\, \tfrac12(x^2+y^2)\). En déduire que \(f_\alpha\) est différentiable en \((0,0)\) si \(\alpha > \tfrac12\).
3. On suppose \(\alpha \leq\, \tfrac12\). En étudiant \(f_\alpha(t,t)\), montrez que \(f_\alpha\) n’est pas différentiable en \((0,0)\).

Exercice 7 : Différentiable mais pas de classe C1

Soit \(f(x,y) = (x^2+y^2)\sin\!\Big(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big)\) si \((x,y) \neq (0,0)\) et \(f(0,0) = 0\). On note \(\rho = \sqrt{x^2+y^2}\).

1. Montrez que \(f\) est différentiable en \((0,0)\) et précisez \(\mathrm{d}f_{(0,0)}\).
2. Justifiez que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\) et calculez \(\partial_1 f(x,y)\) pour \((x,y) \neq (0,0)\).
3. En considérant la suite \(x_n = \dfrac{1}{2n\pi}\), montrez que \(\partial_1 f\) n’est pas continue en \((0,0)\). Conclure.

Exercice 8 : Coordonnées polaires et règle de la chaîne

Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\). On pose \(g(r, \theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)\) pour \(r > 0\) et \(\theta \in \mathbb{R}\).

1. Calculez la matrice jacobienne de \(\varphi(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\) et son déterminant.
2. Exprimez \(\dfrac{\partial g}{\partial r}\) et \(\dfrac{\partial g}{\partial \theta}\) en fonction de \(\partial_1 f\) et \(\partial_2 f\) évaluées en \(\varphi(r,\theta)\).
3. Montrez que \(\|\nabla f\|_2^2 = \Big(\dfrac{\partial g}{\partial r}\Big)^2 + \dfrac{1}{r^2}\Big(\dfrac{\partial g}{\partial \theta}\Big)^2\).
4. Vérifiez les formules de la question 2 avec \(f(x,y) = x^2 – y^2\), pour laquelle \(g(r,\theta) = r^2\cos(2\theta)\).

Exercice 9 : Jacobienne d’une composée

Soient \(F(x,y) = (xy,\ x+y)\) et \(G(u,v) = (u^2 + v,\ uv)\).

1. Calculez \(J_F(1,2)\), puis \(J_G(F(1,2))\).
2. En déduire \(J_{G \circ F}(1,2)\) par la règle de la chaîne.
3. Vérifiez le résultat en calculant directement \(G \circ F\) et ses dérivées partielles.

Exercice 10 : Inégalité des accroissements finis

1. Soit \(f(x,y) = \sin x \cos y\). Calculez \(\nabla f\) et montrez que \(\|\nabla f(x,y)\|_2 \leq\, 1\) pour tout \((x,y)\).
2. En déduire que, pour tous réels \(a, b, c, d\), \(|\sin a\cos b – \sin c \cos d| \leq\, \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\).
3. Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\mathbb{R}^n\) et \(g : U \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telle que \(\nabla g = 0\) sur \(U\). Démontrez que \(g\) est constante.
4. Soit \(V = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \neq 0\}\) et \(h(x,y) = \dfrac{x}{|x|}\). Calculez \(\nabla h\) sur \(V\). Pourquoi cela ne contredit-il pas la question 3 ?

Exercice 11 : Théorème de Schwarz et matrice hessienne

Soit \(f(x,y) = x^3 y^2 + e^{xy}\).

1. Justifiez que \(f\) est de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Calculez les quatre dérivées partielles d’ordre 2 et vérifiez l’égalité des dérivées croisées.
3. Donnez la matrice hessienne \(H_f(1,0)\).

Exercice 12 : Un contre-exemple au théorème de Schwarz

Soit \(f(x,y) = \dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\) si \((x,y) \neq (0,0)\) et \(f(0,0) = 0\).

1. Montrez que \(|f(x,y)| \leq\, |xy|\). En déduire que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Montrez que, pour tout \(y \in \mathbb{R}\), \(\partial_1 f(0,y) = -y\), et que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\partial_2 f(x,0) = x\).
3. En déduire \(\partial_2 \partial_1 f(0,0)\) et \(\partial_1 \partial_2 f(0,0)\), où \(\partial_2\partial_1 f\) désigne la dérivée par rapport à \(y\) de \(\partial_1 f\).
4. Qu’en concluez-vous sur la régularité de \(f\) ?

Exercice 13 : Formule de Taylor-Young à l’ordre 2

1. Soit \(f(x,y) = e^{x}\cos y\). Écrivez la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 de \(f\) en \((0,0)\).
2. En déduire une valeur approchée de \(f(0{,}1;\ 0{,}05)\).
3. La fonction \(\dfrac{e^x\cos y – 1 – x}{x^2+y^2}\) admet-elle une limite en \((0,0)\) ?
4. Soit \(g(x,y) = \ln(1 + x + 2y)\). Écrivez son développement de Taylor-Young à l’ordre 2 en \((0,0)\) et donnez \(H_g(0,0)\).

Exercice 14 : Points critiques d’un polynôme de degré 3

Soit \(f(x,y) = x^3 + y^3 – 3xy\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminez les points critiques de \(f\).
2. Déterminez la nature de chacun d’eux.
3. La fonction \(f\) admet-elle un extremum global sur \(\mathbb{R}^2\) ?

Exercice 15 : Un point critique dégénéré

Soit \(f(x,y) = x^4 + y^4 – 2(x-y)^2\).

1. Montrez que les points critiques de \(f\) sont \((0,0)\), \((\sqrt2, -\sqrt2)\) et \((-\sqrt2, \sqrt2)\).
2. Étudiez la nature des points \((\sqrt2, -\sqrt2)\) et \((-\sqrt2, \sqrt2)\).
3. Montrez que la hessienne en \((0,0)\) ne permet pas de conclure. En étudiant \(f(x,x)\) et \(f(x,0)\), déterminez la nature de \((0,0)\).
4. En posant \(s = x^2 + y^2\), montrez que \(f(x,y) \geq\, \tfrac12 s^2 – 4s\). En déduire le minimum global de \(f\).

Exercice 16 : Extremum d’une fonction de trois variables

Soit \(f(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy + 2xz – 2x\) sur \(\mathbb{R}^3\), et \(q(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy + 2xz\).

1. Déterminez l’unique point critique \(M_0\) de \(f\).
2. Calculez la matrice hessienne de \(f\).
3. Montrez que \(q(x,y,z) = (x+y+z)^2 + (y-z)^2 + z^2\). En déduire que \(q(v) > 0\) pour tout \(v \neq 0\).
4. Montrez que \(f(M_0 + v) = f(M_0) + q(v)\) pour tout \(v \in \mathbb{R}^3\). Concluez sur la nature de \(M_0\) et donnez la valeur du minimum.

Exercice 17 : Extrema sur le disque unité

Soit \(D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq\, 1\}\) et \(f(x,y) = x^2 + 2y^2 – x\).

1. Justifiez que \(f\) admet un maximum et un minimum sur \(D\).
2. Déterminez les points critiques de \(f\) situés à l’intérieur de \(D\).
3. Étudiez \(f\) sur le cercle \(x^2+y^2 = 1\).
4. Concluez : donnez le minimum et le maximum de \(f\) sur \(D\), et les points où ils sont atteints.

Exercice 18 : Maximum d’un produit sur un triangle

Soit \(T = \{(x,y) : x \geq\, 0,\ y \geq\, 0,\ x + y \leq\, 3\}\), représenté ci-dessous, et \(f(x,y) = xy(3 – x – y)\).

1. Montrez que \(T\) est compact et que \(f\) atteint ses bornes sur \(T\).
2. Déterminez les valeurs de \(f\) sur la frontière de \(T\).
3. Déterminez les points critiques de \(f\) à l’intérieur de \(T\). En déduire le maximum et le minimum de \(f\) sur \(T\).
4. Application : montrez que pour tous réels positifs \(a, b, c\), \(abc \leq\, \Big(\dfrac{a+b+c}{3}\Big)^3\).

Exercice 19 : Droite des moindres carrés

On dispose des quatre points \((0,1)\), \((1,3)\), \((2,4)\) et \((3,6)\), représentés ci-dessous. On cherche la droite \(y = ax + b\) qui minimise \[S(a,b) = \sum_{i=1}^{4} (y_i – a x_i – b)^2.\]

1. Calculez \(\partial_a S\) et \(\partial_b S\), et montrez que tout point critique vérifie un système linéaire de deux équations.
2. Résolvez ce système.
3. Calculez la hessienne de \(S\) et montrez que le point critique est un minimum local strict.
4. Montrez que ce minimum est global, en utilisant le fait que \(S\) est un polynôme de degré 2.

Exercice 20 : Problème, étude complète d’une fonction

Soit \(f(x,y) = (x^2 – y^2)\, e^{-x^2-y^2}\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Justifiez que \(f\) est de classe \(C^2\). Comparez \(f(-x,y)\), \(f(x,-y)\) et \(f(y,x)\) à \(f(x,y)\).
2. Montrez que \(\partial_1 f(x,y) = 2x(1 – x^2 + y^2)e^{-x^2-y^2}\) et calculez \(\partial_2 f\).
3. Déterminez les cinq points critiques de \(f\).
4. Calculez la hessienne de \(f\) en \((1,0)\) et donnez la nature de ce point. En utilisant les symétries, en déduire la nature de \((-1,0)\), \((0,1)\) et \((0,-1)\).
5. Déterminez la nature de \((0,0)\).
6. Montrez que \(s e^{-s} \leq\, e^{-1}\) pour tout \(s \geq\, 0\). En déduire que \(|f(x,y)| \leq\, e^{-1}\) et déterminez les extrema globaux de \(f\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

• Le cours : différentielle et extrema, cours de maths en L2
• À maîtriser avant : Plusieurs variables : limites et dérivées partielles
• Chapitre précédent : Plusieurs variables : limites et dérivées partielles
• Chapitre suivant : Espaces probabilisés et conditionnement
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3