Fonctions de plusieurs variables : exercices de maths en L2 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Domaine de définition et lignes de niveau

On considère \(f(x, y) = \sqrt{4 – x^2 – y^2}\) et \(g(x, y) = y – x^2\).

1. Déterminer le plus grand domaine \(D\) de \(\mathbb{R}^2\) sur lequel \(f\) est définie. Est-il fermé ? borné ?
2. Pour chaque réel \(c\), décrire la ligne de niveau \(c\) de \(f\).
3. Décrire les lignes de niveau de \(g\). Deux lignes de niveau distinctes de \(g\) peuvent-elles se couper ?

Exercice 2 : Continuité par les théorèmes généraux

1. Justifier que \(f(x, y) = \dfrac{e^{xy}\cos(x + y)}{1 + x^2}\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Justifier que \(F(x, y) = (x^2 – y^2,\ 2xy,\ \ln(1 + x^2 + y^2))\) définit une fonction continue de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^3\).
3. Calculer \(\displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 2)} \frac{x^2 y – 1}{x + y}\).
4. Déterminer le plus grand ouvert sur lequel \(h(x, y) = \dfrac{\ln(x + y)}{x – y}\) est définie, et justifier que \(h\) y est continue.

Exercice 3 : Limites différentes selon les droites

Les fonctions suivantes sont définies sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\). Pour chacune, calculer la limite en \((0, 0)\) le long de la droite \(y = mx\), puis conclure.

1. \(f_1(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}\).
2. \(f_2(x, y) = \dfrac{x^2 – y^2}{x^2 + y^2}\).
3. \(f_3(x, y) = \dfrac{(x + y)^2}{x^2 + y^2}\).

Exercice 4 : Limites en l’origine par majoration

Montrer que chacune des fonctions suivantes, définie sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\), admet une limite en \((0, 0)\), et la donner. On note \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).

1. \(a(x, y) = \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}\).
2. \(b(x, y) = \dfrac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}\).
3. \(c(x, y) = \dfrac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}\).
4. \(d(x, y) = (x^2 + y^2)\ln(x^2 + y^2)\).
5. \(e(x, y) = \dfrac{e^{x^2 + y^2} – 1}{x^2 + y^2}\).

Exercice 5 : Limite nulle sur les droites mais pas sur une parabole

Soit \(f(x, y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}\) pour \((x, y) \neq (0, 0)\), et \(f(0, 0) = 0\).

1. Montrer que la restriction de \(f\) à toute droite passant par l’origine tend vers \(0\) en \((0, 0)\).
2. Pour \(k \in \mathbb{R}\), calculer \(f(x, kx^2)\) pour \(x \neq 0\). Que peut-on dire des paraboles \(y = kx^2\) ?
3. En déduire que \(f\) n’est pas continue en \((0, 0)\).
4. Montrer que \(|f(x, y)| \leq\, \frac{1}{2}\) sur \(\mathbb{R}^2\), et que cette borne est atteinte.

Exercice 6 : Continuité de trois fonctions prolongées en l’origine

Les trois fonctions suivantes sont prolongées par \(0\) en \((0, 0)\). Étudier leur continuité sur \(\mathbb{R}^2\).

1. \(f(x, y) = \dfrac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}\).
2. \(g(x, y) = \dfrac{\sin x \sin y}{x^2 + y^2}\).
3. \(h(x, y) = \dfrac{x^3 y}{x^4 + y^2}\).

Exercice 7 : Fonctions lipschitziennes

On note \(\|(x, y)\|_1 = |x| + |y|\) et \(\|(x, y)\|_2 = \sqrt{x^2 + y^2}\).

1. Soit \(N\) une norme sur \(\mathbb{R}^n\). Montrer que \(N\) est \(1\)-lipschitzienne de \((\mathbb{R}^n, N)\) dans \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que \(f(x, y) = \sin x + \cos y\) est \(1\)-lipschitzienne pour \(\|\cdot\|_1\), puis \(\sqrt{2}\)-lipschitzienne pour \(\|\cdot\|_2\).
3. Montrer que \(g(x, y) = xy\) n’est pas lipschitzienne sur \(\mathbb{R}^2\).
4. Soit \(R > 0\). Montrer que \(g\) est \(R\)-lipschitzienne sur le carré \([-R, R]^2\) pour \(\|\cdot\|_1\).

Exercice 8 : Distance à une partie fermée

Soit \(\|\cdot\|\) une norme sur \(\mathbb{R}^n\) et \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{R}^n\). Pour \(x \in \mathbb{R}^n\), on pose \(d_A(x) = \inf_{a \in A} \|x – a\|\). La figure ci-dessous représente une partie \(A\), un point \(x\) et un point \(a\) de \(A\) qui réalise la distance.

1. Montrer que \(d_A\) est \(1\)-lipschitzienne. En déduire qu’elle est continue.
2. On suppose \(A\) fermée. Soit \(x \in \mathbb{R}^n\). En considérant \(K = A \cap \overline{B}(x, d_A(x) + 1)\), montrer qu’il existe \(a \in A\) tel que \(\|x – a\| = d_A(x)\).
3. Dans \(\mathbb{R}^2\) muni de la norme euclidienne, on prend pour \(A\) le disque fermé de centre \(O\) et de rayon \(1\). Montrer que \(d_A(x) = \max(\|x\|_2 – 1, 0)\) et préciser le point le plus proche lorsque \(\|x\|_2 > 1\).

Exercice 9 : Un maximum atteint sur le plan entier

Soit \(f(x, y) = (x + y)\,e^{-(x^2 + y^2)}\) sur \(\mathbb{R}^2\). On note \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).

1. Montrer que \(|f(x, y)| \leq\, \sqrt{2}\, r\, e^{-r^2}\).
2. Calculer \(f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\).
3. Étudier \(\psi(r) = \sqrt{2}\, r\, e^{-r^2}\) sur \([0, +\infty[\). En déduire que \(|f(x, y)| < f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) dès que \(r \geq\, 2\).
4. Montrer, à l’aide d’un compact, que \(f\) admet un maximum sur \(\mathbb{R}^2\).
5. Déterminer ce maximum, un point où il est atteint, puis le minimum de \(f\).

Exercice 10 : Calcul de dérivées partielles et de gradients

Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes sur l’ouvert indiqué, puis le gradient au point donné.

1. \(f(x, y) = x^3 y^2 – 2xy + y\) sur \(\mathbb{R}^2\), au point \((1, 1)\).
2. \(g(x, y) = e^{xy}\sin y\) sur \(\mathbb{R}^2\), au point \((0, \pi)\).
3. \(h(x, y) = \arctan(\dfrac{y}{x})\) sur \(\{(x, y) : x > 0\}\), au point \((1, 1)\).
4. \(k(x, y, z) = xy^2 e^{z}\) sur \(\mathbb{R}^3\), au point \((1, 2, 0)\).

Exercice 11 : Dérivée directionnelle et direction de plus forte pente

Soit \(f(x, y) = x^2 + 3xy\) et \(a = (1, 2)\).

1. Calculer, à l’aide de la définition, la dérivée de \(f\) en \(a\) selon \(v = (1, -1)\).
2. Calculer \(\nabla f(a)\) et retrouver le résultat précédent.
3. Parmi les vecteurs unitaires \(u\) pour la norme euclidienne, lequel maximise \(D_u f(a)\) ? Quelle est la valeur maximale ?
4. Déterminer les vecteurs unitaires \(u\) tels que \(D_u f(a) = 0\). Les relier à la ligne de niveau de \(f\) passant par \(a\).

Exercice 12 : Dérivées partielles sans continuité

Soit \(f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}\) pour \((x, y) \neq (0, 0)\), et \(f(0, 0) = 0\).

1. Montrer que \(f\) n’est pas continue en \((0, 0)\).
2. Montrer que \(\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0)\) existent et les calculer.
3. Soit \(v = (\alpha, \beta)\) avec \(\alpha\beta \neq 0\). La dérivée \(D_v f(0, 0)\) existe-t-elle ?
4. Calculer \(\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\) pour \((x, y) \neq (0, 0)\), puis \(\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)\) pour \(y \neq 0\). La fonction \(f\) est-elle de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) ?

Exercice 13 : Toutes les dérivées directionnelles sans continuité

Soit \(g(x, y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}\) pour \((x, y) \neq (0, 0)\), et \(g(0, 0) = 0\).

1. Calculer \(g(t, t^2)\) pour \(t \neq 0\). En déduire que \(g\) n’est pas continue en \((0, 0)\).
2. Soit \(v = (\alpha, \beta) \neq (0, 0)\). Montrer que \(D_v g(0, 0)\) existe et la calculer, en distinguant \(\beta = 0\) et \(\beta \neq 0\).
3. Calculer \(D_{(1, 0)} g(0, 0)\), \(D_{(0, 1)} g(0, 0)\) et \(D_{(1, 1)} g(0, 0)\). L’application \(v \mapsto D_v g(0, 0)\) est-elle linéaire ?
4. Expliquer pourquoi \(g\) ne peut pas être de classe \(C^1\) au voisinage de \((0, 0)\), de deux façons différentes.

Exercice 14 : Une fonction de classe C1 sur le plan

Soit \(f(x, y) = \dfrac{xy(x^2 – y^2)}{x^2 + y^2}\) pour \((x, y) \neq (0, 0)\), et \(f(0, 0) = 0\).

1. Montrer que \(|f(x, y)| \leq\, \frac{1}{2}(x^2 + y^2)\). En déduire que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Montrer que, pour \((x, y) \neq (0, 0)\), \[\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = \frac{y(x^4 + 4x^2y^2 – y^4)}{(x^2 + y^2)^2}.\]
3. Calculer \(\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)\) et montrer que \(\frac{\partial f}{\partial x}\) est continue en \((0, 0)\).
4. Vérifier que \(f(y, x) = -f(x, y)\). En déduire une expression de \(\frac{\partial f}{\partial y}\) et conclure que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\).
5. Calculer \(\frac{\partial f}{\partial x}(0, y)\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0)\) pour \(x, y\) non nuls.

Exercice 15 : Fonction continue sans dérivée directionnelle

Soit \(g(x, y) = \sqrt{|xy|}\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Montrer que \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Montrer que les deux dérivées partielles de \(g\) en \((0, 0)\) existent et sont nulles.
3. Montrer que \(g\) n’admet pas de dérivée en \((0, 0)\) selon le vecteur \((1, 1)\).
4. En déduire que \(g\) n’est pas de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\). Quelle leçon tirer de cet exemple et de l’exercice 12 ?

Exercice 16 : Dérivée le long du cercle unité

Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\). Pour \(t \in \mathbb{R}\), on pose \(g(t) = f(\cos t, \sin t)\).

1. Justifier que \(g\) est dérivable et exprimer \(g^{\prime}(t)\) à l’aide des dérivées partielles de \(f\).
2. Vérifier la formule lorsque \(f(x, y) = x^2 – y^2\).
3. On suppose que \(x\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) – y\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 0\) pour tout \((x, y) \in \mathbb{R}^2\). Montrer que \(f\) est constante sur chaque cercle de centre \(O\).

Exercice 17 : Gradient en coordonnées polaires

Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\). On pose \(F(r, \theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)\) pour \(r > 0\) et \(\theta \in \mathbb{R}\).

1. Exprimer \(\frac{\partial F}{\partial r}\) et \(\frac{\partial F}{\partial \theta}\) en fonction des dérivées partielles de \(f\).
2. En déduire \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\) au point \((r\cos\theta, r\sin\theta)\) en fonction de \(\frac{\partial F}{\partial r}\) et \(\frac{\partial F}{\partial \theta}\).
3. Montrer que \(\|\nabla f\|_2^2 = (\frac{\partial F}{\partial r})^2 + \frac{1}{r^2}(\frac{\partial F}{\partial \theta})^2\).
4. Application : \(f(x, y) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\). Calculer \(\|\nabla f(x, y)\|_2\) par cette méthode, puis directement.

Exercice 18 : Fonctions homogènes et relation d’Euler

Soit \(U = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\), \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(f\) de classe \(C^1\) sur \(U\). On dit que \(f\) est homogène de degré \(\alpha\) si \(f(tx, ty) = t^\alpha f(x, y)\) pour tout \(t > 0\) et tout \((x, y) \in U\).

1. On suppose \(f\) homogène de degré \(\alpha\). Montrer la relation d’Euler : \(x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = \alpha f\) sur \(U\).
2. Montrer que \(\frac{\partial f}{\partial x}\) est alors homogène de degré \(\alpha – 1\).
3. Réciproquement, on suppose la relation d’Euler vérifiée sur \(U\). Pour \((x, y) \in U\) fixé, on pose \(\varphi(t) = t^{-\alpha} f(tx, ty)\) sur \(]0, +\infty[\). Montrer que \(\varphi\) est constante et conclure.
4. Vérifier la relation d’Euler au point \((1, 1)\) pour \(f(x, y) = \dfrac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}\).
5. On suppose \(f\) homogène de degré \(0\) et prolongeable en une fonction continue en \((0, 0)\). Montrer que \(f\) est constante.

Exercice 19 : Composée avec l’application carré complexe

Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\), de variables \((u, v)\). On pose \(g(x, y) = f(x^2 – y^2, 2xy)\).

1. Justifier que \(g\) est de classe \(C^1\) et calculer \(\frac{\partial g}{\partial x}\) et \(\frac{\partial g}{\partial y}\).
2. Montrer que \(\|\nabla g(x, y)\|_2^2 = 4(x^2 + y^2)\,\|\nabla f(x^2 – y^2, 2xy)\|_2^2\).
3. On suppose \(\nabla f(0, 2) = (3, -1)\). Calculer \(\nabla g(1, 1)\) et vérifier le résultat de la question 2.
4. Vérifier la formule de la question 1 lorsque \(f(u, v) = u\).

Exercice 20 : Une équation aux dérivées partielles de transport

On cherche les fonctions \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) telles que \[\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) – 2\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = 0 \quad \text{pour tout } (x, y) \in \mathbb{R}^2. \qquad (E)\]

1. Soit \(f\) une solution. On pose \(G(u, v) = f(\frac{u – v}{2}, v)\). Justifier que \(G\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) et calculer \(\frac{\partial G}{\partial v}\).
2. En déduire qu’il existe \(h\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(x, y) = h(2x + y)\).
3. Vérifier réciproquement que toute fonction de cette forme est solution de \((E)\).
4. Déterminer la solution de \((E)\) qui vérifie \(f(x, 0) = \sin x\) pour tout \(x\). Décrire ses lignes de niveau.

Exercice 21 : Problème : gradient borné et fonctions lipschitziennes

Partie A. Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\mathbb{R}^n\), \(f\) de classe \(C^1\) sur \(U\) et \(M \geq\, 0\) tel que \(\|\nabla f(x)\|_2 \leq\, M\) pour tout \(x \in U\).

1. Soit \(a, b \in U\). On pose \(\varphi(t) = f(a + t(b – a))\) pour \(t \in [0, 1]\). Justifier que \(\varphi\) est bien définie et dérivable, et calculer \(\varphi^{\prime}(t)\).
2. En déduire que \(|f(b) – f(a)| \leq\, M\|b – a\|_2\).
3. Montrer que \(f(x, y) = \sin x\cos y\) est \(1\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}^2\) pour \(\|\cdot\|_2\).

Partie B. On montre que l’hypothèse de convexité ne peut pas être supprimée. Soit \(U\) l’ouvert formé des points \((x, y)\) tels que \(x^2 + y^2 > 1\), privé de la demi-droite \(\{(x, 0) : x \leq\, -1\}\), comme sur la figure ci-dessous. Pour \((x, y) \in U\), on note \(\theta(x, y)\) l’unique réel de \(]-\pi, \pi[\) tel que \((x, y) = r(\cos\theta, \sin\theta)\), avec \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\). On admet que \(\theta\) est de classe \(C^1\) sur \(U\), avec \[\nabla \theta(x, y) = (\frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}).\]

1. Vérifier la formule du gradient sur le demi-plan \(x > 0\), où \(\theta(x, y) = \arctan(y / x)\).
2. Montrer que \(\|\nabla \theta(x, y)\|_2 < 1\) sur \(U\).
3. Pour \(\varepsilon \in ]0, 1[\), on pose \(p_\varepsilon = (-2, \varepsilon)\) et \(q_\varepsilon = (-2, -\varepsilon)\). Calculer \(\theta(p_\varepsilon)\) et \(\theta(q_\varepsilon)\) à l’aide d’une arctangente.
4. En déduire que \(\theta\) n’est pas lipschitzienne sur \(U\). Quel argument de la partie A tombe en défaut ?

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

• Le cours : fonctions de plusieurs variables, cours de maths en L2
• À maîtriser avant : Normes et topologie de R^n
• Chapitre précédent : Normes et topologie de R^n
• Chapitre suivant : Différentiabilité, formule de Taylor et extrema
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3