Séries à termes quelconques : cours de maths en L2 en PDF.

Une suite réelle ou complexe \((u_n)\) est de Cauchy si

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall p, q \geq\, N,\ |u_p – u_q| \leq\, \varepsilon.\]

Autrement dit, les termes se rapprochent les uns des autres, sans référence à une limite.

Toute suite convergente est de Cauchy. De plus, toute suite de Cauchy est bornée.

Supposons \(u_n \to \ell\). Soit \(\varepsilon > 0\) et \(N\) tel que \(|u_n – \ell| \leq\, \varepsilon/2\) pour \(n \geq\, N\). Pour \(p, q \geq\, N\), l’inégalité triangulaire donne \(|u_p – u_q| \leq\, |u_p – \ell| + |\ell – u_q| \leq\, \varepsilon\).

Ensuite, soit \((u_n)\) de Cauchy. Avec \(\varepsilon = 1\), on obtient \(N\) tel que \(|u_n – u_N| \leq\, 1\) pour \(n \geq\, N\). Par conséquent, \(|u_n| \leq\, \max(|u_0|, \ldots, |u_{N-1}|, |u_N| + 1)\) pour tout \(n\).

Complétude de \(\mathbb{R}\) et de \(\mathbb{C}\). Toute suite de Cauchy réelle ou complexe converge.

Soit \((u_n)\) de Cauchy. Elle est bornée, donc le théorème de Bolzano-Weierstrass fournit une sous-suite \((u_{\varphi(n)})\) qui converge vers un réel \(\ell\). Soit \(\varepsilon > 0\). D’abord, on choisit \(N\) tel que \(|u_p – u_q| \leq\, \varepsilon\) pour \(p, q \geq\, N\). Ensuite, on choisit \(n \geq\, N\) tel que \(|u_{\varphi(n)} – \ell| \leq\, \varepsilon\). Comme \(\varphi(n) \geq\, n \geq\, N\), on a pour tout \(p \geq\, N\) :

\[|u_p – \ell| \leq\, |u_p – u_{\varphi(n)}| + |u_{\varphi(n)} – \ell| \leq\, 2\varepsilon.\]

Donc \(u_p \to \ell\). Dans \(\mathbb{C}\), on applique ce résultat aux parties réelle et imaginaire, qui sont de Cauchy.

Dans \(\mathbb{Q}\), le résultat est faux. En effet, les approximations décimales de \(\sqrt{2}\) forment une suite de rationnels de Cauchy, mais sa limite n’est pas rationnelle. La complétude est donc une propriété de \(\mathbb{R}\), liée à l’axiome de la borne supérieure.

La suite \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) n’est pas de Cauchy. En effet, \(H_{2n} – H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \geq\, n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\) pour tout \(n\). Elle diverge donc, sans qu’on ait besoin de calculer quoi que ce soit d’autre.

Critère de Cauchy. La série réelle ou complexe \(\sum u_n\) converge si et seulement si

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall p > n \geq\, N,\ | \sum_{k=n+1}^{p} u_k | \leq\, \varepsilon.\]

La série \(\sum u_n\) est absolument convergente si la série à termes positifs \(\sum |u_n|\) converge.

Une série absolument convergente est convergente, et \(| \sum_{n=0}^{+\infty} u_n | \leq\, \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|\).

Soit \(\varepsilon > 0\). La série \(\sum |u_n|\) converge, donc elle vérifie le critère de Cauchy : il existe \(N\) tel que \(\sum_{k=n+1}^{p} |u_k| \leq\, \varepsilon\) pour \(p > n \geq\, N\). Or l’inégalité triangulaire donne \(| \sum_{k=n+1}^{p} u_k | \leq\, \sum_{k=n+1}^{p} |u_k|\). Ainsi, \(\sum u_n\) vérifie le critère de Cauchy, donc converge. Enfin, l’inégalité \(|S_n| \leq\, \sum_{k=0}^{n} |u_k|\) passe à la limite.

Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

Montrer qu’une série est absolument convergente. On étudie la série positive \(\sum |u_n|\) avec les outils des séries à termes positifs :

• majorer \(|u_n|\) en utilisant \(|\cos| \leq\, 1\), \(|\sin| \leq\, 1\), \(|e^{i\theta}| = 1\) ;
• chercher un équivalent de \(|u_n|\) de type Riemann \(1/n^{\alpha}\) ou Bertrand ;
• montrer que \(n^{\alpha} |u_n| \to 0\) avec \(\alpha > 1\), donc \(|u_n| = o(1/n^{\alpha})\) ;
• appliquer la règle de d’Alembert à \(|u_n|\).

Soit \(u_n = \frac{\cos(n)}{n^2 + 1}\). On a \(|u_n| \leq\, \frac{1}{n^2}\) pour \(n \geq\, 1\), et \(\sum 1/n^2\) converge. Donc \(\sum u_n\) converge absolument, sans que l’on connaisse le signe de ses termes.

La série complexe \(\sum u_n\) converge si et seulement si \(\sum \operatorname{Re}(u_n)\) et \(\sum \operatorname{Im}(u_n)\) convergent. Dans ce cas, \(\sum u_n = \sum \operatorname{Re}(u_n) + i \sum \operatorname{Im}(u_n)\).

Pour \(|z| < 1\), la série géométrique \(\sum z^n\) converge absolument car \(\sum |z|^n\) converge. De plus, \(\sum_{k=0}^{n} z^k = \frac{1 – z^{n+1}}{1 – z} \to \frac{1}{1 – z}\). Avec \(z = \frac{1}{2} e^{i\theta}\), la partie réelle donne par exemple \(\sum_{n \geq\, 0} \frac{\cos(n\theta)}{2^n} = \operatorname{Re} \frac{2}{2 – e^{i\theta}}\).

Une série réelle \(\sum u_n\) est alternée si \((-1)^n u_n\) garde un signe constant. On peut alors écrire \(u_n = (-1)^n a_n\) ou \(u_n = (-1)^{n+1} a_n\) avec \(a_n \geq\, 0\).

Critère spécial des séries alternées. Soit \(u_n = (-1)^n a_n\), où \((a_n)\) est décroissante et tend vers \(0\). Alors :

• la série \(\sum u_n\) converge ;
• sa somme \(S\) est comprise entre deux sommes partielles consécutives \(S_n\) et \(S_{n+1}\) ;
• le reste \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k\) a le signe de \(u_{n+1}\) et vérifie \(|R_n| \leq\, a_{n+1}\).

D’abord, \(S_{2n+2} – S_{2n} = a_{2n+2} – a_{2n+1} \leq\, 0\), donc \((S_{2n})\) décroît. De même, \(S_{2n+3} – S_{2n+1} = a_{2n+2} – a_{2n+3} \geq\, 0\), donc \((S_{2n+1})\) croît. Enfin, \(S_{2n+1} – S_{2n} = -a_{2n+1} \to 0\). Les deux suites sont donc adjacentes : elles ont une limite commune \(S\).

Ensuite, pour tout \(n\), on a \(S_{2n+1} \leq\, S \leq\, S_{2n}\) et \(S_{2n+1} \leq\, S \leq\, S_{2n+2}\). Ainsi, \(S\) est toujours entre \(S_n\) et \(S_{n+1}\). Par conséquent, \(|R_n| = |S – S_n| \leq\, |S_{n+1} – S_n| = a_{n+1}\), et \(R_n\) a le signe de \(S_{n+1} – S_n = u_{n+1}\).

Appliquer le critère des séries alternées. On vérifie trois points, dans cet ordre :

1. le terme s’écrit \((-1)^n a_n\) avec \(a_n \geq\, 0\) ;
2. \(a_n \to 0\) ;
3. \((a_n)\) est décroissante, par exemple en étudiant une fonction \(f\) telle que \(a_n = f(n)\).

Pour majorer une erreur, on utilise ensuite \(|R_n| \leq\, a_{n+1}\).

La série \(\sum_{n \geq\, 1} (-1)^n/\sqrt{n}\) converge, car \(1/\sqrt{n}\) décroît vers \(0\). Cependant, \(\sum 1/\sqrt{n}\) diverge (Riemann, \(\alpha = 1/2\)). Elle est donc semi-convergente. De plus, pour obtenir la somme à \(10^{-2}\) près, il suffit que \(1/\sqrt{n+1} \leq\, 10^{-2}\), soit \(n \geq\, 9\,999\).

L’hypothèse de décroissance est indispensable. Un terme alterné qui tend vers \(0\) ne suffit pas : la partie V en donne un contre-exemple.

Transformation d’Abel. Soit \((a_n)_{n \geq\, 1}\) et \((b_n)_{n \geq\, 1}\) deux suites. On pose \(B_0 = 0\) et \(B_n = b_1 + \cdots + b_n\). Alors, pour \(n \geq\, 1\),

\[\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = a_n B_n + \sum_{k=1}^{n-1} (a_k – a_{k+1}) B_k.\]

On écrit \(b_k = B_k – B_{k-1}\), puis on sépare les deux sommes et on décale l’indice dans la seconde :

\[\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n} a_k B_k – \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} B_k = a_n B_n + \sum_{k=1}^{n-1} (a_k – a_{k+1}) B_k,\]

car le terme d’indice \(0\) est nul puisque \(B_0 = 0\).

Critère d’Abel. On suppose que \((a_n)\) est une suite réelle décroissante de limite nulle, et que les sommes \(B_n\) sont bornées : \(|B_n| \leq\, M\) pour tout \(n\). Alors \(\sum a_n b_n\) converge, et son reste vérifie

\[| \sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k b_k | \leq\, 2M a_{n+1}.\]

D’une part, \(|a_n B_n| \leq\, M a_n \to 0\). D’autre part, \(|(a_k – a_{k+1}) B_k| \leq\, M (a_k – a_{k+1})\), car \(a_k – a_{k+1} \geq\, 0\). Or la série télescopique \(\sum (a_k – a_{k+1})\) converge, de somme \(a_1\). La série \(\sum (a_k – a_{k+1}) B_k\) est donc absolument convergente. Ainsi, la formule d’Abel montre que \(\sum a_k b_k\) converge. La majoration du reste s’obtient en appliquant la même transformation aux sommes \(\sum_{k=n+1}^{p}\), puis en faisant tendre \(p\) vers l’infini.

Pour \(\theta \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}\) et \(n \geq\, 1\), \(| \sum_{k=1}^{n} e^{ik\theta} | \leq\, \dfrac{1}{|\sin(\theta/2)|}\).

Comme \(e^{i\theta} \neq 1\), la somme géométrique vaut \(e^{i\theta} \dfrac{1 – e^{in\theta}}{1 – e^{i\theta}}\). Son module est majoré par \(\dfrac{2}{|1 – e^{i\theta}|}\). Enfin, \(|1 – e^{i\theta}| = |e^{-i\theta/2} – e^{i\theta/2}| = 2|\sin(\theta/2)|\).

Prenons \(a_n = 1/n\) et \(b_n = e^{in}\). Le lemme donne \(M = 1/\sin(1/2)\). Donc \(\sum e^{in}/n\) converge, et ses parties réelle et imaginaire \(\sum \cos(n)/n\) et \(\sum \sin(n)/n\) aussi. En revanche, \(\sum |\sin(n)|/n\) diverge (voir la fiche d’exercices). La série \(\sum \sin(n)/n\) est donc semi-convergente.

Utiliser une transformation d’Abel. Face à un terme \(a_n b_n\), où \(a_n\) décroît vers \(0\) et \(b_n\) oscille (\((-1)^n\), \(\cos(n\theta)\), \(e^{in\theta}\)) :

1. on calcule ou on majore les sommes \(B_n = b_1 + \cdots + b_n\) ;
2. on applique la formule d’Abel, ou directement le critère d’Abel ;
3. on vérifie à part l’absolue convergence, qui échoue souvent.

Le critère spécial des séries alternées en est un cas particulier : \(b_n = (-1)^n\) et \(M = 1\).

Séries de Bertrand. Soit \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\). La série \(\sum_{n \geq\, 2} \dfrac{1}{n^{\alpha} (\ln n)^{\beta}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\), ou bien \(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\).

Si \(\alpha > 1\), on choisit \(\gamma\) avec \(1 < \gamma < \alpha\). Alors \(n^{\gamma} u_n = n^{\gamma – \alpha} (\ln n)^{-\beta} \to 0\), donc \(u_n = o(1/n^{\gamma})\) : convergence. Si \(\alpha < 1\), on a \(n u_n = n^{1 – \alpha} (\ln n)^{-\beta} \to +\infty\), donc \(u_n \geq\, 1/n\) à partir d’un certain rang : divergence.

Enfin, si \(\alpha = 1\) et \(\beta \leq\, 0\), on a \(u_n \geq\, 1/n\) dès que \(n \geq\, 3\). Si \(\alpha = 1\) et \(\beta > 0\), la fonction \(x \mapsto 1/(x (\ln x)^{\beta})\) est positive et décroissante sur \([2, +\infty[\). On compare donc la série à l’intégrale. Or une primitive est \((\ln x)^{1-\beta}/(1-\beta)\) si \(\beta \neq 1\), et \(\ln(\ln x)\) si \(\beta = 1\). Elle a une limite finie en \(+\infty\) si et seulement si \(\beta > 1\).

Étudier une série à l’aide d’un développement asymptotique. On écrit \(u_n = v_n + w_n\), où :

• \(\sum v_n\) relève du critère des séries alternées ou du critère d’Abel ;
• \(w_n\) est de signe constant, et on connaît un équivalent de \(w_n\), ou bien \(w_n = O(1/n^{\alpha})\) avec \(\alpha > 1\).

Alors \(\sum u_n\) converge si et seulement si \(\sum w_n\) converge. On pousse donc le développement jusqu’au premier terme non alterné.

Soit \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}\) pour \(n \geq\, 2\). On a \(u_n \sim (-1)^n/\sqrt{n}\), terme d’une série convergente. Pourtant, un calcul exact donne

\[u_n – \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} = (-1)^n \frac{\sqrt{n} – \sqrt{n} – (-1)^n}{\sqrt{n} (\sqrt{n} + (-1)^n)} = \frac{-1}{\sqrt{n} (\sqrt{n} + (-1)^n)}.\]

Ce terme \(w_n\) est négatif et équivalent à \(-1/n\). Donc \(\sum w_n\) diverge, et \(\sum u_n\) aussi, comme somme d’une série convergente et d’une série divergente.

Le produit de Cauchy des séries \(\sum_{n \geq\, 0} a_n\) et \(\sum_{n \geq\, 0} b_n\) est la série \(\sum c_n\), où

\[c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} = \sum_{k + l = n} a_k b_l.\]

Si \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) sont absolument convergentes, leur produit de Cauchy est absolument convergent et

\[\sum_{n=0}^{+\infty} c_n = ( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n ) ( \sum_{n=0}^{+\infty} b_n ).\]

Notons \(A_N = \sum_{k \leq\, N} |a_k|\) et \(B_N = \sum_{l \leq\, N} |b_l|\), de limites \(A\) et \(B\). D’abord, le triangle est inclus dans le carré, donc \(\sum_{n \leq\, N} |c_n| \leq\, \sum_{k + l \leq\, N} |a_k| |b_l| \leq\, A_N B_N \leq\, AB\). La série \(\sum c_n\) converge donc absolument.

Ensuite, le carré de côté \(p = \lfloor N/2 \rfloor\) est inclus dans le triangle. La différence entre le produit des sommes partielles et \(\sum_{n \leq\, N} c_n\) porte sur les indices du carré de côté \(N\) hors du triangle. On en déduit

\[| \sum_{k \leq\, N} a_k \sum_{l \leq\, N} b_l – \sum_{n \leq\, N} c_n | \leq\, A_N B_N – A_p B_p \xrightarrow[N \to +\infty]{ AB – AB = 0.\]

Pour \(z \in \mathbb{C}\), la série \(\sum z^n/n!\) converge absolument (règle de d’Alembert). Le produit de Cauchy de \(\sum a^n/n!\) et \(\sum b^n/n!\) a pour terme \(\sum_{k=0}^{n} \frac{a^k b^{n-k}}{k! (n-k)!} = \frac{(a+b)^n}{n!}\), par la formule du binôme. On obtient ainsi \(\exp(a)\exp(b) = \exp(a+b)\).

Sans convergence absolue, le produit de Cauchy peut diverger. Pour \(a_n = b_n = (-1)^n/\sqrt{n+1}\), les deux séries convergent, mais \(|c_n| \geq\, 1\) pour tout \(n\).

Si \(\sum u_n\) converge, la série des paquets \(\sum U_k\) converge vers la même somme. La réciproque est vraie dans deux cas :

• si \(u_n \geq\, 0\) pour tout \(n\) ;
• si \(u_n \to 0\) et si les paquets ont une longueur bornée.

Le sens direct vient de ce que \((S_{n_k})\) est extraite de \((S_n)\). Dans le premier cas de la réciproque, \((S_n)\) est croissante et admet une sous-suite convergente, donc elle converge. Dans le second cas, notons \(L\) la longueur maximale des paquets et \(S\) la limite de \((S_{n_k})\). Pour \(n_{k-1} < n \leq\, n_k\), on a \(|S_n – S_{n_k}| \leq\, |u_{n+1}| + \cdots + |u_{n_k}| \leq\, L \max_{j > n_{k-1}} |u_j|\). Ce majorant tend vers \(0\), donc \(S_n \to S\).

La série \(\sum (-1)^n\) diverge, car son terme ne tend pas vers \(0\). Pourtant, les paquets \((1 – 1) + (1 – 1) + \cdots\) donnent une série nulle. Le regroupement ne permet donc pas de conclure sans hypothèse.

Regrouper n’est pas réordonner. Une série absolument convergente peut être réordonnée sans changer sa somme. En revanche, pour une série semi-convergente, un changement d’ordre peut modifier la somme : c’est le théorème de réarrangement de Riemann, hors programme. La fiche d’exercices le vérifie sur la série harmonique alternée.