Ce QCM vérifie la maîtrise de la théorie des résidus en L3 : séries de Laurent, classification des singularités isolées, indice d’un lacet, théorème des résidus, calcul d’intégrales réelles et théorème de Rouché. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Singularités et théorème des résidus du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Théorème des résidus - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quelle est la nature de la singularité en \(0\) de \(f(z) = \frac{1}{z\sin z}\) ?
AUne singularité essentielle
BUn pôle simple
CUn pôle double
DUne singularité effaçable
Question 2
Quel est le résidu de \(f(z) = \frac{1}{z^2+1}\) en \(i\) ?
A\(\frac12\)
B\(-\frac12\)
C\(\frac{i}{2}\)
D\(-\frac{i}{2}\)
Question 3
Quel est le résidu de \(f(z) = \frac{e^z}{z^2}\) en \(0\) ?
A\(e\)
B\(0\)
C\(\frac12\)
D\(1\)
Question 4
Sur la couronne \(|z| > 1\), quel est le développement de Laurent de \(\frac{1}{z(z-1)}\) ?
A\(\sum_{n\geqslant 1}z^{-n}\)
B\(\sum_{n\geqslant 2}z^{-n}\)
C\(\sum_{n\geqslant 0}z^{n}\)
D\(-\sum_{n\geqslant 0}z^{n-1}\)
Question 5
Que vaut \(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^4}\) ?
A\(\frac{\pi}{2}\)
B\(\pi\sqrt2\)
C\(\frac{\pi}{\sqrt2}\)
D\(\frac{\pi}{4}\)
Question 6
Quel est l’indice par rapport à \(0\) du lacet \(\gamma(t) = e^{2it}\), \(t\in[0,2\pi]\) ?
A\(0\)
B\(2\)
C\(1\)
D\(\frac12\)
Question 7
Que vaut \(\oint_{|z|=2}\frac{dz}{z(z-1)}\), le cercle étant parcouru une fois dans le sens direct ?
A\(0\)
B\(-2i\pi\)
C\(4i\pi\)
D\(2i\pi\)
Question 8
Combien le polynôme \(z^5 + 3z + 1\) a-t-il de zéros dans le disque \(|z| < 1\) ?
A\(1\)
B\(3\)
C\(5\)
D\(0\)
Question 9
Quel est l’énoncé du théorème de Rouché pour \(f, g\) holomorphes au voisinage d’un disque fermé ?
ASi \(|f-g| < |g|\) sur le cercle, \(f\) et \(g\) ont les mêmes zéros dans le disque
BSi \(|f-g| < |g|\) au centre du disque, \(f\) et \(g\) ont autant de zéros dans le disque
CSi \(|f-g| < |g|\) sur le cercle, \(f\) et \(g\) ont autant de zéros dans le disque
DSi \(|f| < |g|\) sur le cercle, \(f\) et \(g\) ont autant de zéros dans le disque
Question 10
Laquelle de ces fonctions n’est pas méromorphe sur \(\mathbb{C}\) ?
A\(z\mapsto\tan z\)
B\(z\mapsto e^{1/z}\)
C\(z\mapsto\frac{z^2+1}{z-3}\)
D\(z\mapsto\frac{1}{\sin z}\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de théorème des résidus en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le développement de Laurent sur une couronne ;
les singularités effaçables, pôles et singularités essentielles ;
le calcul des résidus en un pôle simple ou multiple ;
l’indice d’un lacet et le théorème des résidus ;
le calcul d’intégrales réelles par les résidus ;
le principe de l’argument et le théorème de Rouché.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire que le développement de Laurent d’une fonction est unique « tout court ». Il est unique sur une couronne donnée : \(\frac{1}{z(z-1)}\) a deux développements différents sur \(0 < |z| < 1\) et sur \(|z| > 1\), et le résidu se lit uniquement sur la couronne épointée autour du point.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour un résidu en un pôle d’ordre \(k\), utilisez \(\mathrm{Res}(f,a) = \frac{1}{(k-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}[(z-a)^kf(z)]\), ou plus simplement un développement limité ; pour un pôle simple de \(\frac gh\), la formule \(\frac{g(a)}{h'(a)}\) est la plus rapide. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le développement de Laurent en \(a\) a une infinité de termes d’indice négatif ; de façon équivalente, \(|f(z)|\) n’a pas de limite (finie ou infinie) en \(a\). Exemple : \(e^{1/z}\) en \(0\).
Comment choisir le contour pour une intégrale réelle sur \(\mathbb{R}\) ?
Pour une fraction rationnelle sans pôle réel et de degré relatif au moins \(2\), on ferme par un demi-cercle dans le demi-plan supérieur, dont la contribution tend vers \(0\) ; l’intégrale vaut \(2i\pi\) fois la somme des résidus dans ce demi-plan.
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