Ce QCM vérifie la maîtrise des espaces vectoriels normés en L3 : normes équivalentes, espaces de suites et de fonctions, continuité des applications linéaires et normes subordonnées. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Espaces normés et applications linéaires continues du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Espaces vectoriels normés - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(u : E\to F\) linéaire entre espaces normés. Quelle condition équivaut à la continuité de \(u\) ?
A\(u\) est injective et d’image fermée
BIl existe \(C\geqslant 0\) tel que \(\|u(x)\|\leqslant C\|x\|\) pour tout \(x\in E\)
C\(u\) envoie la boule unité fermée sur une partie compacte
DPour tout \(x\in E\), il existe \(C_x\geqslant 0\) tel que \(\|u(x)\|\leqslant C_x\|x\|\)
Question 2
Quelle est la norme subordonnée à \(\|\cdot\|_\infty\) de \(A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\) ?
A\(4\)
B\(5\)
C\(7\)
D\(3\)
Question 3
Sur \(\mathbb{R}[X]\) muni de \(\|P\| = \sup_{t\in[0,1]}|P(t)|\), que dire de la forme linéaire \(\varphi(P) = P(2)\) ?
AElle n’est pas continue
BElle est continue de norme \(2\)
CElle est continue de norme \(1\)
DElle est continue, comme toute forme linéaire
Question 4
Sur \(C([0,1])\), avec \(\|f\|_1 = \int_0^1|f|\) et \(\|f\|_\infty = \sup|f|\), quelle affirmation est exacte ?
A\(\|f\|_1\leqslant\|f\|_\infty\) et les deux normes sont équivalentes
B\(\|f\|_\infty\leqslant\|f\|_1\) et les deux normes ne sont pas équivalentes
CLes deux normes sont équivalentes car \([0,1]\) est compact
D\(\|f\|_1\leqslant\|f\|_\infty\) et les deux normes ne sont pas équivalentes
Question 5
Quel énoncé est exact ?
ASur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes
BDeux normes sont équivalentes dès que l’une est majorée par un multiple de l’autre
CSur un espace de dimension infinie, deux normes distinctes ne sont jamais équivalentes
DSur \(\ell^1\), les normes \(\|\cdot\|_1\) et \(\|\cdot\|_\infty\) sont équivalentes
Question 6
Sur \(C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), quelle est la norme de la forme linéaire \(\varphi(f) = \int_0^1 t\,f(t)\,dt\) ?
A\(\frac{1}{3}\)
B\(\frac{1}{2}\)
C\(1\)
D\(2\)
Question 7
La suite \(u = \left(\frac{1}{n}\right)_{n\geqslant 1}\) :
Aappartient à \(\ell^1\) et à \(\ell^\infty\)
Bappartient à \(\ell^1\) mais pas à \(\ell^\infty\)
Cappartient à \(\ell^\infty\) mais pas à \(\ell^1\)
Dn’appartient ni à \(\ell^1\) ni à \(\ell^\infty\)
Question 8
Quelle est la norme subordonnée à la norme euclidienne de la matrice symétrique \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\) ?
A\(3\)
B\(2\)
C\(4\)
D\(\sqrt{13}\)
Question 9
Une application bilinéaire \(B : E\times F\to G\) entre espaces normés est continue si et seulement s’il existe \(C\geqslant 0\) tel que, pour tous \(x, y\) :
A\(\|B(x,y)\|\leqslant C\,\|x\|\)
B\(\|B(x,y)\|\leqslant C\,(\|x\|+\|y\|)\)
C\(\|B(x,y)\|\leqslant C\,\max(\|x\|,\|y\|)\)
D\(\|B(x,y)\|\leqslant C\,\|x\|\,\|y\|\)
Question 10
Soit \(u : E\to F\) linéaire entre espaces normés. Quelle hypothèse suffit à garantir que \(u\) est continue ?
A\(F\) est de dimension finie
B\(u\) est injective
C\(E\) est de dimension finie
D\(E\) est complet
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de espaces vectoriels normés en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les normes équivalentes et la façon de prouver qu’elles ne le sont pas ;
les espaces \(\ell^1\), \(\ell^\infty\) et \(C([a,b])\) avec leurs normes usuelles ;
la caractérisation des applications linéaires continues par \(\|u(x)\|\leq\, C\|x\|\) ;
le calcul d’une norme subordonnée, matricielle ou fonctionnelle ;
l’équivalence des normes en dimension finie et ses conséquences ;
les applications bilinéaires continues.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire qu’une application linéaire est automatiquement continue. C’est vrai si l’espace de départ est de dimension finie, mais en dimension infinie, \(P\mapsto P(2)\) sur \(\mathbb{R}[X]\) muni de la norme sup sur \([0,1]\) n’est pas continue.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes, cherchez une suite \((x_n)\) telle que \(\frac{N_1(x_n)}{N_2(x_n)}\to+\infty\) : \(x^n\) dans \(C([0,1])\) et \(X^n\) dans \(\mathbb{R}[X]\) règlent la plupart des exercices. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Comment calculer concrètement une norme subordonnée ?
On majore d’abord \(\|u(x)\|\leq\, C\|x\|\), puis on exhibe un vecteur (ou une suite de vecteurs) pour lequel l’égalité est atteinte ou approchée. La norme vaut alors exactement \(C\).
Pourquoi la dimension finie est-elle si particulière ?
Parce que la sphère unité y est compacte : une norme quelconque, continue pour la norme \(\|\cdot\|_\infty\), y atteint un minimum strictement positif. Cet argument tombe en dimension infinie, où la boule unité n’est jamais compacte (théorème de Riesz).
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