Ce QCM vérifie la maîtrise des variables aléatoires à densité en L2 : fonction de répartition, densité, lois uniforme, exponentielle et normale, espérance et variance, loi de \(g(X)\), couples à densité, loi d’une somme et approximation normale de la binomiale. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Variables aléatoires à densité du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Variables aléatoires à densité - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Pour quelle valeur de \(c\) la fonction \(f\) égale à \(cx\) sur \([0, 2]\) et nulle ailleurs est-elle une densité de probabilité ?
A\(c = 2\)
B\(c = \frac{1}{2}\)
C\(c = 1\)
D\(c = \frac{1}{4}\)
Question 2
\(X\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\). Pour \(s, t \geqslant 0\), que vaut \(P(X > s + t \mid X > s)\) ?
A\(P(X > t) = e^{-\lambda t}\)
B\(P(X > s + t) = e^{-\lambda(s + t)}\)
C\(1 - e^{-\lambda t}\)
D\(e^{-\lambda s}\)
Question 3
\(X\) suit la loi \(\mathcal{N}(3, 4)\) (moyenne \(3\), variance \(4\)) et \(\Phi\) désigne la fonction de répartition de \(\mathcal{N}(0, 1)\). Que vaut \(P(X \leqslant 5)\) ?
A\(\Phi(2)\)
B\(\Phi\left(\frac{1}{2}\right)\)
C\(\Phi(1)\)
D\(\Phi(5)\)
Question 4
Quelle est la variance d’une variable de loi uniforme sur \([0, 6]\) ?
A\(3\)
B\(12\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(9\)
Question 5
\(X\) suit la loi uniforme sur \([0, 1]\). Quelle est une densité de \(Y = X^2\) ?
A\(y \mapsto \sqrt y\) sur \([0, 1]\), nulle ailleurs
B\(y \mapsto 2y\) sur \([0, 1]\), nulle ailleurs
C\(y \mapsto \frac{1}{2\sqrt y}\) sur \(]0, 1]\), nulle ailleurs
D\(y \mapsto 1\) sur \([0, 1]\), nulle ailleurs
Question 6
\(X\) et \(Y\) sont indépendantes, de loi uniforme sur \([0, 1]\). Quelle est la densité \(h\) de \(X + Y\) ?
A\(h(s) = \frac{1}{2}\) sur \([0, 2]\), \(0\) ailleurs
B\(h(s) = 1\) sur \([0, 1]\), \(0\) ailleurs
C\(h(s) = s^2\) sur \([0, 1]\), \(h(s) = (2 - s)^2\) sur \([1, 2]\), \(0\) ailleurs
D\(h(s) = s\) sur \([0, 1]\), \(h(s) = 2 - s\) sur \([1, 2]\), \(0\) ailleurs
Question 7
\(X\) est une variable à densité et \(a\) un réel. Que vaut \(P(X = a)\) ?
A\(f(a)\), où \(f\) est une densité de \(X\)
B\(F(a)\), où \(F\) est la fonction de répartition
C\(1 - F(a)\)
D\(0\)
Question 8
\(X\) a pour densité \(f(x) = 2x\) sur \([0, 1]\), nulle ailleurs. Que vaut \(V(X)\) ?
A\(\frac{1}{12}\)
B\(\frac{1}{18}\)
C\(\frac{1}{6}\)
D\(\frac{1}{2}\)
Question 9
Par quelle loi normale approche-t-on la loi \(\mathcal{B}\left(100, \frac{1}{2}\right)\) ?
A\(\mathcal{N}(0, 1)\)
B\(\mathcal{N}(50, 5)\), de variance \(5\)
C\(\mathcal{N}(50, 50)\), de variance \(50\)
D\(\mathcal{N}(50, 25)\), de variance \(25\)
Question 10
\(X\) suit la loi de Cauchy, de densité \(f(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)}\) sur \(\mathbb{R}\). Admet-elle une espérance ?
ANon, car \(\int_{\mathbb{R}} \frac{|x|}{\pi(1 + x^2)}\,dx\) diverge.
Ce que vérifie ce QCM de variables aléatoires à densité en L2
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la fonction de répartition et la densité d’une variable réelle ;
les lois uniforme, exponentielle (sans mémoire) et normale ;
l’espérance, la variance et le théorème de transfert, justifiés par des intégrales généralisées ;
la loi de \(g(X)\) par la fonction de répartition ;
les couples à densité, les densités marginales et le produit de convolution ;
l’approximation de la binomiale par la loi normale.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : confondre densité et probabilité. Une densité peut dépasser \(1\) (la loi uniforme sur \([0, \frac{1}{2}]\) a pour densité \(2\)), et pour une variable à densité, \(P(X = a) = 0\) pour tout réel \(a\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour la loi de \(Y = g(X)\), passez systématiquement par la fonction de répartition \(F_Y(y) = P(g(X) \leq\, y)\), exprimée à l’aide de \(F_X\), puis dérivez : cette méthode évite les erreurs de jacobien quand \(g\) n’est pas monotone. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Pourquoi parle-t-on de variable « à densité » et non « continue » ?
Une fonction de répartition continue ne suffit pas à garantir l’existence d’une densité. On demande que \(F_X\) soit continue et de classe \(C^1\) sauf en un nombre fini de points ; la densité est alors \(F_X’\) là où elle existe.
Quand l’approximation de \(\mathcal{B}(n, p)\) par une loi normale est-elle raisonnable ?
Quand \(n\) est grand et \(p\) pas trop proche de \(0\) ou de \(1\) ; on cite souvent \(np \geq\, 5\) et \(n(1-p) \geq\, 5\). Elle découle du théorème central limite, et une correction de continuité l’améliore.
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