Ce QCM vérifie la maîtrise des espaces probabilisés et du conditionnement en L2 : axiomes d’une probabilité, univers dénombrable, continuité monotone, probabilités totales, formule de Bayes, indépendance et dénombrement. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Espaces probabilisés et conditionnement du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Espaces probabilisés - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quelle propriété fait partie des axiomes d’une probabilité \(P\) sur \((\Omega, \mathcal{A})\) ?
APour toute suite \((A_n)\) d’événements, \(P\left(\bigcup A_n\right) = \sum P(A_n)\).
BPour tous événements \(A\) et \(B\), \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\).
CPour toute suite \((A_n)\) d’événements deux à deux incompatibles, \(P\left(\bigcup A_n\right) = \max P(A_n)\).
DPour toute suite \((A_n)\) d’événements deux à deux incompatibles, \(P\left(\bigcup A_n\right) = \sum P(A_n)\).
Question 2
Soit \((A_n)\) une suite croissante d’événements (\(A_n \subset A_{n+1}\)). Que vaut \(P\left(\bigcup_{n} A_n\right)\) ?
A\(\sum_{n} P(A_n)\)
B\(\lim_{n \to +\infty} P(A_n)\)
C\(P(A_0)\)
D\(1\), dans tous les cas
Question 3
Une maladie touche \(1\,\%\) d’une population. Un test est positif chez \(99\,\%\) des malades et chez \(2\,\%\) des personnes saines. Quelle est la probabilité qu’une personne testée positive soit malade ?
A\(0{,}99\)
B\(\frac{1}{3}\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(0{,}98\)
Question 4
L’urne \(U_1\) contient \(2\) boules rouges et \(3\) bleues, l’urne \(U_2\) contient \(4\) rouges et \(1\) bleue. On choisit une urne au hasard (équiprobabilité) puis on tire une boule. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
A\(\frac{3}{5}\)
B\(\frac{8}{25}\)
C\(\frac{2}{5}\)
D\(\frac{1}{2}\)
Question 5
On lance deux pièces équilibrées. \(A\) : « la première donne pile », \(B\) : « la seconde donne pile », \(C\) : « les deux résultats sont identiques ». Quelle affirmation est correcte ?
A\(A\), \(B\), \(C\) sont mutuellement indépendants, car ils le sont deux à deux.
B\(A\), \(B\), \(C\) sont deux à deux indépendants mais pas mutuellement indépendants.
C\(A\) et \(C\) ne sont pas indépendants, car \(C\) dépend du premier lancer.
D\(A\) et \(B\) sont incompatibles, donc \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas indépendants.
Question 6
Soit \(A\) et \(B\) deux événements incompatibles avec \(P(A) > 0\) et \(P(B) > 0\). Sont-ils indépendants ?
AOui, car ils n’ont aucune issue commune.
BOui, si \(P(A) + P(B) = 1\).
CNon, car \(P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)\).
DCela dépend de la valeur de \(P(A \cup B)\).
Question 7
Une urne contient \(5\) boules rouges et \(3\) bleues. On tire simultanément \(2\) boules. Quelle est la probabilité que les deux soient rouges ?
A\(\frac{5}{16}\)
B\(\frac{25}{64}\)
C\(\frac{5}{14}\)
D\(\frac{5}{8}\)
Question 8
On lance \(4\) fois un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un six ?
Comment est définie la probabilité conditionnelle \(P(A \mid B)\) ?
A\(\frac{P(A)}{P(B)}\), lorsque \(P(B) > 0\)
B\(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\), lorsque \(P(A) > 0\)
C\(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\), lorsque \(P(B) > 0\)
D\(P(A)P(B)\)
Question 10
Sur \(\Omega = \mathbb{N}^{*}\), on pose \(P(\{n\}) = \frac{1}{2^n}\). Quelle est la probabilité d’obtenir un entier pair ?
A\(\frac{2}{3}\)
B\(\frac{1}{4}\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(\frac{1}{3}\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de espaces probabilisés en L2
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les axiomes d’une probabilité et la \(\sigma\)-additivité ;
la continuité croissante et décroissante ;
la probabilité conditionnelle, la formule des probabilités totales et la formule de Bayes ;
l’indépendance de deux événements et l’indépendance mutuelle de \(n\) événements ;
les tirages avec et sans remise et le dénombrement.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : confondre incompatibles et indépendants. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque \(P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)\).
Comment réviser avant de refaire le test
Avant tout calcul, nommez les événements et écrivez le système complet sur lequel vous conditionnez ; pour Bayes, dressez l’arbre puis divisez la branche voulue par la somme de toutes les branches menant à l’observation. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Pourquoi faut-il une tribu et pas simplement toutes les parties de \(\Omega\) ?
Pour un univers fini ou dénombrable, on peut prendre toutes les parties. Pour un univers comme \([0, 1]\), il est impossible de définir une probabilité « uniforme » sur toutes les parties : on se restreint à une tribu, stable par complémentaire et réunion dénombrable.
L’indépendance deux à deux suffit-elle pour l’indépendance mutuelle ?
Non : l’indépendance mutuelle exige \(P(A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k}) = \prod P(A_{i_j})\) pour toute sous-famille, et l’exemple des deux pièces avec l’événement « même résultat » montre que la condition deux à deux est plus faible.
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