Matrices et changement de base : QCM de maths en L1 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie le passage entre applications linéaires et matrices en L1 : matrice dans des bases, matrice de passage, changement de base, matrices équivalentes et semblables, rang et trace. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Matrice d’une application linéaire et changement de base du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Matrices et changement de base - QCM de maths en L1

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Répondues : 0 / 10

Question 1

Quelle est la matrice dans la base canonique de \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y) \mapsto (2x + 3y, x - y)\) ?

A \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)

B \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)

C \(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)

D \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\)

Question 2

Quelle est la matrice de la dérivation \(P \mapsto P'\) sur \(\mathbb{R}_2[X]\) dans la base \((1, X, X^2)\) ?

A \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}\)

B \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

C \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

D \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Question 3

Soit \(u\) un endomorphisme de matrice \(A\) dans la base \(\mathcal{B}\), et \(P\) la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}'\). Quelle est la matrice \(A'\) de \(u\) dans \(\mathcal{B}'\) ?

A \(A' = P^{-1} A P\)

B \(A' = P^{-1} A\)

C \(A' = P^{T} A P\)

D \(A' = P A P^{-1}\)

Question 4

Quelle est la matrice de passage de la base canonique de \(\mathbb{R}^2\) à la base \(\big((1, 1), (1, -1)\big)\) ?

A \(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)

B \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)

C \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)

D \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)

Question 5

Pour \(A, B, C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), laquelle de ces égalités est toujours vraie ?

A \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)\)

B \(\mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(BAC)\)

C \(\mathrm{tr}(A^{-1}) = \frac{1}{\mathrm{tr}(A)}\) si \(A\) est inversible

D \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\)

Question 6

Les matrices \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(I_2\) sont-elles semblables ?

A Oui, car elles ont même trace et même déterminant

B Non, car elles n’ont pas le même rang

C Non, car toute matrice semblable à \(I_2\) est égale à \(I_2\)

D Oui, car elles ont même rang

Question 7

Pour \(A \in \mathcal{M}_{3,5}(\mathbb{R})\), quelle est la meilleure majoration générale de \(\operatorname{rg} A\) ?

A \(\operatorname{rg} A \leqslant 3\)

B \(\operatorname{rg} A \leqslant 15\)

C \(\operatorname{rg} A \leqslant 2\)

D \(\operatorname{rg} A \leqslant 5\)

Question 8

Quelle est, dans la base canonique, la matrice de la symétrie de \(\mathbb{R}^2\) par rapport à \(\mathrm{Vect}\big((1, 1)\big)\) parallèlement à \(\mathrm{Vect}\big((1, -1)\big)\) ?

A \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)

B \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)

C \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)

D \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)

Question 9

Soit \(p\) un projecteur de \(\mathbb{R}^4\) de rang \(2\). Que vaut \(\mathrm{tr}(p)\) ?

A \(0\)

B \(2\)

C \(1\)

D \(4\)

Question 10

À quelle condition deux matrices \(A, B \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) sont-elles équivalentes ?

A Si et seulement si elles ont le même déterminant

B Si et seulement si elles sont semblables

C Si et seulement si elles ont la même trace

D Si et seulement si elles ont le même rang

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de matrices et changement de base en L1

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

l’écriture de la matrice d’une application linéaire : les colonnes sont les images des vecteurs de base ;
la matrice de passage et la formule \(A’ = P^{-1} A P\) ;
les matrices semblables et leurs invariants (trace, rang, déterminant) ;
le rang d’une matrice et son invariance par transposition ;
l’interprétation matricielle des projecteurs et des symétries.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : ranger les images des vecteurs de base en lignes au lieu de colonnes. On obtient alors la transposée de la bonne matrice, qui représente en général une autre application.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour une matrice de passage, retenez la phrase : « les colonnes de \(P\) sont les coordonnées des nouveaux vecteurs dans l’ancienne base ». Vérifiez ensuite la formule \(X = PX’\) sur un vecteur simple. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Matrice d'une application linéaire et changement de base, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L1

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Bases et dimension, Applications linéaires, Déterminants, Géométrie du plan et de l’espace. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L1 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Deux matrices de même trace, même rang et même déterminant sont-elles semblables ?

Non : \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(I_2\) partagent ces trois invariants, mais la seule matrice semblable à \(I_2\) est \(I_2\) elle-même. Ce sont des conditions nécessaires, pas suffisantes.

Pourquoi peut-on parler de la trace d’un endomorphisme ?

Parce que \(\mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(APP^{-1}) = \mathrm{tr}(A)\) grâce à \(\mathrm{tr}(MN) = \mathrm{tr}(NM)\) : toutes les matrices de l’endomorphisme ont la même trace.

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