Ce QCM vérifie la maîtrise du langage formel de L1 : connecteurs, quantificateurs, négations, types de raisonnement et opérations sur les ensembles. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Logique, raisonnement et ensembles du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Logique et ensembles - QCM de maths en L1
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quelle est la négation de \(\forall x \in E,\ \exists y \in F,\ P(x,y)\) ?
A\(\forall x \in E,\ \exists y \in F,\ \text{non } P(x,y)\)
B\(\exists y \in F,\ \forall x \in E,\ \text{non } P(x,y)\)
C\(\exists x \in E,\ \forall y \in F,\ \text{non } P(x,y)\)
D\(\exists x \in E,\ \exists y \in F,\ \text{non } P(x,y)\)
Question 2
Quelle est la contraposée de l’implication \(P \Rightarrow Q\) ?
A\(\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P\)
B\(P \text{ et non } Q\)
C\(Q \Rightarrow P\)
D\(\text{non } P \Rightarrow \text{non } Q\)
Question 3
Dans quel cas, et seulement dans ce cas, l’implication \(P \Rightarrow Q\) est-elle fausse ?
AQuand \(P\) et \(Q\) sont fausses
BQuand \(P\) est fausse et \(Q\) est vraie
CQuand \(P\) est fausse, quelle que soit \(Q\)
DQuand \(P\) est vraie et \(Q\) est fausse
Question 4
Pour deux parties \(A\) et \(B\) d’un ensemble \(E\), à quoi est égal le complémentaire de \(A \cap B\) dans \(E\) ?
A\(A \cup B\)
B\(\overline{A} \cup \overline{B}\)
C\(\overline{A} \cup B\)
D\(\overline{A} \cap \overline{B}\)
Question 5
Si \(E\) est un ensemble à \(3\) éléments, combien d’éléments possède \(\mathcal{P}(E)\) ?
A\(8\)
B\(9\)
C\(6\)
D\(7\)
Question 6
Avec \(A = \{1, 2\}\) et \(B = \{a, b, c\}\), quel est le cardinal de \(\mathcal{P}(A) \times B\) ?
A\(7\)
B\(64\)
C\(12\)
D\(6\)
Question 7
Pour deux parties \(A\) et \(B\) de \(E\), quelle expression est égale à l’indicatrice \(\mathbf{1}_{A \cap B}\) ?
Quelle phrase est la négation de « \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) est croissante » ?
A\(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2,\ x \leqslant y \Rightarrow f(x) > f(y)\)
B\(\exists (x, y) \in \mathbb{R}^2,\ x \leqslant y \text{ et } f(x) > f(y)\)
C\(\exists (x, y) \in \mathbb{R}^2,\ x \leqslant y \Rightarrow f(x) > f(y)\)
D\(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\)
Question 9
Laquelle de ces assertions est vraie ?
A\(\forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ y > x\)
B\(\exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ y > x\)
C\(\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ y > x\)
D\(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y > x\)
Question 10
On montre par analyse-synthèse que toute \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) s’écrit \(f = g + h\) avec \(g\) paire et \(h\) impaire. Que donne l’analyse pour \(g(x)\) ?
A\(g(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2}\)
B\(g(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{4}\)
C\(g(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2}\)
D\(g(x) = f(x) + f(-x)\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de logique et ensembles en L1
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la négation d’une phrase quantifiée : on échange \(\forall\) et \(\exists\) et on nie la propriété ;
la différence entre contraposée et réciproque d’une implication ;
le rôle de l’ordre des quantificateurs dans \(\forall x\, \exists y\) et \(\exists y\, \forall x\) ;
les lois de De Morgan et le cardinal de \(\mathcal{P}(E)\) ;
les fonctions indicatrices et le raisonnement par analyse-synthèse.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : nier \(x \leq\, y \Rightarrow f(x) \leq\, f(y)\) en \(x \leq\, y \Rightarrow f(x) > f(y)\). La négation d’une implication \(P \Rightarrow Q\) est \(P\) et non \(Q\), jamais une autre implication.
Comment réviser avant de refaire le test
Avant de nier une phrase, réécrivez-la entièrement en symboles, avec les implications cachées rendues explicites ; la négation devient alors une opération mécanique que vous pouvez vérifier ligne à ligne. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Quelle différence entre raisonnement par l’absurde et par contraposition ?
Par contraposition, on démontre directement \(\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P\). Par l’absurde, on suppose \(P\) et \(\text{non } Q\) et on aboutit à une contradiction quelconque ; la contraposition est donc un cas particulier, souvent plus lisible.
Peut-on permuter deux quantificateurs ?
On peut permuter deux quantificateurs de même nature (\(\forall x\, \forall y\) ou \(\exists x\, \exists y\)). Permuter un \(\forall\) et un \(\exists\) change en général le sens : \(\exists y\, \forall x\) est plus fort que \(\forall x\, \exists y\).
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