Convergence dominée : QCM de maths spé corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des théorèmes d’interversion en Maths Spé MP : le théorème de convergence dominée, son extension aux familles à paramètre réel, et le théorème d’intégration terme à terme d’une série de fonctions. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Convergence dominée et intégration terme à terme du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Convergence dominée - QCM de maths spé

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Dans le théorème de convergence dominée, que doit vérifier la fonction \(\varphi\) telle que \(|f_n| \leqslant \varphi\) sur \(I\) ?

A Être intégrable sur \(I\), éventuellement différente pour chaque \(n\)

B Être intégrable sur \(I\) et indépendante de \(n\)

C Être continue sur \(I\) et tendre vers \(0\) aux bornes

D Être bornée sur \(I\) et indépendante de \(n\)

Question 2

Que vaut \(\lim_{n \to +\infty} \int_0^{+\infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{-n} dx\) ?

A \(+\infty\)

B \(0\)

C \(e\)

D \(1\)

Question 3

Que vaut \(\lim_{n \to +\infty} \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx\) ?

A \(1\)

B \(0\)

C \(\frac{\pi}{2}\)

D \(\frac{1}{2}\)

Question 4

On pose \(f_n(x) = n^2 x\,e^{-nx}\) sur \([0,+\infty[\). Que vaut \(\lim \int_0^{+\infty} f_n\), et quelle conclusion en tirer ?

A La limite vaut \(+\infty\) : les \(f_n\) ne sont pas intégrables

B La limite vaut \(0\), par convergence dominée

C La limite vaut \(1\) : aucune domination intégrable indépendante de \(n\) n’existe

D La limite vaut \(1\) : la suite \((f_n)\) ne converge pas simplement

Question 5

Dans le théorème d’intégration terme à terme (\(f_n\) intégrables, \(\sum f_n\) converge simplement vers \(f\) continue par morceaux), quelle est l’hypothèse décisive ?

A La série \(\sum \int_I |f_n|\) converge

B Chaque \(f_n\) est bornée sur \(I\)

C La série \(\sum f_n\) converge uniformément sur \(I\)

D La série \(\sum \int_I f_n\) converge

Question 6

En développant \(\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n \geqslant 1} x e^{-nx}\) pour \(x > 0\), que vaut \(\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x - 1}\,dx\) ?

A \(\frac{\pi^2}{6}\)

B \(\frac{\pi^2}{3}\)

C \(\frac{\pi}{2}\)

D \(\frac{\pi^2}{12}\)

Question 7

Que vaut \(\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}\,dx\), obtenue par intégration terme à terme ?

A \(\frac{\pi^2}{24}\)

B \(\frac{\pi^2}{12}\)

C \(\ln 2\)

D \(\frac{\pi^2}{6}\)

Question 8

Pour \(x > 0\), on pose \(F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2}\,dt\). Que vaut \(\lim_{x \to 0^+} F(x)\) ?

A \(1\)

B \(+\infty\)

C \(\frac{\pi}{2}\)

D \(0\)

Question 9

On veut établir \(\int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{n+1}\). Quelle justification convient ?

A La convergence dominée sur les sommes partielles, majorées en valeur absolue par \(1\)

B L’intégration terme à terme, car \(\sum \int_0^1 x^n\,dx\) converge

C La convergence normale de \(\sum (-1)^n x^n\) sur \([0,1]\)

D Aucune : les deux membres sont différents

Question 10

Dans le théorème de convergence dominée du programme, quelle hypothèse porte sur la limite simple \(f\) des \(f_n\) ?

A \(f\) est bornée sur \(I\)

B \(f\) est continue sur \(I\)

C \(f\) est intégrable sur \(I\)

D \(f\) est continue par morceaux sur \(I\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de convergence dominée en maths spé

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les hypothèses exactes du théorème de convergence dominée ;
le choix d’une fonction dominante intégrable, indépendante de \(n\) ;
l’intégration terme à terme sous la condition \(\sum \int_I |f_n| < +\infty\) ;
le calcul d’une intégrale comme somme de série ;
le recours à la convergence dominée sur les sommes partielles quand \(\sum \int |f_n|\) diverge.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : exhiber une majoration \(|f_n| \leq\, \varphi_n\) où \(\varphi_n\) dépend encore de \(n\). La domination doit être uniforme : une seule fonction \(\varphi\) intégrable pour tous les \(n\).

Comment réviser avant de refaire le test

Pour trouver une fonction dominante, cherchez le maximum en \(n\) de \(|f_n(x)|\) à \(x\) fixé, ou majorez grossièrement (\(n \geq\, 1\) ou \(n \geq\, 2\)), puis vérifiez son intégrabilité aux bornes. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths spé

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Fonctions vectorielles, Intégrales généralisées, Intégrales à paramètre, Espaces probabilisés. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths spé rassemble les 26 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Quand préférer la convergence dominée à l’intégration terme à terme pour une série ?

Quand \(\sum \int_I |f_n|\) diverge, typiquement pour une série alternée : on applique alors la convergence dominée à la suite des sommes partielles, souvent majorées simplement.

Faut-il montrer que la limite simple \(f\) est intégrable ?

Non : l’intégrabilité de \(f\) fait partie de la conclusion du théorème. On demande seulement que \(f\) soit continue par morceaux, puis \(|f| \leq\, \varphi\) donne le reste.