Ce QCM vérifie l’arithmétique dans \(\mathbb{Z}\) : PGCD et algorithme d’Euclide, relation de Bézout, lemme de Gauss, nombres premiers et congruences. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
Que peut-on dire de l’équation \(6x + 10y = 7\), d’inconnues \(x, y \in \mathbb{Z}\) ?
AElle a une infinité de solutions, car \(6\) et \(10\) sont non nuls
BElle a une unique solution
CElle n’a aucune solution
DElle a exactement deux solutions
Question 4
Quelles sont les solutions entières de \(3x + 5y = 1\) ?
A\((2 + 3k, -1 - 5k)\), \(k \in \mathbb{Z}\)
B\((2 + 5k, -1 + 3k)\), \(k \in \mathbb{Z}\)
C\((2 + 5k, -1 - 3k)\), \(k \in \mathbb{Z}\)
D\((2 + 15k, -1 - 9k)\), \(k \in \mathbb{Z}\)
Question 5
Quel énoncé est le lemme de Gauss ?
ASi \(a \mid bc\) et \(a \wedge b = 1\), alors \(a \mid c\)
BSi \(a \mid bc\), alors \(a \mid b\) ou \(a \mid c\)
CSi \(a \mid c\) et \(b \mid c\), alors \(ab \mid c\)
DSi \(a \mid bc\) et \(b \wedge c = 1\), alors \(a \mid c\)
Question 6
Quel est le reste de la division euclidienne de \(2^{100}\) par \(7\) ?
A\(2\)
B\(3\)
C\(4\)
D\(1\)
Question 7
Soit \(a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\) et \(b = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 7\). Que vaut \(a \wedge b\) ?
A\(2 \cdot 3^2\)
B\(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7\)
C\(2^3 \cdot 3^4\)
D\(2^2 \cdot 3^2\)
Question 8
Par combien de zéros se termine l’écriture décimale de \(100!\) ?
A\(97\)
B\(20\)
C\(25\)
D\(24\)
Question 9
Comment qualifier les entiers \(6\), \(10\) et \(15\) ?
APremiers entre eux deux à deux
BPremiers entre eux dans leur ensemble, mais pas deux à deux
CPremiers entre eux deux à deux, mais pas dans leur ensemble
DNon premiers entre eux dans leur ensemble
Question 10
Quelles sont les solutions de la congruence \(3x \equiv 4\ [7]\) ?
A\(x \equiv 5\ [7]\)
B\(x \equiv 3\ [7]\)
C\(x \equiv 4\ [7]\)
D\(x \equiv 6\ [7]\)
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Ce que vérifie ce QCM de arithmétique dans Z en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
l’algorithme d’Euclide et son extension pour un couple de Bézout ;
la résolution des équations diophantiennes \(ax + by = c\) ;
le lemme de Gauss et la notion d’entiers premiers entre eux ;
la décomposition en facteurs premiers et les valuations \(p\)-adiques ;
les congruences, l’inverse modulo \(n\) et le petit théorème de Fermat.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : conclure \(a \mid c\) à partir de \(a \mid bc\) sans vérifier que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux. Par exemple \(6 \mid 4 \times 3\) sans que \(6\) divise \(4\) ni \(3\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour une équation \(ax + by = c\), suivez toujours le même plan : calcul de \(d = a \wedge b\), test \(d \mid c\), solution particulière par Euclide étendu, puis solution générale par le lemme de Gauss. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Non : si \(au + bv = 1\), alors \(a(u + kb) + b(v – ka) = 1\) pour tout entier \(k\). Il existe une infinité de couples, et l’algorithme d’Euclide étendu en fournit un.
Quand utiliser le petit théorème de Fermat ?
Pour réduire de grandes puissances modulo un nombre premier \(p\) : si \(p \nmid a\), alors \(a^{p-1} \equiv 1\ [p]\), et l’on réduit l’exposant modulo \(p – 1\).
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