Développements limités : exercices de maths en L1 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Relations de comparaison

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. \(x^2 = o(x^3)\) quand \(x \to +\infty\).
2. \(x^2 = o(x^3)\) quand \(x \to 0\).
3. \(x \sin x = O(x)\) quand \(x \to +\infty\).
4. \((\ln x)^{10} = o(\sqrt{x})\) quand \(x \to +\infty\).
5. Si \(f \sim g\) en \(+\infty\), alors \(e^{f} \sim e^{g}\) en \(+\infty\).
6. \(n^2 + (-1)^n n \sim n^2\) quand \(n \to +\infty\).
7. \(n! = o(n^n)\) quand \(n \to +\infty\).

Exercice 2 : Équivalents et limites

À l’aide des équivalents usuels, déterminer un équivalent simple puis la limite demandée.

1. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)\ln(1+2x)}{x \tan x}\).
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos(2x)}{x \arctan x}\).
3. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{1/3} – 1}{\sin x}\).
4. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} – 1)\).
5. Un équivalent simple de \(u_n = \sqrt{n+1} – \sqrt{n}\) quand \(n \to +\infty\).

Exercice 3 : Développements limités usuels

Écrire le développement limité en \(0\) à l’ordre indiqué, en partant des développements usuels.

1. \(e^{-x}\) à l’ordre \(4\).
2. \(\sqrt{1+x}\) à l’ordre \(3\).
3. \(\dfrac{1}{1+2x}\) à l’ordre \(3\).
4. \(\ln(1-x)\) à l’ordre \(4\).
5. \(\operatorname{ch} x\) à l’ordre \(5\).
6. \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\) à l’ordre \(2\).

Exercice 4 : Développement limité en un point autre que 0

On pose \(h = x – a\) et on développe en \(h = 0\).

1. Développement limité de \(\ln x\) en \(a = 1\) à l’ordre \(3\).
2. Développement limité de \(\sqrt{x}\) en \(a = 4\) à l’ordre \(2\).
3. Développement limité de \(e^x\) en \(a = 1\) à l’ordre \(3\).
4. Développement limité de \(\sin x\) en \(a = \dfrac{\pi}{6}\) à l’ordre \(2\).
5. En déduire l’équation de la tangente à la courbe de \(\sqrt{x}\) au point d’abscisse \(4\), et la position locale de la courbe par rapport à cette tangente.

Exercice 5 : Inégalité de Taylor-Lagrange et sinus

La figure ci-dessous représente la fonction sinus et le polynôme \(x – \dfrac{x^3}{6}\). La bande colorée correspond à \(|x| \leq\, \dfrac{1}{2}\).

1. Montrer que, pour tout réel \(x\), \(|\sin x – x + \dfrac{x^3}{6}| \leq\, \dfrac{|x|^5}{120}\).
2. En déduire une valeur approchée de \(\sin(0{,}1)\) et majorer l’erreur commise.
3. Majorer l’erreur commise en remplaçant \(\sin x\) par \(x – \dfrac{x^3}{6}\) lorsque \(|x| \leq\, \dfrac{1}{2}\).

Exercice 6 : Limites par développements limités

Calculer les limites suivantes en \(0\).

1. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x – \sin x}{x^3}\).
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2}\).
3. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} – \frac{1}{e^x – 1})\).
4. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}\).

Exercice 7 : Taylor avec reste intégral et logarithme

On considère \(f : x \mapsto \ln(1+x)\) sur \([0, +\infty[\).

1. Écrire la formule de Taylor avec reste intégral de \(f\) en \(0\) à l’ordre \(2\).
2. En déduire que, pour tout \(x \geq\, 0\) : \(x – \dfrac{x^2}{2} \leq\, \ln(1+x) \leq\, x – \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3}\).
3. En déduire un encadrement de \(\ln(1{,}1)\) d’amplitude inférieure à \(4 \times 10^{-4}\).
4. Montrer que \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^2(\ln(1 + \frac{1}{n}) – \frac{1}{n}) = -\frac{1}{2}\).

Exercice 8 : Unicité, parité et contre-exemple

1. Soit \(f\) une fonction impaire définie sur \(\mathbb{R}\), admettant un développement limité à l’ordre \(n\) en \(0\). Démontrer, à l’aide de l’unicité, que la partie régulière ne contient que des puissances impaires. Que vaut \(f(0)\) ?
2. On définit \(g\) par \(g(x) = x^3 \sin(\dfrac{1}{x})\) pour \(x \neq 0\) et \(g(0) = 0\).
   1. Montrer que \(g\) admet un développement limité à l’ordre \(2\) en \(0\), et le préciser.
   2. Montrer que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(g^{\prime}\).
   3. Montrer que \(g^{\prime}\) n’est pas dérivable en \(0\). Quelle conclusion en tirer ?

Exercice 9 : Produit de développements limités

Calculer les développements limités suivants en \(0\), en choisissant au plus juste l’ordre de chaque facteur.

1. \(e^x \cos x\) à l’ordre \(4\).
2. \(\sqrt{1+x}\,\ln(1+x)\) à l’ordre \(3\).
3. \(\sin x \operatorname{sh} x\) à l’ordre \(6\).

Exercice 10 : Composition de développements limités

1. Développement limité de \(\ln(\cos x)\) en \(0\) à l’ordre \(4\).
2. Développement limité de \(e^{\sin x}\) en \(0\) à l’ordre \(3\).
3. Développement limité de \(\ln(1 + e^x)\) en \(0\) à l’ordre \(3\). On prendra garde au fait que \(e^x\) ne tend pas vers \(0\).

Exercice 11 : Développements limités d’un quotient

1. Montrer que \(\dfrac{x}{e^x – 1} = 1 – \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{12} + o(x^3)\) quand \(x \to 0\).
2. Calculer le développement limité de \(\dfrac{1}{1 + \sin x}\) en \(0\) à l’ordre \(4\).
3. En déduire la limite en \(0\) de \(\dfrac{1}{x^2}(\dfrac{1}{1+\sin x} – 1 + x)\).

Exercice 12 : Intégration d’un développement limité

1. Écrire le développement limité de \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) en \(0\) à l’ordre \(4\). En déduire celui de \(\arcsin x\) à l’ordre \(5\).
2. Soit \(s(x) = \ln(x + \sqrt{1+x^2})\) pour \(x \in \mathbb{R}\). Justifier que \(s\) est bien définie, puis calculer \(s^{\prime}(x)\).
3. En déduire le développement limité de \(s\) en \(0\) à l’ordre \(5\).
4. Calculer \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x – s(x)}{x^3}\).

Exercice 13 : Fonction définie par une intégrale

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle \int_x^{2x} e^{-t^2}\,dt\).

1. On note \(G(x) = \displaystyle \int_0^x e^{-t^2}\,dt\). Justifier que \(G\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et que \(F(x) = G(2x) – G(x)\).
2. Déterminer le développement limité de \(G\) en \(0\) à l’ordre \(5\).
3. En déduire le développement limité de \(F\) en \(0\) à l’ordre \(5\).
4. Donner l’équation de la tangente à la courbe de \(F\) en \(0\) et préciser la position de la courbe.

Exercice 14 : Limites plus délicates

1. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x – \sin x}{x^3}\).
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin^2 x} – \frac{1}{x^2})\).
3. \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2(e^{1/x} – e^{1/(x+1)})\).
4. \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^2((1 + \frac{1}{n})^n – e + \frac{e}{2n})\).

Exercice 15 : Tangente et position de la courbe

Soit \(f(x) = \ln(1 + x + x^2)\). Sa courbe est tracée ci-dessous.

1. Justifier que \(f\) est définie et de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Déterminer le développement limité de \(f\) en \(0\) à l’ordre \(3\).
3. En déduire l’équation de la tangente en \(0\) et la position de la courbe par rapport à elle au voisinage de \(0\).
4. En écrivant \(1 + x + x^2 = \dfrac{3}{4} + (x + \dfrac{1}{2})^2\), étudier la courbe au voisinage du point d’abscisse \(-\dfrac{1}{2}\). Quelle est la nature de ce point ?

Exercice 16 : Extremum local et point d’inflexion

1. Soit \(f(x) = \cos x + \dfrac{x^2}{2} – 1\). Montrer que \(f\) admet en \(0\) un minimum local strict.
2. Soit \(g(x) = \sin x – x + \dfrac{x^3}{6}\). Vérifier que \(g^{\prime}(0) = 0\). La fonction \(g\) admet-elle un extremum local en \(0\) ?
3. Pour \(a \in \mathbb{R}\), on pose \(\varphi_a(x) = \ln(1+x) – x + a x^2\) sur \(]-1, +\infty[\). Discuter, selon \(a\), la nature du point de la courbe d’abscisse \(0\) : extremum local ou point d’inflexion.

Exercice 17 : Asymptotes d’une racine carrée

Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}\), définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Justifier que \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\).
2. Établir un développement asymptotique de \(f\) en \(+\infty\) de la forme \(\alpha x + \beta + \dfrac{\gamma}{x} + o(\dfrac{1}{x})\).
3. En déduire une asymptote en \(+\infty\) et la position de la courbe par rapport à elle.
4. Reprendre l’étude en \(-\infty\).

Exercice 18 : Asymptote oblique et logarithme

Soit \(f(x) = x^2 \ln(1 + \dfrac{1}{x})\).

1. Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(f\).
2. Déterminer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(-1^-\).
3. Établir un développement asymptotique de \(f\) en \(\pm\infty\) jusqu’au terme en \(\dfrac{1}{x}\).
4. En déduire l’asymptote de la courbe en \(+\infty\) et en \(-\infty\), et la position de la courbe par rapport à elle.

Exercice 19 : Le nombre e est irrationnel

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\).

1. À l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à \(\exp\) entre \(0\) et \(1\), montrer que \(e – S_n = \displaystyle \int_0^1 \frac{(1-t)^n}{n!} e^t\,dt\).
2. En déduire que \(0 < e – S_n < \dfrac{e}{(n+1)!}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. En appliquant cet encadrement pour \(n = 2\), montrer que \(e < 3\). Que vaut la limite de \(S_n\) ?
4. On suppose que \(e = \dfrac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers naturels non nuls. Soit \(n \geq\, \max(q, 2)\). Montrer que \(N = n!\,(e – S_n)\) est un entier vérifiant \(0 < N < 1\). Conclure.

Exercice 20 : Développement asymptotique d’une suite implicite

Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), on considère l’équation \(x + \ln x = n\), d’inconnue \(x > 0\). La figure ci-dessous montre la courbe de \(x \mapsto x + \ln x\) et les droites \(y = n\) pour \(n = 1, 2, 3, 4\).

1. Montrer que l’équation admet une unique solution, notée \(x_n\).
2. Montrer que la suite \((x_n)\) est croissante et tend vers \(+\infty\).
3. Montrer que \(x_n \sim n\).
4. Montrer que \(x_n = n – \ln n + o(1)\).
5. Montrer que \(x_n = n – \ln n + \dfrac{\ln n}{n} + o(\dfrac{\ln n}{n})\).

Exercice 21 : Problème, étude complète de (1+x)^(1/x)

On définit \(f(x) = (1+x)^{1/x} = \exp(\dfrac{\ln(1+x)}{x})\) sur \(D = ]-1, 0[ \cup ]0, +\infty[\).

Partie A : comportement aux bornes.

1. Déterminer les limites de \(f\) en \(-1^+\) et en \(+\infty\).
2. Montrer que \(f(x) – 1 \sim \dfrac{\ln x}{x}\) quand \(x \to +\infty\). En déduire la position de la courbe par rapport à son asymptote en \(+\infty\).

Partie B : étude en 0.

1. Déterminer le développement limité de \(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\) en \(0\) à l’ordre \(2\).
2. En déduire que \(f(x) = e – \dfrac{e}{2}x + \dfrac{11e}{24}x^2 + o(x^2)\).
3. Montrer que \(f\) se prolonge par continuité en \(0\), que ce prolongement est dérivable en \(0\), et donner la tangente en \(0\) avec la position de la courbe.

Partie C : variations.

1. Montrer que, pour \(x \in D\), \(f^{\prime}(x) = f(x)\,\dfrac{\varphi(x)}{x^2(1+x)}\) avec \(\varphi(x) = x – (1+x)\ln(1+x)\).
2. Étudier les variations de \(\varphi\) sur \(]-1, +\infty[\) et en déduire son signe.
3. En déduire les variations de \(f\) sur \(D\).
4. À l’aide d’un développement limité de \(\varphi\), montrer que \(f^{\prime}(x) \to -\dfrac{e}{2}\) quand \(x \to 0\). Que peut-on en conclure pour le prolongement de \(f\) ?

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

• Le cours : développements limités, cours de maths en L1
• À maîtriser avant : Dérivation et accroissements finis, Intégrale de Riemann et calcul de primitives
• Chapitre précédent : Équations différentielles linéaires
• Chapitre suivant : Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
• Le même thème en maths sup : développements limités, exercices de maths sup
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3