Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Affirmation 1. Prendre 50 %, c’est prendre la moitié : \(10\,350 : 2 = 5\,175\). On est loin de 10 300. L’affirmation 1 est fausse.
Affirmation 2. 42 et 18 sont tous deux divisibles par 6 : \[\dfrac{42}{18} = \dfrac{6 \times 7}{6 \times 3} = \dfrac{7}{3}.\] Comme 7 et 3 sont premiers entre eux (leur seul diviseur commun est 1), la fraction \(\dfrac{7}{3}\) ne peut plus être simplifiée. L’affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3. On remplace \(x\) par 3 dans chaque membre : à gauche \(2 \times 3 – 4 = 2\), à droite \(-3 + 5 = 2\). Les deux membres sont égaux, donc 3 est solution. (En résolvant : \(2x + x = 5 + 4\), soit \(3x = 9\) et \(x = 3\), c’est même la seule solution.) L’affirmation 3 est vraie.
Affirmation 4. Attention, la formule utilise le rayon : \(R = 21{,}6 : 2 = 10{,}8\) cm. \[V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 10{,}8^3 \approx 5\,276{,}7\ \text{cm}^3.\] À l’unité près, le volume vaut \(5\,277\ \text{cm}^3\), et non 42 213 cm³ (ce nombre correspond à peu près à ce qu’on obtient en utilisant par erreur le diamètre à la place du rayon). L’affirmation 4 est fausse.
Affirmation 5. Dans le triangle DBN rectangle en B, pour l’angle \(\widehat{\text{DNB}}\), le côté [DB] est le côté opposé et [BN] le côté adjacent. On utilise la tangente : \[\tan \widehat{\text{DNB}} = \dfrac{\text{DB}}{\text{BN}} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}.\] La calculatrice donne \(\widehat{\text{DNB}} = \arctan(\dfrac{1}{3}) \approx 18{,}4^{\circ}\), soit 18° à l’unité près. L’affirmation 5 est vraie.
Affirmation 6. Le dernier chiffre est imposé (6). Pour le premier chiffre il y a 3 possibilités (1, 2 ou 3) et, comme un chiffre peut se répéter, 3 possibilités aussi pour le deuxième. Cela donne \(3 \times 3 = 9\) codes : 116, 126, 136, 216, 226, 236, 316, 326 et 336. L’affirmation 6 est fausse (il y a 9 codes et non 6).
Exercice 2 :
1. La moyenne est la somme des neuf relevés divisée par 9 : \[\dfrac{147 + 199 + 40 + 67 + 47 + 54 + 104 + 45 + 63}{9} = \dfrac{766}{9} \approx 85{,}1.\] La moyenne des précipitations est d’environ 85 mm.
2. L’étendue est l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur : \(199 – 40 = 159\). L’étendue est de 159 mm.
3. On range les 9 valeurs dans l’ordre croissant : 40 ; 45 ; 47 ; 54 ; 63 ; 67 ; 104 ; 147 ; 199. Avec 9 valeurs, la médiane est la 5e, qui laisse 4 valeurs avant elle et 4 après. La médiane est 63 mm.
4. Les mois dépassant 100 mm sont avril (147), mai (199) et octobre (104) : 3 mois sur 9. \[\dfrac{3}{9} \times 100 = \dfrac{100}{3} \approx 33{,}3.\] Environ 33 % des mois ont eu plus de 100 mm de pluie.
Exercice 3 :
1. Le triangle BAI est rectangle en A, son hypoténuse est [BI]. D’après le théorème de Pythagore : \[\text{BI}^2 = \text{BA}^2 + \text{AI}^2 = 210^2 + 155^2 = 44\,100 + 24\,025 = 68\,125.\] Donc \(\text{BI} = \sqrt{68\,125} \approx 261{,}008\). BI mesure environ 261 cm.
2. Une vitre de 210 cm sur 155 cm se partage, par une diagonale, en deux triangles rectangles identiques au triangle BAI : chaque diagonale mesure donc environ 261 cm. Pour les deux diagonales, il faut \(2 \times 261 = 522\) cm, soit environ 5,22 m d’adhésif par vitre.
3. Pour les 15 vitres, il faut \(15 \times 5{,}22 = 78{,}3\) m d’adhésif. Or Joanne dispose de \(7 \times 10 = 70\) m. Comme \(78{,}3 \gt 70\), elle n’a pas assez d’adhésif : il lui manque environ 8,3 m, donc un rouleau supplémentaire.
Exercice 4 :
1. a. 330 se termine par 0, il est donc divisible par 2 (et par 10) : \(330 = 2 \times 165\). Il possède d’autres diviseurs que 1 et lui-même, 330 n’est donc pas premier.
b. On divise successivement par les nombres premiers : \(330 = 2 \times 165\), \(165 = 3 \times 55\), \(55 = 5 \times 11\), et 11 est premier. \(330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11\).
c. \(330 : 165 = 2\), résultat entier : \(330 = 2 \times 165\). 165 divise 330.
d. \(165 = 3 \times 5 \times 11\). Si 165 divisait 500, les nombres premiers 3 et 11 figureraient dans la décomposition de 500. Or \(500 = 2^2 \times 5^3\) ne contient que les facteurs 2 et 5. On peut aussi le voir directement : \(500 = 3 \times 165 + 5\), le reste n’est pas nul. 165 ne divise pas 500.
2. Les 330 biscuits aux noix se partagent exactement entre les 165 boîtes, puisque \(330 = 165 \times 2\). Chaque boîte contient 2 biscuits aux noix.
3. a. On effectue la division euclidienne de 500 par 165 : \(500 = 165 \times 3 + 5\), avec \(5 \lt 165\). Chaque boîte contient 3 biscuits au chocolat.
b. Le reste de cette division est 5. Il reste 5 biscuits au chocolat.
4. Sans réduction, 12 boîtes coûtent \(12 \times 3\,650 = 43\,800\) francs. Comme on achète au moins 10 boîtes, on a droit à 5 % de réduction : \(43\,800 \times \dfrac{5}{100} = 2\,190\) francs. Le montant à payer est donc \(43\,800 – 2\,190 = 41\,610\) francs (ce qui revient à calculer \(43\,800 \times 0{,}95\)). On paie 41 610 francs pour 12 boîtes.
Exercice 5 :
1. La famille banane compte \(5 + 3 + 3 + 2 + 1 = 14\) cartes. Les quatre familles ayant la même répartition, le jeu compte \(4 \times 14 = 56\) cartes. Le jeu a bien 56 cartes.
2. Les cartes sont tirées au hasard avec la même chance : la probabilité est le nombre de cartes prune divisé par le nombre total de cartes. \[p(P) = \dfrac{14}{56} = \dfrac{1}{4}.\] La probabilité de \(P\) est \(\dfrac{1}{4}\), soit 0,25.
3. a. L’évènement contraire de \(P\), noté \(\overline{P}\), est « Jack n’obtient pas une carte de la famille prune », c’est-à-dire « Jack obtient une carte banane, citron ou fraise ».
b. La somme des probabilités d’un évènement et de son contraire vaut 1 : \[p(\overline{P}) = 1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.\] La probabilité de l’évènement contraire est \(\dfrac{3}{4}\), soit 0,75.
4. Dans chaque famille, 2 cartes portent quatre fruits : cela fait \(4 \times 2 = 8\) cartes sur 56. \[\dfrac{8}{56} = \dfrac{1}{7}.\] La probabilité d’obtenir une carte avec quatre fruits est \(\dfrac{1}{7}\).
Exercice 6 :
Partie 1
1. La courbe est une portion de droite qui passe par l’origine du repère : la distance de réaction est une fonction linéaire de la vitesse. Oui, il s’agit d’une situation de proportionnalité.
2. Par lecture graphique : pour une vitesse de 0 km/h, la distance de réaction est 0 m (la droite passe par l’origine) ; la distance de 15 m est atteinte pour 54 km/h ; pour 90 km/h, on lit 25 m. Le tableau complété est :
| Vitesse (km/h) | 0 | 54 | 90 |
|---|---|---|---|
| Distance de réaction (m) | 0 | 15 | 25 |
On peut vérifier la cohérence par proportionnalité : \(\dfrac{15}{54} = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}\).
Partie 2
1. La formule \(d = \dfrac{v^2}{203{,}2}\) demande de multiplier la vitesse par elle-même puis de diviser par 203,2 ; la vitesse se trouve dans la cellule B1. Il faut saisir = B1*B1/203.2 (la première formule calcule \(2v\) au lieu de \(v^2\), la troisième ajoute B1 au lieu de multiplier).
2. Avec \(v = 90\) : \[d = \dfrac{90^2}{203{,}2} = \dfrac{8\,100}{203{,}2} \approx 39{,}9.\] La distance de freinage à 90 km/h est bien d’environ 40 m.
Partie 3
À 90 km/h, la distance de réaction est de 25 m (partie 1) et la distance de freinage d’environ 39,9 m (partie 2). La distance d’arrêt vaut donc \(25 + 39{,}9 \approx 64{,}9\) m. Un véhicule roulant à 90 km/h s’arrête sur environ 65 m.
Exercice 7 :
On doit peindre l’intérieur de la piscine, soit cinq rectangles : le fond et les quatre parois.
- le fond : \(8 \times 4 = 32\ \text{m}^2\) ;
- les deux grandes parois : \(2 \times 8 \times 1{,}70 = 27{,}2\ \text{m}^2\) ;
- les deux petites parois : \(2 \times 4 \times 1{,}70 = 13{,}6\ \text{m}^2\).
La surface à peindre est donc \(32 + 27{,}2 + 13{,}6 = 72{,}8\ \text{m}^2\). Avec deux couches, cela revient à couvrir \(2 \times 72{,}8 = 145{,}6\ \text{m}^2\).
Un pot couvre 35 m² : \(\dfrac{145{,}6}{35} = 4{,}16\). Quatre pots ne couvrent que \(4 \times 35 = 140\ \text{m}^2\), ce qui est insuffisant ; il faut donc acheter 5 pots. Le budget est \(5 \times 12\,000 = 60\,000\) F. Il faut prévoir 60 000 F pour la peinture.
Exercice 8 :
1. Les points H, A et O sont alignés dans cet ordre, donc \(\text{OH} = \text{HA} + \text{AO} = 260 + 151 = 411\) m. OH = 411 m.
2. Les points O, A, H d’une part et O, B, P d’autre part sont alignés, et les droites (AB) et (HP) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OHP : \[\dfrac{\text{OA}}{\text{OH}} = \dfrac{\text{OB}}{\text{OP}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{HP}}.\] Avec les données : \(\dfrac{151}{411} = \dfrac{\text{AB}}{56}\), d’où \[\text{AB} = \dfrac{56 \times 151}{411} = \dfrac{8\,456}{411} \approx 20{,}57.\] La balise mesure environ 20,6 m.
3. L’angle plat mesure 180°, et il est partagé en l’angle \(\widehat{a}\) et l’angle de 72°. Donc \(\widehat{a} = 180^{\circ} – 72^{\circ} = 108^{\circ}\). L’angle \(\widehat{a}\) mesure 108°. C’est l’angle dont le lutin doit tourner pour former, entre deux segments, un angle de 72° : c’est pourquoi 108 apparaît dans le script 1.
4. On suit le motif de A vers B : 38 pas, puis un angle droit (on tourne de 90° vers la droite), 28 pas, l’angle de 72° (on tourne de 108° vers la gauche), à nouveau 28 pas, un angle droit (90° vers la droite) et enfin 38 pas jusqu’à B. Le script 1 complété est :
définir motif avancer de 38 pas tourner ↻ de 90 degrés avancer de 28 pas tourner ↺ de 108 degrés avancer de 28 pas tourner ↻ de 90 degrés avancer de 38 pas
5. En B, le motif suivant commence en formant un angle de 36° avec le dernier segment : comme à la question 3, le lutin doit tourner de \(180^{\circ} – 36^{\circ} = 144^{\circ}\) vers la gauche.
Pour le nombre de répétitions, on fait le bilan des rotations d’un motif, en comptant positivement vers la gauche : \(-90 + 108 – 90 + 144 = 72\) degrés. Pour que le contour se referme, le lutin doit avoir fait un tour complet, soit 360°, et \(360 : 72 = 5\). Le motif doit donc être répété 5 fois. Le script final complété est :
Quand le drapeau vert est cliqué
effacer tout
stylo en position d'écriture
répéter 5 fois
motif
tourner ↺ de 144 degrés
Il faut répéter 5 fois et tourner de 144 degrés. On a vérifié en simulant le tracé que le lutin revient exactement à son point de départ, dans sa direction initiale, au bout de 5 motifs. Avec 6 répétitions, le sixième motif repasserait sur le premier : le dessin serait le même, mais une répétition serait inutile. Le contour dessiné dans l’énoncé n’est qu’une illustration et ne correspond pas exactement aux mesures du motif.
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