Nombres relatifs et repérage : cours de maths en 5ème en PDF.

Nombres relatifs : cours de maths en 5ème

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Symétrie centrale et centre de symétrie : cours de maths en 5ème en PDF.

Symétrie centrale : cours de maths en 5ème

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Priorités opératoires : cours de maths en 5ème en PDF.

Priorités opératoires : cours de maths en 5ème

Priorités opératoires avec un cours de maths en 5ème sur les quatre opérations et les règles de priorité. Cette fiche de leçon fait également intervenir les calculs contenant des parenthèses ainsi que des parenthèses emboîtées puis les priorités de la multiplication et division par rapport à l’addition et la soustraction en cinquième. I. Vocabulaire : … Lire la suite

Les statistiques : cours de maths en 5ème en PDF.

Statistiques : cours de maths en 5ème
Les statistiques et les représentations graphiques (diagramme circulaire, en bâtons ) ainsi que le calcul de fréquence, de la moyenne et de la médiane. Ce cours de maths en 5ème est destiné aux élèves de cinquième.

I.Série statistique

1.Vocabulaire

Définitions :

L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série statistique.L’effectif total est égal au nombre de donnée de la série.

Exemple 1 :
La classe d’Alexandre est composée de 22 élèves. Il interroge ses camarades pour savoir à combien d’écrans ( télévisions, tablette, téléphone, ordinateur,..) ils peuvent facilement accéder à leur domicile.Voici leurs réponses :

3-5-1-4-2-3-3-2-4-4-5-1-3-3-2-5-4-4-3-2-2-3

La population étudiée est composée des élèves de la classe.

Les individus sont les élèves de la classe.

Le caractère étudié est le nombre d’écrans accessibles.

Le caractère prend différentes valeurs dans cette série : 1,2,3,4 ou 5.

Dans cette série, le caractère est dit quantitatif car on peut le mesurer à l’aide de nombres.

On peut regrouper l’ensemble des données dans un tableau d’effectifs.

tableau d'effectifs de séries statistiques.

Pour déterminer l’effectif de la valeur 2, on compte le nombre de fois où 2 apparaît dans la série : il apparaît 5 fois.

Remarque :

On peut vérifier que lorsque l’on rajoute tous les effectifs, on retrouve l’effectif total :2+5+7+5+3=22.

Exemple 2 :

Dans un club de judo, les 32 judokas se répartissent de la façon suivante :

tableau d'effectifs 2

La population étudiée est composée de 32 judokas.

Le caractère étudié est la catégorie.

Le caractère est qualitatif (poussins, benjamins,…) car on ne peut pas le mesurer avec des nombres.

2.Fréquence de séries statistiques

Définition :

La fréquence d’une valeur est le quotient \frac{effectif\,de\,la\,valeur}{effectif\,total}.

Elle peut être exprimée sous forme décimale (exacte ou approchée) ou fractionnaire.

Dans le cas de pourcentage, on parle de fréquence en pourcentage.

Exemple 1 :

Dans le cas d’Alexandre, 7 élèves sur 22 ont répondu 3.

La fréquence de la valeur 3 est donc \frac{7}{22}\approx,31,8 %.

Exemple 2 :

Dans le cas du tatami.

tatami

Parmi les 32 judokas du club, 32 sont poussins.

La fréquence des poussins est donc \frac{10}{32}=0,21875 soit 21,875 %.

Remarque :

La somme des fréquence donc 100, c’est-à-dire 100 % pour les séries statistiques.

II.Les indicateurs (caractère quantitatifs)

1.La moyenne

Définition :

La moyenne d’une série statistique est la moyenne des valeurs de la série rapportée au nombre d’individus, c’est-à-dire la somme des valeurs rapportées à l’effectif total.

Propriété :

Pour calculer la moyenne M d’une série :

\star\, on additionne toutes les valeurs du caractère de la série;

\star\, on divise la somme obtenue par l’effectif total.

Si x_1,x_2,x_3,...x_N représentent les valeurs du caractère de la série , on a alors :

M=\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_N}{N} avec N qui est la valeur de l’effectif total.

Exemple 1 :

Dans la classe d’Alexandre, le nombre moyen d’écrans par élèves est de 3, puisque :

M=\frac{3+5+1+4+2+2+.....+3+2+2+3}{22}=\frac{68}{22}\approx,3,1.

2.La médiane

Définitions :

On appelle médiane m d’une série statistiques dont les valeurs sont ordonnées dans l’ordre croissant, tout nombre qui partage cette série en deux sous-séries de même effectif.

Exemple :

Dans la classe d’Alexandre, on commence par ranger les valeurs du caractère par ordre croissant.

1-1-2-2-2-2-2-3-3-3-3-3-3-3-4-4-4-4-4-5-5-5

On les sépare en deux groupes de 11 données.

1-1-2-2-2-2-2-3-3-3-33-3-3-4-4-4-4-4-5-5-5

La valeur 3 sépare cette série en deux sous-séries de même effectif donc 3 est la médiane de cette série.

III.Les représentations graphiques

1.Le diagramme en bâtons

Définition :

Un diagramme en bâtons est un graphique qui à chaque valeur, associe un bâton (segment)

de hauteur proportionnelle à l’effectif correspondant.

Diagramme en bâtons

2.Le diagramme circulaire

Définition :

Un diagramme circulaire est un graphique sous forme de disque qui, à chaque valeur, associe un secteur dont l’angle au centre est proportionnel à l’effectif correspondant.

Remarque :

On parle de diagramme semi-circulaire lorsqu’il est formé d’un demi-disque.

Diagramme circulaire

Remarques :

\cdot Dans un diagramme circulaire, la somme des angles des secteurs est de 360°.

\cdot Dans un diagramme semi-circulaire, la somme des angles des secteurs est égale à 180°.

Proportionnalité : cours de maths en 5ème en PDF.

Proportionnalité : cours de maths en 5ème
La proportionnalité dans un cours de maths en 5ème où nous étudierons les grandeurs proportionnelles ainsi que des tableaux de proportionnalité ainsi que les différentes propriétés et la détermination du coefficient de proportionnalité. la règle du produit en croix et la calcul de la quatrième proportionnelle. Nous terminerons cette leçon en cinquième avec le calcul de pourcentages et d’échelle.

I. Situation de proportionnalité

1.Grandeurs proportionnelles

Définition :
On dit que deux grandeurs sont proportionnelles quand les valeurs prises par l’une s’obtiennent en multipliant celles prises par l’autre par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.

Exemples :

\star\, La longueur du côté et le périmètre d’un carré sont proportionnels car le périmètre d’un carré s’obtient en multipliant la longueur d’un côté par 4.

\star\, Voici la distance parcourue par un ballon en chute libre.

En 1 seconde, il parcourt 5 m et en 2 secondes, il parcourt 20 m.Pour passer de la durée de chute à la distance parcourue, on ne multiplie pas par un même nombre, donc la durée de chute et la distance parcourue ne sont pas proportionnelles.

Chute d'un ballon et proportionnalité

2.Tableau de proportionnalité

Propriété 1 :

Quand on regroupe les valeurs prises par deux grandeurs proportionnelles, on obtient un tableau de proportionnalité.

Propriété 2 :

Dans un tableau de proportionnalité, les nombres de la seconde ligne s’obtiennent en multipliant les nombres correspondants de la première ligne par le coefficient de proportionnalité.

Exemple :

A la vitesse de 70 km/h, une voiture consomme 5 L aux 100 km.

voiture

\cdot La consommation de carburant et la distance parcourue sont proportionnelles.

\cdot A cette vitesse, quand la voiture parcourt une distance de 1 km, elle consomme 0,05 L (5:100).

\cdot On peut regrouper ces résultats dans un tableau de proportionnalité.

tableau de proportionnalité

\cdot A cette vitesse, la consommation, en litres de carburant, est égale au produit du nombre de kilomètres parcourus par 0,05 qui est le coefficient de proportionnalité.

Dans cette situation, ce coefficient permet de calculer la consommation à partir du kilomètre parcouru : par exemple, à cette vitesse et pour 15 km, la consommation sera 15 x 0,05 = 0,75 L.

Propriété 3 :

On peut compléter un tableau de proportionnalité à l’aide des propriétés de linéarité.

II. Applications

1.Appliquer un pourcentage

Exemple :

Lors de soldes, une réduction de 15 % est accordée sur les articles d’un magasin.

Cela signifie que :

  • la réduction et le prix initial de l’un article sont proportionnels;
  • si le prix initial est de 100 €, alors la réduction est de 15 €.

On cherche la réduction d’un article coûtant 80 €.On regroupe ces données dans un tableau de proportionnalité.

soldes

Le coefficient de proportionnalité est 0,15.

Donc la réduction recherchée est  égale à 80 x 0,15 = 12 €.

Propriété :

Pour calculer x % d’une quantité, on multiplie cette quantité par x puis on divise par 100.

Exemple :

25 % de 350 est égal à (25\times  \,350): \,100=87,5

2.Echelle

Définition :

L’échelle d’une carte ou d’un plan est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer

des distances réelles aux distances correspondantes sur la carte ou le plan, exprimées dans la même unité.

Echelle=\frac{distance\,sur\,le\,plan}{distance\,reelle}.

Exemple :

Ce dessin représente le plan d’un hélicoptère.

hélicoptère

Dans la réalité, il a pour hauteur 3,9 m, donc l’échelle est :

Echelle=\frac{distance\,sur\,le\,plan}{distance\,reelle}=\frac{2,6}{390}=\frac{1}{150}.

Ce qui signifie que 1 cm sur le plan correspond à 150 cm dans la réalité.

tableau

La longueur réelle de l’appareil est donc x=7,75\times  \,150\approx\,1162,5\,cm\approx\,11,63\,cm.

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