∑Synthèses de cours de maths
Chapitres de Terminale
  1. Suites : récurrence et limites
  2. Limites de fonctions et asymptotes
  3. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
  4. Dérivation : composées et convexité
  5. Fonction logarithme népérien
  6. Primitives et équations différentielles
  7. Calcul intégral
  8. Vecteurs, droites et plans de l'espace
  9. Produit scalaire dans l'espace et équations de plans
  10. Dénombrement
  11. Épreuves de Bernoulli et loi binomiale
  12. Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres

Terminale — chapitre 2 sur 12

Limites de fonctions et asymptotes

Une asymptote traduit graphiquement une limite ; les croissances comparées lèvent les indéterminations avec $e^x$ et $\ln x$.

Courbe de $f(x) = \dfrac{2x-1}{x-1}$ : asymptote verticale $x = 1$ et horizontale $y = 2$.
Définition — asymptotes

Si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \ell$, la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale. Si $\lim_{x\to a}f(x) = \pm\infty$, la droite $x = a$ est asymptote verticale.

Propriété — limites usuelles

$\lim_{x\to+\infty}x^n = +\infty$, $\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac1{x^n} = 0$, $\lim_{x\to0^+}\dfrac1x = +\infty$, $\lim_{x\to0^-}\dfrac1x = -\infty$, $\lim_{x\to+\infty}e^x = +\infty$, $\lim_{x\to-\infty}e^x = 0$, $\lim_{x\to+\infty}\ln x = +\infty$, $\lim_{x\to0^+}\ln x = -\infty$.

Théorème — croissances comparées

$$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty\qquad\lim_{x\to-\infty}x^ne^x = 0\qquad\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n} = 0\qquad\lim_{x\to0^+}x^n\ln x = 0.$$ L'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme.

Théorème — comparaison et composition

Théorèmes de comparaison et des gendarmes comme pour les suites. Si $\lim_{x\to a}u(x) = b$ et $\lim_{X\to b}g(X) = \ell$, alors $\lim_{x\to a}g(u(x)) = \ell$.

Méthode — lever une forme indéterminée

Polynômes et fractions rationnelles en l'infini : factoriser par le terme de plus haut degré. $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2-x}{x^2+3} = \lim\dfrac{2-\frac1x}{1+\frac3{x^2}} = 2$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelles sont les formes indéterminées ?

$+\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\dfrac\infty\infty$ et $\dfrac00$. On les lève en factorisant par le terme dominant, en utilisant les croissances comparées ou une quantité conjuguée.

Comment trouver une asymptote horizontale ?

Si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \ell$, la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe.

Comment trouver une asymptote verticale ?

Si $\lim_{x\to a}f(x) = \pm\infty$, la droite $x = a$ est asymptote verticale.

Que sont les croissances comparées ?

En $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance : $\dfrac{e^x}{x^n}\to+\infty$ et $x^ne^{-x}\to0$ ; le logarithme est dominé par les puissances : $\dfrac{\ln x}{x}\to0$.
Télécharger cette synthèse en PDF Fiche imprimable, définitions et théorèmes sans la figure interactive.