Terminale · Fiche méthode 4 sur 12 · Logarithme népérien
Comment résoudre une équation avec un logarithme ?
On détermine d'abord l'ensemble de définition (tout ce qui est dans un $\ln$ doit être strictement positif), on regroupe les logarithmes avec les règles de calcul, puis on utilise que $\ln A = \ln B$ équivaut à $A = B$.
La méthode en 5 étapes
1Poser les conditions d'existence
Chaque expression sous un $\ln$ doit être strictement positive. On résout ces inéquations avant tout, et on garde l'ensemble obtenu.
2Regrouper les logarithmes
$\ln a+\ln b = \ln(ab)$ ; $\ln a-\ln b = \ln\dfrac{a}{b}$ ; $n\ln a = \ln(a^n)$. L'objectif est d'obtenir un seul $\ln$ de chaque côté.
3Supprimer les logarithmes
$\ln A = \ln B$ équivaut à $A = B$, car $\ln$ est strictement croissante donc injective. Pour $\ln A = k$, on écrit $A = \mathrm{e}^k$.
4Résoudre l'équation obtenue
C'est en général du premier ou du second degré.
5Confronter à l'ensemble de définition
On garde uniquement les solutions qui y appartiennent. Cette étape élimine régulièrement une des deux racines.
Un exemple entièrement résolu
Résoudre $\ln(x)+\ln(x-3) = \ln(10)$.
Il faut $x>0$ et $x-3>0$, donc $x>3$. On résout sur $]3\,;+\infty[$.
$\ln\big(x(x-3)\big) = \ln(10)$.
$x(x-3) = 10$, soit $x^2-3x-10 = 0$.
$\Delta = 9+40 = 49$, racines $x = 5$ et $x = -2$.
$-2$ n'appartient pas à $]3\,;+\infty[$ : on l'écarte. Seul $5$ convient, et $\ln 5+\ln 2 = \ln 10$ le confirme.
Conclusion. $S = \{5\}$.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier les conditions d'existence et conserver une solution interdite.
- Écrire $\ln(a+b) = \ln a+\ln b$ : le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes en sommes.
- Écrire $\dfrac{\ln a}{\ln b} = \ln\dfrac{a}{b}$ : c'est faux, la bonne formule est $\ln a-\ln b = \ln\dfrac{a}{b}$.
- Chercher les solutions de $\ln x = -3$ en croyant qu'il n'y en a pas : il y en a une, $x = \mathrm{e}^{-3}$, car le logarithme prend toutes les valeurs réelles.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Résoudre $\ln(2x-1) = 3$.
Voir le corrigé
Condition : $x>\dfrac{1}{2}$. On écrit $2x-1 = \mathrm{e}^3$, donc $x = \dfrac{\mathrm{e}^3+1}{2}\approx 10{,}54$.
Cette valeur respecte la condition : $S = \left\{\dfrac{\mathrm{e}^3+1}{2}\right\}$.
- Exercice 2
Résoudre $\ln(x+4) = \ln(2x-1)$.
Voir le corrigé
Conditions : $x>-4$ et $x>\dfrac{1}{2}$, donc $x>\dfrac{1}{2}$.
$x+4 = 2x-1$ donne $x = 5$, qui convient. $S = \{5\}$.
- Exercice 3
Résoudre l'inéquation $\ln(x)\le 2$.
Voir le corrigé
Condition : $x>0$. Comme $2 = \ln(\mathrm{e}^2)$, l'inéquation s'écrit $\ln x\le\ln(\mathrm{e}^2)$.
Le logarithme est strictement croissant : $x\le\mathrm{e}^2$. En tenant compte de la condition, $S = ]0\,;\mathrm{e}^2]$.
Questions fréquentes
Quel est le lien entre ln et exponentielle ?
Ce sont deux fonctions réciproques : $\ln(\mathrm{e}^x) = x$ pour tout réel, et $\mathrm{e}^{\ln x} = x$ pour $x>0$. Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$, et toute équation de l'une se traduit dans l'autre.
Pourquoi les conditions d'existence sont-elles si importantes ?
Parce que les transformations algébriques peuvent élargir le domaine : $\ln x+\ln(x-3)$ n'existe que pour $x>3$, alors que $\ln(x(x-3))$ existe aussi pour $x<0$. Résoudre la seconde forme sans revenir aux conditions initiales fait apparaître une fausse solution.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Logarithme népérien en Terminale, voici le reste des ressources du site :