Volúmenes y secciones: respuestas a los ejercicios de matemáticas de 3º de primaria en PDF.

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Respuestas a los ejercicios de matemáticas de 3ème sobre el cálculo de volúmenes y el estudio de secciones sólidas en el espacio. Conocer de memoria las fórmulas de volúmenes (bloque recto, cubo, prisma, cono de revolución, bola, cilindro y pirámide) y estudiar secciones de sólidos en tercer curso.

Ejercicio 10:
The volume of the recto prism is determined by :

$V=Base\times \,hauteur=\frac{BA\times \,BC}{2}\times \,BF=\frac{5\times \,5}{2}\times \,5=62,5\,cm^3$

Ejercicio 11:

El volumen de un prisma recto viene dado por :

$V=\frac{base\times \,hauteur}{3}=\frac{\frac{CB\times \,AC}{2}\times \,AD}{3}$

$V=\frac{\frac{4\times \,5}{2}\times \,7}{3}$

$V=\frac{70}{3}$

$V=23,33\,\,mm^2$

Ejercicio 12:

The volume of a pirate is determined by :

$V=\frac{base\times \,hauteur}{3}$

$V=\frac{8^2\times \,11}{3}=\frac{64\times \,11}{3}=\frac{704}{3}$

${\color{DarkRed}\,V=234,67\,\,cm^2}$

Ejercicio 13:

The volume of a cilindro is determined by :

$V=Base\times \,hauteur=\pi\times \,R^2\times \,h=\pi\times \,3^2\times \,5=45\pi$

Ejercicio 14:

The volume of a revolución cone is determined by :

$V=\frac{Base\times \,hauteur}{3}=\frac{\pi\times \,R^2\times \,hauteur}{3}$

$V=\frac{\pi\times \,6^2\times \,8}{3}=36\pi$

$V=113,1\,\,mm^2$

Ejercicio 15:

The volume is set by

$V=L\times \,l\times \,h=4\times \,2\times \,1,5=12\,\,\,cm^3$

Ejercicio 16:

1/ a. Expresar SM en función de h de dos maneras diferentes.

SM = h-OM or h -SM = OM y SM/h = EF/AB =3/7 según Tales (difícil de esquematizar pero es lo que hay).

Prueba: S,E,A alineados, S,F,B alineados y (EF)//(AB) tenemos la igualdad de los ratios SE/SA = EF/AB = 3/7; Además S,O,M alineados y S,E y A alineados con (EM)//(AO) resulta que la relación SE/SA que es igual a 3/7 es también igual según Tales a SM/SO o SO=h.

Entonces SM = 3/7 h y SM = h-60

b. Deduce an ecuación for that h sea una solución.

h-OM=3/7 h <==> 4/7h =OM

c. Resuelve esta ecuación para hallar el valor de h.

h = 7/4*OM = 7/4*60=7*60/4=7*15=105cm

d. Calculate the volume of the garden.

Volume of a pirate = 1/3 base * height

Volumen de la jardinera = Volumen de la pirámide completa – Volumen de la parte superior de la pirámide cuya base es EFGH

Volumen de la pirámide completa = 1/3 * AB²*h = (1/3)x70²x105 = 171 500 $cm^{3}$

Volumen of the upper lip =1/3 * EF² * SM with SM=h -OM = 105-60 =45 cm

=(1/3)x30²x45 =13500 $cm^{3}$

Volume of the garden = 171.500 -13.500 = 158.000 $cm^{3}$

2/He aquí cómo el matemático hindú Bhaskara calculó el volumen de un tronco de pirámide en el siglo XII:

La suma del área de las bases y el área de un rectángulo de anchura igual a la suma de la anchura de las bases y de longitud igual a la suma de la longitud de las bases, dividida por seis y multiplicada por la profundidad, da el volumen

Aplica este método para calcular el volumen de la caja de flores anterior:

Volvamos a los términos que utilizamos:

“La suma de las áreas de las bases (la base misma al cuadrado) = AB²+EF²

“Un rectángulo de anchura es la suma de las anchuras de las bases (AB+EF) al ser un cuadrado la anchura es la longitud del lado.

“La longitud es la suma de las longitudes de las bases (AB+EF) por las mismas razones.

“El área de este rectángulo es (AB+EF)².

Así que tomamos las áreas de la base + la del hipotético rectángulo = (AB²+EF² +(AB+EF)²)

Esto se divide por 6 y luego se multiplica por la profundidad: ((AB²+EF² +(AB+EF)²)/6)*60 y se supone que se obtiene el volumen.

Esto da (70²+30²+100²)*10 ya que 60/6 = 10

El volumen según Bhaskara es : 105 800 $cm^{3}$

Ejercicio 17:

Damos: AB =6m, AE = 5m, AD = 1,80m, BC = 0,80m.

En el diagrama anterior, no se respetan las dimensiones.

1. Demuestra que el volumen de esta piscina es de 39 m ^{3 .}

$V_{ABCD}=\frac{(AD+BC)\times \,AB}{2}=\frac{(1,8+0,8)\times \,6}{2}=7,8m^2$

$V_{piscine}=V_{ABCD}\times \,AE=7,8\times \,5=39\,m^3$

2. At the end of the summer, Sr. Dujardin vacated its pool with a bomba cuya potencia es de 5m ³ por hora. Calculate the number of ^m3 that are left in the pool after 5 hours.

In 5 hours habrá vaciado 25 m^3 , dejando 14 m^3 .

Ejercicio 18:

Here you can see a parallelepipedic device to measure the height of the water flowing in a garden during a rainfall (see below).

1. Las gotas de agua se consideran bolas de 4 mm de diámetro.

Calculate the volume of one drop of water. Indicates its exact value.

The volume of a bola or esfera is: 4/3 $\pi$ $R^{3}$ donde R es el radio de la esfera, 2 mm

entonces queda claro que la gota tiene un volumen de 32 $\pi$ /3 mm cúbicos.

2. The height of the water flow during this stage is equal to 8 cm.

Calculate the number of water bottles in the tank. The default value is indicated.

Para ello, primero debemos contar el volumen de agua recogida en el recipiente.

4cm x 4cm x8cm = cubo de 16×8 cm= 128 $cm^{3}$ lo que equivale a 128.000 $mm^{3}$ de agua en el recipiente

A continuación, basta con dividir por el volumen de una gota para hallar el número de gotas.

128 000 /( 32 $\pi$ /3) = (3 * 128 000)/ (32 $\pi$ )= 384 000/ (32 $\pi$ ) $\approx$ 3819 gotas, por defecto aproximadas a la unidad

Después de la lluvia, el recipiente contiene 3819 gotas de agua.

Ejercicio 19:

Una pirámide SABCD de base rectangular por un plano paralelo a la base a 5 cm del vértice. AB=4.8 cm; BC=4.2 cm y SO =8 cm.

a. Calculate the reduction coefficient K between the pirates SABCD and SA’B’C’D’ .

$k=\frac{5}{8}$

b. Calculate the volume of the pirate SABCD .

$V=\frac{base\times \,hauteur}{3}$

$V=\frac{4,8\times \,4,2\,\times \,8}{3}$

${\color{DarkRed}\,V\simeq\,53,75\,cm^3}$

c. Deduce el volumen de la pirámide SA’B’C’D’ .

The volume is multiplied by k^3

$k^3=(\frac{5}{8})^3=\frac{5^3}{8^3}=\frac{125}{512}$

$V_{SA'B'C'D'}=\frac{125}{512}V_{SABCD}$

$V_{SA'B'C'D'}=\frac{125}{512}\times \,53,75$

$V_{SA'B'C'D'}\simeq\,13,12\,cm^3$

Ejercicio 20:

a 10 cm diameter brass ball.

The brass is an alloy of 40% zinc and 60% cobalt.

1) Calculate the volume of this ball (redundant to the nearest 1/10 cm3)

$V=\frac{4}{3}\pi\times \,R^3$

$V=\frac{4}{3}\pi\times \,5^3$

$V=\frac{500\pi}{3}\,cm^3$

${\color{DarkRed}\,V=523,6\,cm^3}$

2) Queremos cubrir esta bola con pintura dorada.

a) Calculate the surface of the bola. Indicates the exact value.

$A=4\pi\times \,R^2=4\pi\times 5^2=100\pi$

b) ¿Cuánta pintura se necesita si 1 dl cubre 0,1 m²?

$A\simeq\,314,16\,cm^2$

$A\simeq\,0,031416\,m^2$

$1dLrightarrow\,0,1\,m^2$

$xrightarrow\,0,031416\,m^2$

$x=\frac{1\times \,0,031416}{0,1}$

$x=0,31\,dL$

3) se sierra la bola a lo largo de un plano situado a 3 cm de su centro.

(a) Calculate the radio of the sección circle, the length of the sección circle and the area of the sección disc.

Indica los valores exactos y, a continuación, los valores redondeados a los cm y cm² más próximos.

En el triángulo ABC, que es rectángulo en A, según la parte directa del teorema de Pitágoras :

AB^2=81

AB=9

$L=2\pi\,R=2\pi\times \,5=10\pi\simeq\,32\,cm$

The length of the circle is 32 cm.

$A=\pi\times \,R^2=\pi\times \,5^2=25\pi\simeq\,79\,cm$

The cross section of the disc is 79 cm.

Ejercicio 21:

$V=\frac{base\times \,hauteur}{3}=\frac{\pi\times \,R^2\times \,SO}{3}$

$V=\frac{\pi\times \,7^2\times \,12}{3}$

${\color{DarkRed}\,V=196\pi}$

The reduction ratio is $k=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ .

The volume is multiplied by $k^3=(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$ .

$V'=\frac{1}{64}\times \,k^3=\frac{196}{64}\pi$

${\color{DarkRed}\,V'=\frac{49}{16}\pi}$

${\color{DarkRed}\,V'\simeq\,9,6\,cm^3}$

Ejercicio 22:

a) the reduction factor is :

$\frac{SE}{SA}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

así que .

b) En el triángulo rectángulo SAB en A, a partir de la parte directa

del teorema de Pitágoras, tenemos :

$SB=\sqrt{225}$

${\color{DarkRed}\,SB=15\,cm}$

$V_{SABCD}=\frac{AB^2\times \,SA}{3}=\frac{81\times \,12}{3}=324\,cm^3$

b) Es $\frac{1}{4}.$

$V_{SEFGH}=\,(\frac{1}{4}\,\,)^3\times \,V_{SABCD}=\frac{324}{64}\simeq\,5\,cm^3$

Ejercicio 23:

1. En el triángulo rectángulo DAB, según la parte directa

of the teorema of Pitágoras:

DA^2=16

$DA=\sqrt{16}$

${\color{DarkRed}\,DA=4\,cm}$

2. $V_{SABCD}=\frac{1}{3}\times \,base\times \,hauteur$

$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\times \,AD\times \,AB\times \,SO$

$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\times \,3\times \,4\times \,6$

$V_{SABCD}=24\,cm^3$

3. a.La sección sigue siendo un rectángulo.

b. O ‘ es el centro de [SO] donde el coeficiente de reducción es $k=\frac{1}{2}$ .

The volume is multiplied by $(\frac{1}{2})^3$

$V_{SA'B'C'D'}=(\frac{1}{2})^3V_{SABCD}$

$V_{SA'B'C'D'}=\frac{1}{2^3}V_{SABCD}$

$V_{SA'B'C'D'}=\frac{24}{8}$

${\color{DarkRed}\,V_{SA'B'C'D'}=3^\,cm^3}$ .

Ejercicio 24:

$V_1=\frac{1}{3}\pi\times \,R^2\times \,hauteur$

$V_1=\frac{1}{3}\pi\times \,5^2\times \,9$

$V_1=75\pi\,cm^3$

The reduction factor is :

$k=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

así que

$V_2=(\frac{1}{3})^3V_1=\frac{1}{27}V_1=\frac{75\pi}{27}$

$V_2=\frac{25\pi}{9}\,cm^3$

Ejercicio 25 :

Una caja cilíndrica contiene 3 pelotas de tenis de radio 3,4 cm. a) Haz una figura, si la caja tiene dimensiones mínimas.

b) ¿Cuáles son las dimensiones mínimas de esta caja (altura y radio)?

altura = 3x2x3,4= 20,4 cm

radio = 3.4 cm

c) Calculate the volume of the box and the volume of the three bowls.

$V_{boite}=\pi\times \,3,4^2\times \,20,4\simeq\,741\,cm^3$

$V_{3\,balles}=3\times \,\frac{4}{3}\pi\times \,3,4^3=4\times \,\pi\times \,3,4^3\simeq\,494\,cm^3$

d) Calculate the percentage of “vacancy” in this box that contains the 3 bowls.

$\frac{494}{741}\times \,100\simeq66,7%$ ocupación de bolas .

El vacío ocupa alrededor del 33,3% o $\frac{1}{3}$ de la caja.

Ejercicio 26:

In a bowl of 8 cm in height and 6 cm in width,

Puse 3 bolas de helado with a radio of 3 cm each.

¡No tengo tiempo de comérmelos! demasiadas copias para corregir.

¡Las 3 bolas se están derritiendo!

¿Se desbordará el hielo? si es así, ¿cuántos cL de hielo he perdido?

Calculemos el volumen del vaso y después el de las tres bolas.

$V_{verre}=\frac{4}{3}\pi\times \,6^2\times \,8=\frac{4}{3}\pi\times \,36\times \,8=\frac{4}{3}\pi\times 3\times \,12\times \,8=4\pi\times \,12\times \,8=384\pi$

$V_{3_,boules}=3\times \,\frac{4}{3}\pi\times \,3^3=4\pi\times \,3^3=108\pi$

Conclusión:

The volume of the bowl is greater than the volume of the three bowls

para que el vaso no rebose.

Ejercicio 27:

Para su espectáculo, un mago quiere clavar espadas en una caja en la que está encerrado un espectador.

The box is a cubo of 1 m of side.

Para su proyecto, el mago debe mandar hacer espadas.

Necesita espadas que sean todas del mismo tamaño para que, dondequiera que empuje la espada, pueda sobresalir al menos 10 cm.

¿Cuál es la longitud mínima de la hoja de espada que debe encargar al herrero?

The maximum length of a cubo is its diagonal.

Usando el teorema de Pytahgore dos veces:

the length of the diagonal of a cara is :

$a=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

the length of the diagonal of the cubo is :

$c=\sqrt{a^2+1^2}=\sqrt{\sqrt{2}^2+1^2}=\sqrt{3}$

La espada debe sobresalir al menos 10 cm, por lo que la longitud mínima de la hoja es ${\color{DarkRed}\,\sqrt{3}+10}$ .

Ejercicio 33 :

Un palomar está formado por un paralelepípedo rectangular ABCDEFGH y una pirámide SEFGH cuya altura [SO] es de 3,1 m.

Sabemos que AB = 3 m, BC = 3,5 m y AE = 4 m.

Calculate the length BD and deduce the length of BH.

En el triángulo ABD acutángulo en A, según la parte directa del teorema de Pitágoras, tenemos la siguiente igualdad:

$BD=\sqrt{21,25}$

Los valores aproximados de estos resultados se indicarán con una precisión de $10^{-1}$ .

En el triángulo BDH rectángulo en D, según la parte directa del teorema de Pitágoras, tenemos la siguiente igualdad:

$BH=\sqrt{37,25}$

${\color{DarkRed}\,BH\simeq\,6,1\,m}$

2. Calculate in m^3 el volumen V_1 de este palomar.

$V_1\simeq\,3\times \,3,5\times \,4+\frac{3\times \,3,5\times \,3,1}{3}$

$V_1\simeq\,42+10,85$

${\color{DarkRed}\,V_1\simeq\,52,85\,m^3}$

3. Un maquetista quiere construir un modelo a escala de este palomar $\frac{1}{24}$ .

Calculate in dm^3 the volume V_2 of the model.

$V_2=\,(\frac{1}{24}\,\,)^3\times \,V_1$

$V_2=\frac{1}{13824}\,\times \,V_1$

Se dará un valor aproximado de este resultado al $10^{-3}$ más cercano.

$V_2=\frac{1}{13824}\,\times \,52,85\simeq\,0,004\,m^3$

Ejercicio 32 :

ABCDEFGH is a recto block with a cuadrada base. Damos AD = 3 cm y DC =2cm y CG = 4 cm.

Calculate the volume in cm3 of the pirámide with vertice G and base ABCD.

$V=\frac{1}{3}\times \,3\times \,2\times \,4=8\,cm^3$

Calcula the DG.

En el triángulo DCG acutángulo en C, según la parte directa del teorema de Pitágoras :

DG^2=20

$DG=\sqrt{20}$

$DG=\sqrt{4\times \,5}$

$DG=2\sqrt{5}$

Ejercicio 33 :

Un palomar está formado por un paralelepípedo rectangular ABCDEFGH y una pirámide SEFGH cuya altura [SO] es de 3,1 m.

Sabemos que AB = 3 m, BC = 3,5 m y AE = 4 m.

Calculate the length BD and deduce the length of BH. Se darán valores aproximados de estos resultados con una aproximación de ^10-1.

En el triángulo ABD acutángulo en A, según la parte directa del teorema de Pitágoras,

tenemos :

$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}$

$BD=\sqrt{3^2+3,5^2}$

$BD=\sqrt{9+12,25}$

$BD=\sqrt{21,25}$

${\color{DarkRed}\,BD\simeq,4,6\,\,m}$

En el triángulo BDH rectángulo en D , según la parte directa del teorema de Pitágoras,

tenemos :

$BH=\sqrt{BD^2+DH^2}$

$BH=\sqrt{21,25+4^2}$

$BH=\sqrt{21,25+16}$

$BH=\sqrt{37,25}$

${\color{DarkRed}\,BH\simeq,6,1\,\,m}$

2. Calculate the volume _V1 of this palomar in ^m3.

$V_1=3\times ,3,5\times 4+\frac{1}{3}\times 3\times 3,5\times 3,1$

$V_1=42+\frac{1}{3}\times 3\times 3,5\times 3,1$

${\color{DarkRed}\,V_1=52,85\,\,m^3}$

3. Un maquetista quiere construir un modelo a escala de este palomar $\frac{1}{24}\,$ .

Calculate the volume _V2 of the model in ^dm3.

$V_2=\frac{V_1}{24}$

$V_2=\frac{52,85}{24}$

$V_2\simeq\,2,2021$

$V_2\simeq\,2,2021\,\,m^3$

${\color{DarkRed}V_2\simeq\,2202,1\,\,dm^3}$

Third year courses

Después de haber consultado las respuestas a estos ejercicios sobre el cálculo de volúmenes y el estudio de secciones de sólidos en 3º de ESO, puedes volver a los ejercicios de 3º de ESO.

Los ejercicios del tercer año.

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