Trigonometría: clave de respuestas para los ejercicios de matemáticas en 3er grado en PDF.

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Respuestas a los ejercicios de matemáticas en 3ème sobre trigonometría en el triángulo rectángulo. Aplica las fórmulas del seno, coseno y tangente para calcular la longitud o medida de un ángulo.

Ejercicio 1:

sabemos que $\widehat{CAB}=50^{\circ}$ ; $\widehat{DBA}=15^{\circ}$ ; $\widehat{ACB}=90^{\circ}$ y $AB=40\,m$ .

Calculate the triangular dimension ABD Redondea el resultado al decímetro más próximo.

En el triángulo rectángulo ABC :

$cos\widehat{A}=\frac{AC}{AB}$

$AC=40cos\widehat{50}$

$AC\simeq\,25,71\,m$

In triángulo ABD :

$\widehat{ADB}=180-50-15=180-65=115$

$\widehat{CDB}=180-115=65^{\circ}$

En el triángulo rectángulo ACB :

$sin\widehat{A}=\frac{BC}{AB}$

$BC=AB\times \,sinA$

$BC=40\times \,sin\,50^{\circ}$

$BC\simeq\,30,64\,m$

En el triángulo rectángulo BCD :

$tan\widehat{BDC}=\frac{BC}{DC}$

$tan65=\frac{40\times \,sin50^{\circ}}{DC}$

$DC=\frac{40\times \,sin50^{\circ}}{tan65}$

$DC\simeq\,15,83\,m$

Además

$DA=AC-DC=25,71-15,83=9,88\,m$

En el triángulo BCD rectángulo en C :

${\color{DarkRed}\,BD\simeq\,34,5\,m}$

The perimeter of the ABD triangle is :

AD+DB+BA =9,88+34,5+40=84,38 m .

Conclusión: el perímetro es de aproximadamente 84,4 metros.

Ejercicio 2:

a. En el triángulo rectángulo DGE :

$sin\,\,\widehat{GED}=\frac{DG}{DE}$

$sin\,\,40=\frac{DG}{20}$

$DG=20sin\,\,40$

${\color{DarkRed}\,DG=12,9\,m}$

b. Muestra la situación de la figura a escala 1:200. (The data of the situation must be placed in the figure).

Ejercicio 3:

1.a. Utilizando una calculadora, calcula ( cos67°+sin67°)²+(cos67°-sin67°)²=2 (cos35°+sin35°)²+(cos35°-sin35°)²=2

b. ¿qué encontramos?

El resultado es siempre igual a 2 .

Demuestra que para cualquier ángulo agudo x :

$=2\times \,1\,\,(car\,cos^2x+sin^2x=1)$

Ejercicio 4:

Demuestra que el triángulo SON es rectángulo.

Cálculo del ángulo $\widehat{AOC}$ :

$cos\widehat{AOC}=\frac{3}{6}$

$\widehat{AOC}=cos^{-1}\frac{1}{2}$

$\widehat{AOC}=60^{\circ}$

Los ángulos $\widehat{AOC}$ y $\widehat{EOS}$ son opuestos en el vértice y, por tanto, iguales.

$\widehat{EOS}=60^{\circ}$

$\widehat{SON}=\widehat{EOS}+\widehat{NOE}=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$

Conclusión: el triángulo NOS es un triángulo rectángulo en O .

Ejercicio 5:

es un ángulo tal que $sinx=\frac{5}{8}$ .

$cos^2x=1-(\frac{5}{8})^2$

$cos^2x=1-\frac{25}{64}$

$cos^2x=\frac{64}{64}-\frac{25}{64}$

$cos^2x=\frac{39}{64}$

Ahora el coseno de un ángulo agudo es positivo:

$cosx=\sqrt{\frac{39}{64}}$

$cosx=\frac{\sqrt{39}}{8}$

$tanx=\frac{sinx}{cosx}$

$tanx=\frac{\frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{39}}{8}}$

$tanx=\frac{5}{\sqrt{39}}$

$tanx=\frac{5\sqrt{39}}{39}$

Ejercicio 6:

1. Construye un triángulo ABC en C tal que AC = 5 cm y $\widehat{BAC}=40^{\circ}$ .

2. Calcular la longitud BC (se dará un valor redondeado al milímetro más próximo).

Según el curso sen $\widehat{BAC}$ = $\frac{BC}{AC}$ es decir sen 40° = BC/AC entonces BC = AC x sen 40° = 5 sen (40) $\approx$ 3.2cm

3.a) ¿Dónde está el centro O del círculo circunscrito del triángulo ABC?

As the triangular axis is rectangular, the hipotenusa is a metre of the circunferencia circunscrita of the triangular axis(circunscrita means that the circunferencia passes through the three vertices of the triangular axis).

If [AC] es el diámetro, entonces O es el centro de [AC].

b) Dibuja este círculo.

4. Deduce la medida del ángulo $\widehat{BOC}$ .

OB = OA por lo que OAB es un triángulo isósceles $\widehat{OBA}$ =40° implica que $\widehat{AOB}$ = 180°-(2×40°) ya que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre 180°. $\widehat{AOB}$ = 100° and since the angles $\widehat{AOB}$ y $\widehat{BOC}$ son suplementarios (juntos forman un ángulo llano y suma es por lo tanto 180°) tenemos $\widehat{BOC}$ = 180° -100° =80°.

Ejercicio 7:

¿Qué distancia OH se necesita para que la catedral aparezca completamente en el objetivo?
Tengo el lado opuesto y el ángulo $\widehat{O}\,$ .
Busco el lado adyacente al ángulo $\widehat{O}\,$ .
Fórmula: tangent
$Tan\widehat{O}=\frac{AH}{OH}\,$

$Tan\,42=\frac{140}{OH}\,$

$OH=\frac{140}{Tan\,42}\,$

$OH=155,5\,m$

Conclusión:

La distancia OH necesaria para que la catedral aparezca completamente en el objetivo debe ser superior a 155,5 metros.

Ejercicio 8:

a) The SAH triangulation is rectangular in H.

Así que $\widehat{S}=90-45=45$ °

Por lo tanto el triángulo SAH es un triángulo rectángulo e isósceles en H.

BH=BA+AH=BA+HS=BA+x=40+x

b)AH=HS=x

c) In the triangular BSH rectangular in H.

$tan(\widehat{SBH})=\frac{SH}{BH}$

$tan(\widehat{SBH})=\frac{x}{40+x}$

$(40+x)tan(\widehat{SBH})=x$

${\color{DarkRed},(40+x)tan(\widehat{25})=x}$

d) $(40+x)tan(\widehat{25})=x$

$40tan(\widehat{25})+xtan(\widehat{25})=x$

$40tan(\widehat{25})+xtan(\widehat{25})=x,\\x(tan(\widehat{25})-1)=-40tan(\widehat{25}),\\x=\frac{-40tan(\widehat{25})}{tan(\widehat{25})-1}$

${\color{DarkRed},x\simeq,35\,\,m}$

The height of the tower is about 35 meters.

Ejercicio 9:

En el bloque de la derecha, EH=69 cm, EF=60 cm y EA=51 cm.
¿Cuál es la medida del ángulo DEA? (redundant to the superior unit)

$tan\,\widehat{AED}=\frac{AD}{AE}$

$tan\,\widehat{AED}=\frac{69}{51}$

$\widehat{AED}=tan^{-1}(\frac{69}{51})$

$\widehat{AED}=54^{\circ}$

Ejercicio 10:

Ayuda a Lisa a realizar este cálculo con ayuda del siguiente diagrama:

Tenemos:

$tan\,40=\frac{BD}{BA}$ y $tan\,48=\frac{BD}{BC}$

utilizando estas dos igualdades

$BD=BA\times \,tan40=(BC+50)tan40$ y $BD=BC\times \,tan48$

Determinemos BC:

$(BC+50)tan40=BC\times \,tan48$

$BC\times \,tan40+50tan40=BC\times \,tan48$

$BC\times \,tan40-BC\times \,tan48=-50tan40$

$BC=\frac{-50tan40}{tan40-tan48}$

Determinemos BD:

$BD=BC\times \,tan48\\=\frac{-50tan40}{tan40-tan48}\times \,tan48\\\simeq\,171,62$

The San Miguel arch is 171.62 meters high.

Ejercicio 11:
1. Construct a triángulo ABC de tamaño natural tal que AB = 7 cm; BC = 8 cm y AC = 5 cm.

2. [BC] siendo el lado cuya medida es la mayor, deberíamos tener si el triángulo fuera rectángulo en A :

BC² = AB² + AC²
o
8² $\not=$ 7² + 5²
Por lo tanto, el triángulo ABC no es rectángulo.

2- Cálculo del ángulo $\hat{BAC}$ : apliquemos la fórmula

8² = 7² + 5² – 2*5*7 cos $\hat{BAC}$

64 = 49 + 25 – 70 cos $\hat{BAC}$

64 – 49 – 25 = -70 cos $\hat{BAC}$

-10 =-70 cos $\hat{BAC}$

cos $\hat{BAC}$ = $\frac{1}{7}$

Utilizando la calculadora encontramos :

$\hat{BAC}\,=\,81.79^\circ$

Puede comprobar este resultado utilizando GEOGEBRA

Ejercicio 12:

1) On a 15% slope, what angle does the road form with the horizontal?

En este triángulo rectángulo, observe $\widehat{A}$ el ángulo entre la carretera y la horizontal.

Conocemos el lado adyacente y opuesto del ángulo $\widehat{A}$ , por lo que la fórmula a utilizar es la tangente.

$tan\widehat{A}=\frac{30}{100}=0,3$

$\widehat{A}=tan^{-1}(0,3)\simeq\,17^{\circ}$

Conclusión: la carretera forma un ángulo de aproximadamente 17° con la horizontal.

2) Se considera un descenso peligroso en cuanto la pendiente es superior al 10% en carretera y superior al 4% en autopista.

¿After what angle between the calzada and the horizontal is considered dangerous for a downward slope on a road?

$\widehat{A}=tan^{-1}(0,1)\simeq\,6^{\circ}$

$\widehat{B}=tan^{-1}(0,04)\simeq\,3^{\circ}$

Conclusión: una bajada en carretera es peligrosa en cuanto el ángulo es superior a 6° y superior a 3° para una autopista.

3)¿Es más peligroso circular por una carretera con una pendiente del 20% o por una autopista con un ángulo de 20 grados respecto a la horizontal? Justificar

$\widehat{A}=tan^{-1}(0,2)\simeq\,3^{\circ}\simeq\,12^{\circ}$

Conclusión: En una autopista la velocidad es mucho mayor, por lo que es más peligroso en una autopista.

Ejercicio 13:
1°) Tu triángulo debe tener este aspecto:

2°) Demostrar que el triángulo IJK es un triángulo rectángulo,
utilizing the Pitágoras teorema recipe.
La demostración es la siguiente:

En el triángulo IJK, aplicamos el recíproco del teorema de Pitágoras, tenemos :

JK² = 8² = 64 E IJ² + IK ² = 4.8² + 6.4² = 23.04 + 40.96 = 64

Ahora JK² = IJ² + IK², por lo que el triángulo JIK es rectángulo en I.

3°) Ahora queremos saber la medida del ángulo $\widehat{IJK}\,$ .

Three resolution possibilities are used:

Ejercicio 14:

1°) Sabemos que la pared (AB) y el suelo son perpendiculares.
También sabemos que el muro mide 3,05 m y que la escala [AC] mide 3,20 m.

Para saber a qué distancia del pie de la pared debe colocarse la escalera
para que su vertice esté justo a nivel de la cesta, utilizaremos el teorema de Pitágoras.
Pero primero hacemos la conversión: AB = 3,05 m = 305 cm y CA 3,20 m = 320 cm.

En el triángulo ABC, acutángulo en B, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos :
CB²+AB²=CA²
CB²+305²=320²
CB²+93025=102400
CB²=102400-93025=9375
o CB>0 entonces $\fbox{CB=\sqrt{9375}\approx\,97\,cm}\,$

2°) El ángulo formado por la escalera y el suelo es, por tanto, el ángulo $\widehat{ACB}\,$ .

Tenemos las tres medidas de los tres lados del triángulo,
lo que nos da tres posibilidades.

Ejercicio 15:

1°) Tu triángulo debe tener este aspecto.

The angles $\widehat{AHC}\,$ and $\widehat{AHB}\,$ form two right angles because (AH) is the height of [BC] from the A jack.
Ahora la altura es la recta que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto.
También sabemos que BH = HC = BC/2 porque en un triángulo isósceles,
la altura desde el vértice principal biseca su base ya que también es una mediana.

2°) Cálculo de $\widehat{B}\,$

Se sabe que la tangente de un ángulo es igual al cociente del lado opuesto del mismo por el lado adyacente del mismo.
Así que..:

$Tan\widehat{B}\,=\frac{AH}{BH}=\frac{7}{8/2}=\frac{7}{4}\,$

Esto es $\widehat{B}\,=\,Tan^{-1}(\frac{7}{4})\approx\,60\,$ grados.

Ejercicio 16:
1°) A rectángulo with its diagonal … ¡¡¡no necesita corrección!!!

2°) Calculation of the angle measurement $\widehat{ACD}\,$ :
Se conocen los lados adyacente y opuesto de este ángulo,
lo que nos lleva a calcular la tangente de este ángulo.

$Tan\widehat{ACD}\,=\frac{AB}{BC}=\frac{7,2}{5,4}=\frac{4}{3}\,$

Esto es $\widehat{ACD}\,=\,Tan^{-1}(\frac{4}{3})\approx\,53\,$ grados.

3°) Demuestra que los ángulos $\widehat{ACD}\,$ y $\widehat{CAB}\,$ son iguales. 1. metodo (más sencillo) Las rectas (AB) y (DC) son paralelas y el segmento [AC] corta a $\widehat{BAD}\,$ y $\widehat{BCD}\,$ en dos ángulos cada uno.

Por lo tanto, podemos decir que estos dos ángulos son alternos internos y, por lo tanto, iguales.

2. Method (for adults)
Calculamos [AC] con Pitágoras:

En el triángulo rectángulo ACB (o ADC, son lo mismo), aplicamos el teorema de Pitágoras:
AC²=AB²+BC²
AC²=7.2²+5.4²
AC²=51,84+29,16=81 or AC>0,por lo tanto

$AC=\sqrt{81}=9\,$ cm .

Ahora tenemos todas las medidas de los lados del rectángulo.

Así, si los ángulos $\widehat{ACD}\,$ y $\widehat{CAB}\,$ fueran iguales, el seno de uno sería igual al seno del otro e IDEM con los cosenos.

Comprobémoslo:

En efecto, los ángulos $\widehat{ACD}\,$ y $\widehat{CAB}\,$ son iguales.

Ejercicio 18:

Calculate, for each figure, the size of the angle marked

(redundancy of the result to the next level).

1. En el triángulo rectángulo IAB, conozco el lado opuesto y adyacente al ángulo $\widehat{ABI}$ .

Fórmula: tangent.

$tan\widehat{ABI}=\frac{2,1}{2,8}$ así que .

2. En el triángulo rectángulo DCL, conozco la hipotenusa y el lado opuesto del ángulo $\widehat{DLC}$ .

Fórmula: seno.

$sin\,(\widehat{DLC})=sin(\frac{8}{9})$ así que .

3. En el triángulo rectángulo EFJ, conozco la hipotenusa y el lado opuesto del ángulo $\widehat{JEF}$ .

Fórmula: seno.

$sin\,(\widehat{JEF})=\frac{2,7}{4,2}$ así que .

3. En el triángulo rectángulo GHK, conozco el lado adyacente y opuesto al ángulo $\widehat{HKG}$ .

Fórmula: tangent.

$tan(\widehat{HKG})=\frac{4}{3}$ así que $\widehat{HKG}=tan^{-1}(\frac{4}{3})\simeq\,53^{\circ}$

Ejercicio 20:

1. Calculate the medida of $\widehat{IGH}$ .

En el triángulo rectángulo IGH, conozco el lado opuesto a $\widehat{IGH}$ y la hipotenusa.

Fórmula: seno.

$sin(\widehat{IGH})=\frac{3}{6}$ así que .

2. Deduce la medida del ángulo $\widehat{EGF}$ .

Los ángulos $\widehat{EGF}$ y $\widehat{IGH}$ son opuestos en el vértice, por lo que tienen la misma medida: $\widehat{EGF}=30$ °.

3. Calculate the lengths EF and FG to the nearest decimal point.

In the triángulo GEF acodado in E.

$cos(\widehat{EGF})=\frac{EG}{FG}$ y $tan(\widehat{EGF})=\frac{EF}{EG}$

$cos(30^{\circ})=\frac{3}{FG}$ y $tan(30^{\circ})=\frac{EF}{3}$

$FG=\frac{3}{cos\,30^{\circ}}\simeq\,3,5$ cm.

$EF=3tan(30^{\circ})\simeq\,1,7$ cm

Ejercicio 21:

Calculate the length OM redondeada al milímetro más próximo.

Calculemos PM :

En el triángulo rectángulo PAM, conozco el lado opuesto y el ángulo $\widehat{APM}=47^{\circ}$

y estoy buscando la hipotenusa.

Fórmula: seno

$sin(\widehat{APM})=\frac{4,6}{PM}$

$sin(47^{\circ})=\frac{4,6}{PM}$ así que

$PM=\frac{4,6}{sin(47^{\circ})}\simeq\,6,29\,cm$

Calculemos OM :

In the triángulo rectángulo POM, conozco la hipotenusa y el ángulo $\widehat{PMO}=23^{\circ}$

y busco el lado adyacente al ángulo $\widehat{PMO}$ .

Fórmula: coseno.

$cos(\widehat{PMO})=\frac{OM}{PM}$

$cos(23^{\circ})=\frac{OM}{6,29}$

$OM\simeq\,6,29\times \,cos(23^{\circ})\simeq\,5,8\,cm$

Ejercicio 22:

Damos BD = 4 cm , BA = 6 cm y $\widehat{DBC}=60^{\circ}$ .

1. Demonstrate that BC= 8 cm.

In the triángulo rectángulo DCB,

$cos60^{\circ}=\frac{DB}{BC}$

$cos60^{\circ}=\frac{4}{BC}$

$BC=\frac{4}{cos60^{\circ}}$

${\color{DarkRed}\,BC=8\,cm}$

2. Calculate CD and indicate the value redundant to the decima.

$tan60^{\circ}=\frac{CD}{DB}$

$tan60^{\circ}=\frac{CD}{4}$

$CD=4tan60^{\circ}$

${\color{DarkRed}\,CD\simeq\,6,9\,cm}$

3. Calcula the CA.

En el triángulo ABC, que es rectángulo en B según la parte directa del teorema de Pitágoras:

$AC=\sqrt{100}$

${\color{DarkRed}\,AC=10\,cm}$

4. ¿Cuál es el valor de $tan\widehat{BAC}$ ?

$tan\widehat{BAC}=\frac{BC}{BA}$

$tan\widehat{BAC}=\frac{8:2}{6:2}$

${\color{DarkRed}\,tan\widehat{BAC}=\frac{4}{3}}$

5. Deduce the value, redondeado al grado más próximo, of $\widehat{BAC}$ .

$\widehat{BAC}=tan^{-1}(\frac{4}{3})$

${\color{DarkRed}\,\widehat{BAC}=53^{\circ}}$

Respuestas a ejercicios de matemáticas sobre trigonometría en el triángulo rectángulo en 3º de primaria.

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Los ejercicios del tercer año.

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