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Définition
Un repère de l’espace est constitué d’une origine et de trois vecteurs non coplanaires ; il permet de repérer tout point par trois coordonnées.
Notation : \((O\,;\,\vec i\,;\,\vec j\,;\,\vec k)\) et \(M(x\,;\,y\,;\,z)\).
En clair
C’est le repère du plan augmenté d’une troisième direction : largeur, profondeur et hauteur.
Ce qu’il faut retenir
- Chaque point s’écrit de façon unique \(M(x\,;\,y\,;\,z)\).
- \(\vec{AB}\) a pour coordonnées \((x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)\).
- En repère orthonormé : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).
- Produit scalaire en repère orthonormé : \(xx’ + yy’ + zz’\).
- Le milieu s’obtient en faisant la moyenne des trois coordonnées.
Exemple
\(A(1\,;\,0\,;\,2)\) et \(B(3\,;\,4\,;\,2)\) : \(\vec{AB}(2\,;\,4\,;\,0)\) et \(AB = \sqrt{4+16+0} = \sqrt{20} = 2\sqrt5\).
À ne pas confondre avec
- Repère — le repère du plan n’a que deux coordonnées.
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Questions fréquentes sur « repère de l'espace »
Combien de coordonnées a un point de l’espace ?
Trois : \(x\), \(y\) et \(z\).
