Terminale — chapitre 8 sur 12
Vecteurs, droites et plans de l'espace
Un plan est défini par un point et deux vecteurs non colinéaires ; une droite par un point et un vecteur directeur.
Trois vecteurs sont coplanaires s'il existe des représentants dans un même plan, c'est-à-dire si l'un s'exprime comme combinaison linéaire des deux autres. Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace ; tout vecteur s'écrit alors de façon unique $x\vec i+y\vec j+z\vec k$.
$\vec{AB}(x_B-x_A\,;y_B-y_A\,;z_B-z_A)$ ; milieu de $[AB]$ : $\left(\dfrac{x_A+x_B}2\,;\ldots\right)$ ; en repère orthonormé $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.
Droite passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ de vecteur directeur $\vec u(a\,;b\,;c)$ : $$\begin{cases}x = x_A+at\\ y = y_A+bt\\ z = z_A+ct\end{cases}\quad t\in\mathbb R.$$
Plan passant par $A$ dirigé par $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires : $M = A+t\vec u+s\vec v$, $(t\,;s)\in\mathbb R^2$.
- Deux droites : coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires.
- Droite et plan : incluse, strictement parallèle ou sécante en un point.
- Deux plans : confondus, strictement parallèles ou sécants selon une droite.
On injecte les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation du plan et on résout en $t$ : une solution (point), aucune (parallèle stricte), une infinité (incluse).