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Méthode
Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration qui prouve qu’une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d’un certain rang.
En clair
C’est l’effet domino : si le premier domino tombe et que chaque domino fait tomber le suivant, alors ils tombent tous.
Ce qu’il faut retenir
- Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au premier rang.
- Hérédité : on suppose la propriété vraie au rang \(n\) et on démontre qu’elle l’est au rang \(n+1\).
- Conclusion : la propriété est vraie pour tout entier à partir du rang initial.
- Les trois étapes sont obligatoires : sans initialisation, la démonstration est fausse.
- L’hypothèse de récurrence doit être utilisée explicitement dans l’hérédité.
Exemple
Montrer que \(2^n \ge n+1\) pour tout \(n \ge 0\) : c’est vrai pour \(n = 0\) (\(1 \ge 1\)) ; si \(2^n \ge n+1\), alors \(2^{n+1} = 2\times 2^n \ge 2n+2 \ge n+2\).
À ne pas confondre avec
- Suite définie par récurrence — la suite récurrente est un objet, le raisonnement par récurrence une méthode de preuve.
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- Synthèse de coursSuites : récurrence et limites
- Fiche méthodeComment faire une démonstration par récurrence ?
- Cours completLe raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale en PDF
- Exercices corrigésRaisonnement par récurrence : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF
- QCM en ligneLe raisonnement par récurrence : QCM de maths en terminale avec exercices
Termes liés
Suite définie par récurrence
Démonstration
Suite croissante
Suite majorée, minorée, bornée
Implication
Limite d'une suite
Suite convergente
Suite divergente
Formule explicite
Raison d'une suite
Questions fréquentes sur « raisonnement par récurrence »
Quelles sont les étapes d’un raisonnement par récurrence ?
Initialisation, hérédité, conclusion.
Pourquoi l’initialisation est-elle indispensable ?
Parce qu’une propriété peut être héréditaire tout en étant fausse : sans point de départ vrai, rien ne se propage.
