Probabilité conditionnelle : définition et exemple

Sommaire

Au programme de 1ère

Définition

La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est la probabilité que \(B\) se réalise, en sachant que \(A\) est déjà réalisé.

Notation : \(P_A(B)\) ou \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\), avec \(P(A) \ne 0\).

En clair

C’est la probabilité « quand on a déjà une information » : elle réduit l’univers à \(A\).

\(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\) : formule des probabilités composées.
\(P_A(B)\) et \(P_B(A)\) sont en général différentes.
Sur un arbre pondéré, ce sont les probabilités portées par les branches de deuxième niveau.
\(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(P_A(B) = P(B)\).
\(P_A(\,\overline B) = 1 – P_A(B)\).

\(P(A) = 0{,}4\) et \(P(A \cap B) = 0{,}1\) : \(P_A(B) = \dfrac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25\).

Événements indépendants — l’indépendance est le cas où la condition ne change rien.

\(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\), valable si \(P(A) \ne 0\).

Non, sauf cas particulier : les deux probabilités répondent à des questions différentes.

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