Première — chapitre 8 sur 10
Probabilités conditionnelles et indépendance
$P_A(B)$ est la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.
Pour $P(A)\ne0$ : $$P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad\text{donc } P(A\cap B) = P(A)\times P_A(B).$$
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches (probabilité d'une intersection).
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Si $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de l'univers : $$P(B) = P(A_1\cap B)+\cdots+P(A_n\cap B) = P(A_1)P_{A_1}(B)+\cdots+P(A_n)P_{A_n}(B).$$ Cas courant : $P(B) = P(A)P_A(B)+P(\bar A)P_{\bar A}(B)$.
$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B) = P(A)P(B)$, ce qui équivaut à $P_A(B) = P(B)$ (lorsque $P(A)\ne0$). Si $A$ et $B$ sont indépendants, $\bar A$ et $B$ le sont aussi.
Une usine : $60\,\%$ de pièces de la machine $M_1$ (défectueuses à $2\,\%$), $40\,\%$ de $M_2$ (défectueuses à $5\,\%$). $P(D) = 0{,}6\times0{,}02+0{,}4\times0{,}05 = 0{,}032$. Sachant qu'une pièce est défectueuse, $P_D(M_2) = \dfrac{0{,}02}{0{,}032} = 0{,}625$.