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Définition
La loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) est la loi du nombre de succès obtenus lors de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succès \(p\).
Notation : \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\) et \(P(X = k) = \binom\,{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).
En clair
C’est la loi qui répond à « combien de réussites sur \(n\) essais ? ».
Ce qu’il faut retenir
- \(\binom\,{n}{k}\) compte le nombre de chemins de l’arbre menant à \(k\) succès.
- \(E(X) = np\) et \(V(X) = np(1-p)\), d’où \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\).
- \(P(X \ge 1) = 1 – P(X = 0)\) : le passage par l’événement contraire est un réflexe.
- La calculatrice fournit \(P(X = k)\) et \(P(X \le k)\) directement.
- Les trois conditions du schéma de Bernoulli doivent être vérifiées avant d’appliquer la loi.
Exemple
\(n = 10\), \(p = 0{,}3\) : \(P(X = 4) = \binom\,{10}{4}\times 0{,}3^4\times 0{,}7^6 \approx 0{,}200\).
À ne pas confondre avec
- Coefficient binomial — le coefficient binomial n’est qu’un ingrédient de la formule.
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Schéma de Bernoulli
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Loi de probabilité
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Loi des grands nombres
Questions fréquentes sur « loi binomiale »
Quelle est la formule de la loi binomiale ?
\(P(X = k) = \binom\,{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\).
Quelle est l’espérance d’une loi binomiale ?
\(E(X) = np\).
Comment calculer « au moins un succès » ?
On passe par l’événement contraire : \(P(X \ge 1) = 1 – P(X = 0)\).
