Logarithme népérien : définition, propriété et exemple

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Au programme de Terminale

Définition

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle : \(\ln(x)\) est l’unique nombre dont l’exponentielle vaut \(x\).

Notation : \(\ln\), définie sur \(]0\,;\,+\infty[\).

En clair

C’est la fonction qui « défait » l’exponentielle : elle répond à la question « \(e\) puissance combien ? ».

\(\ln(e^x) = x\) et \(e^{\ln x} = x\) pour \(x > 0\).
\(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) : le logarithme transforme les produits en sommes.
\(\ln\!(\dfrac ab) = \ln a – \ln b\) et \(\ln(a^n) = n\ln a\).
\(\ln(1) = 0\) et \(\ln(e) = 1\).
Il est strictement croissant et concave sur \(]0\,;\,+\infty[\), de dérivée \(\dfrac1x\).

Résoudre \(2^n \ge 1000\) : \(n \ln 2 \ge \ln 1000\), donc \(n \ge \dfrac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9{,}97\), soit \(n \ge 10\).

Fonction exponentielle — l’exponentielle est la fonction réciproque du logarithme.

\(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(\dfrac ab) = \ln a – \ln b\), \(\ln(a^n) = n \ln a\), \(\ln 1 = 0\) et \(\ln e = 1\).

Sur \(]0\,;\,+\infty[\) : on ne peut pas prendre le logarithme d’un nombre négatif ou nul.

À résoudre les équations où l’inconnue est en exposant, et à transformer les produits en sommes.

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