Équation cartésienne : définition, propriété et exemple

Sommaire

Définition

Une équation cartésienne d’une droite est une relation de la forme \(ax + by + c = 0\), où \(a\) et \(b\) ne sont pas tous les deux nuls.

En clair

C’est une écriture qui marche pour toutes les droites, y compris les verticales.

Le vecteur \(\vec u(-b\,;\,a)\) est un vecteur directeur de la droite.
Le vecteur \(\vec n(a\,;\,b)\) est un vecteur normal à la droite.
Si \(b \ne 0\), on retrouve la forme \(y = mx + p\) avec \(m = -\dfrac{a}{b}\).
Une même droite admet une infinité d’équations cartésiennes, toutes proportionnelles entre elles.
Le cercle, lui, a pour équation cartésienne \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\).

\(2x – 3y + 6 = 0\) : un vecteur directeur est \(\vec u(3\,;\,2)\), et en isolant \(y\) on obtient \(y = \dfrac23 x + 2\).

Équation de droite — la forme \(y = mx+p\) ne convient pas aux droites verticales.

On isole \(y\) : à partir de \(ax + by + c = 0\) avec \(b \ne 0\), on obtient \(y = -\dfrac{a}{b}x – \dfrac{c}{b}\).

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